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Theorem submacs 15498
Description: Submonoids are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
submacs.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
submacs  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )

Proof of Theorem submacs
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submacs.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
41, 2, 3issubm 15480 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
s  e.  (SubMnd `  G )  <->  ( s  C_  B  /\  ( 0g
`  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  s ) ) )
5 selpw 3872 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ~P B  <->  s  C_  B )
65anbi1i 695 . . . . . 6  |-  ( ( s  e.  ~P B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) )  <->  ( s  C_  B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s ) ) )
7 3anass 969 . . . . . 6  |-  ( ( s  C_  B  /\  ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s )  <->  ( s  C_  B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s ) ) )
86, 7bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ~P B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) )  <->  ( s  C_  B  /\  ( 0g
`  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  s ) )
94, 8syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (
s  e.  (SubMnd `  G )  <->  ( s  e.  ~P B  /\  (
( 0g `  G
)  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s ) ) ) )
109abbi2dv 2563 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  =  {
s  |  ( s  e.  ~P B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) ) } )
11 df-rab 2729 . . 3  |-  { s  e.  ~P B  | 
( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) }  =  {
s  |  ( s  e.  ~P B  /\  ( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) ) }
1210, 11syl6eqr 2493 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  =  {
s  e.  ~P B  |  ( ( 0g
`  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  s ) } )
13 inrab 3627 . . 3  |-  ( { s  e.  ~P B  |  ( 0g `  G )  e.  s }  i^i  { s  e.  ~P B  |  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  s } )  =  { s  e. 
~P B  |  ( ( 0g `  G
)  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s ) }
14 fvex 5706 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  e.  _V
151, 14eqeltri 2513 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
16 mreacs 14601 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
1715, 16mp1i 12 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
181, 2mndidcl 15444 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
19 acsfn0 14603 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( 0g `  G )  e.  B )  ->  { s  e.  ~P B  |  ( 0g `  G )  e.  s }  e.  (ACS `  B ) )
2015, 18, 19sylancr 663 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  { s  e.  ~P B  | 
( 0g `  G
)  e.  s }  e.  (ACS `  B
) )
211, 3mndcl 15425 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  B )
22213expb 1188 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  B )
2322ralrimivva 2813 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  B
)
24 acsfn2 14606 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  B )  ->  { s  e.  ~P B  |  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  s }  e.  (ACS `  B ) )
2515, 23, 24sylancr 663 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  { s  e.  ~P B  |  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  s }  e.  (ACS `  B ) )
26 mreincl 14542 . . . 4  |-  ( ( (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B )  /\  { s  e. 
~P B  |  ( 0g `  G )  e.  s }  e.  (ACS `  B )  /\  { s  e.  ~P B  |  A. x  e.  s 
A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s }  e.  (ACS `  B ) )  ->  ( { s  e.  ~P B  | 
( 0g `  G
)  e.  s }  i^i  { s  e. 
~P B  |  A. x  e.  s  A. y  e.  s  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  s } )  e.  (ACS `  B )
)
2717, 20, 25, 26syl3anc 1218 . . 3  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( { s  e.  ~P B  |  ( 0g `  G )  e.  s }  i^i  { s  e.  ~P B  |  A. x  e.  s  A. y  e.  s 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  s } )  e.  (ACS `  B
) )
2813, 27syl5eqelr 2528 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  { s  e.  ~P B  | 
( ( 0g `  G )  e.  s  /\  A. x  e.  s  A. y  e.  s  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  s ) }  e.  (ACS
`  B ) )
2912, 28eqeltrd 2517 1  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2720   {crab 2724   _Vcvv 2977    i^i cin 3332    C_ wss 3333   ~Pcpw 3865   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   0gc0g 14383  Moorecmre 14525  ACScacs 14528   Mndcmnd 15414  SubMndcsubmnd 15468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-fin 7319  df-0g 14385  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470
This theorem is referenced by:  mrcmndind  15499  gsumwspan  15529  subgacs  15721  symggen  15981  cntzspan  16331  gsumzsplit  16423  gsumzsplitOLD  16424  gsumzoppg  16445  gsumzoppgOLD  16446  gsumpt  16459  gsumptOLD  16460  subrgacs  29562
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