Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submafval Structured version   Unicode version

Theorem submafval 18510
 Description: First substitution for a submatrix. (Contributed by AV, 28-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
submafval.a Mat
submafval.q subMat
submafval.b
Assertion
Ref Expression
submafval
Distinct variable groups:   ,   ,,,,,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem submafval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submafval.q . 2 subMat
2 oveq12 6202 . . . . . . . 8 Mat Mat
3 submafval.a . . . . . . . 8 Mat
42, 3syl6eqr 2510 . . . . . . 7 Mat
54fveq2d 5796 . . . . . 6 Mat
6 submafval.b . . . . . 6
75, 6syl6eqr 2510 . . . . 5 Mat
8 simpl 457 . . . . . 6
9 difeq1 3568 . . . . . . . 8
109adantr 465 . . . . . . 7
11 difeq1 3568 . . . . . . . 8
1211adantr 465 . . . . . . 7
13 eqidd 2452 . . . . . . 7
1410, 12, 13mpt2eq123dv 6250 . . . . . 6
158, 8, 14mpt2eq123dv 6250 . . . . 5
167, 15mpteq12dv 4471 . . . 4 Mat
17 df-subma 18508 . . . 4 subMat Mat
18 fvex 5802 . . . . . 6
196, 18eqeltri 2535 . . . . 5
2019mptex 6050 . . . 4
2116, 17, 20ovmpt2a 6324 . . 3 subMat
2217reldmmpt2 6304 . . . . . 6 subMat
2322ovprc 6220 . . . . 5 subMat
24 mpt0 5639 . . . . 5
2523, 24syl6eqr 2510 . . . 4 subMat
263fveq2i 5795 . . . . . . 7 Mat
276, 26eqtri 2480 . . . . . 6 Mat
28 matbas0pc 18404 . . . . . 6 Mat
2927, 28syl5eq 2504 . . . . 5
3029mpteq1d 4474 . . . 4
3125, 30eqtr4d 2495 . . 3 subMat
3221, 31pm2.61i 164 . 2 subMat
331, 32eqtri 2480 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wa 369   wceq 1370   wcel 1758  cvv 3071   cdif 3426  c0 3738  csn 3978   cmpt 4451  cfv 5519  (class class class)co 6193   cmpt2 6195  cbs 14285   Mat cmat 18398   subMat csubma 18507 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-slot 14289  df-base 14290  df-mat 18400  df-subma 18508 This theorem is referenced by:  submaval0  18511
 Copyright terms: Public domain W3C validator