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Theorem subislly 20482
Description: The property of a subspace being locally  A. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
subislly  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  (
x  i^i  B ) E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, u, y, A    u, B, x, y    u, J, x, y    u, V, x, y

Proof of Theorem subislly
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resttop 20162 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( Jt  B )  e.  Top )
2 islly 20469 . . . 4  |-  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  ( ( Jt  B )  e.  Top  /\ 
A. z  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) )
32baib 911 . . 3  |-  ( ( Jt  B )  e.  Top  ->  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  A. z  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) )
41, 3syl 17 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  A. z  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) )
5 vex 3084 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
65inex1 4561 . . . 4  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  i^i  B )  e.  _V )
8 elrest 15313 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( z  e.  ( Jt  B )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  B ) ) )
9 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  z  =  ( x  i^i  B ) )
109raleqdv 3031 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  ( A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  (
( Jt  B )t  w )  e.  A
)  <->  A. y  e.  ( x  i^i  B ) E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  (
( Jt  B )t  w )  e.  A
) ) )
11 elin 3649 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z
)  <->  ( w  e.  ( Jt  B )  /\  w  e.  ~P z ) )
1211anbi1i 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z )  /\  (
y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) )  <->  ( ( w  e.  ( Jt  B )  /\  w  e.  ~P z )  /\  (
y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) )
13 anass 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  e.  ( Jt  B )  /\  w  e.  ~P z )  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) )  <->  ( w  e.  ( Jt  B )  /\  (
w  e.  ~P z  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) ) )
1412, 13bitri 252 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z )  /\  (
y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) )  <->  ( w  e.  ( Jt  B )  /\  (
w  e.  ~P z  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) ) )
1514rexbii2 2925 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  (
( Jt  B )t  w )  e.  A
)  <->  E. w  e.  ( Jt  B ) ( w  e.  ~P z  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) )
16 vex 3084 . . . . . . . . 9  |-  u  e. 
_V
1716inex1 4561 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  B )  e. 
_V
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  u  e.  J )  ->  ( u  i^i  B
)  e.  _V )
19 elrest 15313 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( w  e.  ( Jt  B )  <->  E. u  e.  J  w  =  ( u  i^i  B ) ) )
2019ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  -> 
( w  e.  ( Jt  B )  <->  E. u  e.  J  w  =  ( u  i^i  B ) ) )
21 3anass 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  ~P z  /\  y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A )  <-> 
( w  e.  ~P z  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A
) ) )
22 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  ->  w  =  ( u  i^i  B ) )
23 simpllr 767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
z  =  ( x  i^i  B ) )
2422, 23sseq12d 3493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( w  C_  z  <->  ( u  i^i  B ) 
C_  ( x  i^i 
B ) ) )
25 selpw 3986 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ~P z  <->  w  C_  z
)
26 inss2 3683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  i^i  B )  C_  B
2726biantru 507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  B ) 
C_  x  <->  ( (
u  i^i  B )  C_  x  /\  ( u  i^i  B )  C_  B ) )
28 ssin 3684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  i^i  B
)  C_  x  /\  ( u  i^i  B ) 
C_  B )  <->  ( u  i^i  B )  C_  (
x  i^i  B )
)
2927, 28bitri 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  i^i  B ) 
C_  x  <->  ( u  i^i  B )  C_  (
x  i^i  B )
)
3024, 25, 293bitr4g 291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( w  e.  ~P z 
<->  ( u  i^i  B
)  C_  x )
)
3122eleq2d 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( y  e.  w  <->  y  e.  ( u  i^i 
B ) ) )
32 inss2 3683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  i^i  B )  C_  B
33 simplr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
y  e.  ( x  i^i  B ) )
3432, 33sseldi 3462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
y  e.  B )
3534biantrud 509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( y  e.  u  <->  ( y  e.  u  /\  y  e.  B )
) )
36 elin 3649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( u  i^i 
B )  <->  ( y  e.  u  /\  y  e.  B ) )
3735, 36syl6bbr 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( y  e.  u  <->  y  e.  ( u  i^i 
B ) ) )
3831, 37bitr4d 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( y  e.  w  <->  y  e.  u ) )
3922oveq2d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( Jt  B )t  w )  =  ( ( Jt  B )t  ( u  i^i 
B ) ) )
40 simp-4l 774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  ->  J  e.  Top )
4126a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( u  i^i  B
)  C_  B )
42 simplr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  B  e.  V )
4342ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  ->  B  e.  V )
44 restabs 20167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( u  i^i  B ) 
C_  B  /\  B  e.  V )  ->  (
( Jt  B )t  ( u  i^i 
B ) )  =  ( Jt  ( u  i^i 
B ) ) )
4540, 41, 43, 44syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( Jt  B )t  ( u  i^i  B ) )  =  ( Jt  ( u  i^i  B ) ) )
4639, 45eqtrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( Jt  B )t  w )  =  ( Jt  ( u  i^i  B ) ) )
4746eleq1d 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( ( Jt  B )t  w )  e.  A  <->  ( Jt  ( u  i^i  B
) )  e.  A
) )
4830, 38, 473anbi123d 1335 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( w  e. 
~P z  /\  y  e.  w  /\  (
( Jt  B )t  w )  e.  A
)  <->  ( ( u  i^i  B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
4921, 48syl5bbr 262 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( w  e. 
~P z  /\  (
y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) )  <->  ( ( u  i^i  B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
5018, 20, 49rexxfr2d 4634 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  -> 
( E. w  e.  ( Jt  B ) ( w  e.  ~P z  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) )  <->  E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
5115, 50syl5bb 260 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  -> 
( E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A )  <->  E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
5251ralbidva 2861 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  ( A. y  e.  ( x  i^i  B ) E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A )  <->  A. y  e.  (
x  i^i  B ) E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
5310, 52bitrd 256 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  ( A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  (
( Jt  B )t  w )  e.  A
)  <->  A. y  e.  ( x  i^i  B ) E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
547, 8, 53ralxfr2d 4633 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( A. z  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A )  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  (
x  i^i  B ) E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
554, 54bitrd 256 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  (
x  i^i  B ) E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    i^i cin 3435    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979  (class class class)co 6301   ↾t crest 15306   Topctop 19903  Locally clly 20465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-fin 7577  df-fi 7927  df-rest 15308  df-topgen 15329  df-top 19907  df-bases 19908  df-lly 20467
This theorem is referenced by:  iccllyscon  29968
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