Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submafval Structured version   Unicode version

Theorem submafval 18954
 Description: First substitution for a submatrix. (Contributed by AV, 28-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
submafval.a Mat
submafval.q subMat
submafval.b
Assertion
Ref Expression
submafval
Distinct variable groups:   ,   ,,,,,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem submafval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submafval.q . 2 subMat
2 oveq12 6290 . . . . . . . 8 Mat Mat
3 submafval.a . . . . . . . 8 Mat
42, 3syl6eqr 2502 . . . . . . 7 Mat
54fveq2d 5860 . . . . . 6 Mat
6 submafval.b . . . . . 6
75, 6syl6eqr 2502 . . . . 5 Mat
8 simpl 457 . . . . . 6
9 difeq1 3600 . . . . . . . 8
109adantr 465 . . . . . . 7
11 difeq1 3600 . . . . . . . 8
1211adantr 465 . . . . . . 7
13 eqidd 2444 . . . . . . 7
1410, 12, 13mpt2eq123dv 6344 . . . . . 6
158, 8, 14mpt2eq123dv 6344 . . . . 5
167, 15mpteq12dv 4515 . . . 4 Mat
17 df-subma 18952 . . . 4 subMat Mat
18 fvex 5866 . . . . . 6
196, 18eqeltri 2527 . . . . 5
2019mptex 6128 . . . 4
2116, 17, 20ovmpt2a 6418 . . 3 subMat
2217mpt2ndm0 6501 . . . . 5 subMat
23 mpt0 5698 . . . . 5
2422, 23syl6eqr 2502 . . . 4 subMat
253fveq2i 5859 . . . . . . 7 Mat
266, 25eqtri 2472 . . . . . 6 Mat
27 matbas0pc 18784 . . . . . 6 Mat
2826, 27syl5eq 2496 . . . . 5
2928mpteq1d 4518 . . . 4
3024, 29eqtr4d 2487 . . 3 subMat
3121, 30pm2.61i 164 . 2 subMat
321, 31eqtri 2472 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wa 369   wceq 1383   wcel 1804  cvv 3095   cdif 3458  c0 3770  csn 4014   cmpt 4495  cfv 5578  (class class class)co 6281   cmpt2 6283  cbs 14509   Mat cmat 18782   subMat csubma 18951 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-slot 14513  df-base 14514  df-mat 18783  df-subma 18952 This theorem is referenced by:  submaval0  18955
 Copyright terms: Public domain W3C validator