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Theorem subislly 19776
Description: The property of a subspace being locally  A. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
subislly  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  (
x  i^i  B ) E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, u, y, A    u, B, x, y    u, J, x, y    u, V, x, y

Proof of Theorem subislly
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resttop 19455 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( Jt  B )  e.  Top )
2 islly 19763 . . . 4  |-  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  ( ( Jt  B )  e.  Top  /\ 
A. z  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) )
32baib 901 . . 3  |-  ( ( Jt  B )  e.  Top  ->  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  A. z  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  A. z  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) )
5 vex 3116 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
65inex1 4588 . . . 4  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  i^i  B )  e.  _V )
8 elrest 14683 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( z  e.  ( Jt  B )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  B ) ) )
9 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  z  =  ( x  i^i  B ) )
109raleqdv 3064 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  ( A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  (
( Jt  B )t  w )  e.  A
)  <->  A. y  e.  ( x  i^i  B ) E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  (
( Jt  B )t  w )  e.  A
) ) )
11 elin 3687 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z
)  <->  ( w  e.  ( Jt  B )  /\  w  e.  ~P z ) )
1211anbi1i 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z )  /\  (
y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) )  <->  ( ( w  e.  ( Jt  B )  /\  w  e.  ~P z )  /\  (
y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) )
13 anass 649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  e.  ( Jt  B )  /\  w  e.  ~P z )  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) )  <->  ( w  e.  ( Jt  B )  /\  (
w  e.  ~P z  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) ) )
1412, 13bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z )  /\  (
y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) )  <->  ( w  e.  ( Jt  B )  /\  (
w  e.  ~P z  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) ) )
1514rexbii2 2963 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  (
( Jt  B )t  w )  e.  A
)  <->  E. w  e.  ( Jt  B ) ( w  e.  ~P z  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) ) )
16 vex 3116 . . . . . . . . 9  |-  u  e. 
_V
1716inex1 4588 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  B )  e. 
_V
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  u  e.  J )  ->  ( u  i^i  B
)  e.  _V )
19 elrest 14683 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( w  e.  ( Jt  B )  <->  E. u  e.  J  w  =  ( u  i^i  B ) ) )
2019ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  -> 
( w  e.  ( Jt  B )  <->  E. u  e.  J  w  =  ( u  i^i  B ) ) )
21 3anass 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  ~P z  /\  y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A )  <-> 
( w  e.  ~P z  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A
) ) )
22 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  ->  w  =  ( u  i^i  B ) )
23 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
z  =  ( x  i^i  B ) )
2422, 23sseq12d 3533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( w  C_  z  <->  ( u  i^i  B ) 
C_  ( x  i^i 
B ) ) )
25 selpw 4017 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ~P z  <->  w  C_  z
)
26 inss2 3719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  i^i  B )  C_  B
2726biantru 505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  B ) 
C_  x  <->  ( (
u  i^i  B )  C_  x  /\  ( u  i^i  B )  C_  B ) )
28 ssin 3720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  i^i  B
)  C_  x  /\  ( u  i^i  B ) 
C_  B )  <->  ( u  i^i  B )  C_  (
x  i^i  B )
)
2927, 28bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  i^i  B ) 
C_  x  <->  ( u  i^i  B )  C_  (
x  i^i  B )
)
3024, 25, 293bitr4g 288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( w  e.  ~P z 
<->  ( u  i^i  B
)  C_  x )
)
3122eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( y  e.  w  <->  y  e.  ( u  i^i 
B ) ) )
32 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  i^i  B )  C_  B
33 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
y  e.  ( x  i^i  B ) )
3432, 33sseldi 3502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
y  e.  B )
3534biantrud 507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( y  e.  u  <->  ( y  e.  u  /\  y  e.  B )
) )
36 elin 3687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( u  i^i 
B )  <->  ( y  e.  u  /\  y  e.  B ) )
3735, 36syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( y  e.  u  <->  y  e.  ( u  i^i 
B ) ) )
3831, 37bitr4d 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( y  e.  w  <->  y  e.  u ) )
3922oveq2d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( Jt  B )t  w )  =  ( ( Jt  B )t  ( u  i^i 
B ) ) )
40 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  ->  J  e.  Top )
4126a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( u  i^i  B
)  C_  B )
42 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  B  e.  V )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  ->  B  e.  V )
44 restabs 19460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( u  i^i  B ) 
C_  B  /\  B  e.  V )  ->  (
( Jt  B )t  ( u  i^i 
B ) )  =  ( Jt  ( u  i^i 
B ) ) )
4540, 41, 43, 44syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( Jt  B )t  ( u  i^i  B ) )  =  ( Jt  ( u  i^i  B ) ) )
4639, 45eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( Jt  B )t  w )  =  ( Jt  ( u  i^i  B ) ) )
4746eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( ( Jt  B )t  w )  e.  A  <->  ( Jt  ( u  i^i  B
) )  e.  A
) )
4830, 38, 473anbi123d 1299 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( w  e. 
~P z  /\  y  e.  w  /\  (
( Jt  B )t  w )  e.  A
)  <->  ( ( u  i^i  B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
4921, 48syl5bbr 259 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  /\  w  =  ( u  i^i  B ) )  -> 
( ( w  e. 
~P z  /\  (
y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) )  <->  ( ( u  i^i  B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
5018, 20, 49rexxfr2d 4664 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  -> 
( E. w  e.  ( Jt  B ) ( w  e.  ~P z  /\  ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A ) )  <->  E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
5115, 50syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i 
B ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  -> 
( E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A )  <->  E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
5251ralbidva 2900 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  ( A. y  e.  ( x  i^i  B ) E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A )  <->  A. y  e.  (
x  i^i  B ) E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
5310, 52bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  /\  z  =  ( x  i^i  B ) )  ->  ( A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  (
( Jt  B )t  w )  e.  A
)  <->  A. y  e.  ( x  i^i  B ) E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
547, 8, 53ralxfr2d 4663 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( A. z  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  z  E. w  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P z ) ( y  e.  w  /\  ( ( Jt  B )t  w )  e.  A )  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  (
x  i^i  B ) E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
554, 54bitrd 253 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  V )  ->  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  (
x  i^i  B ) E. u  e.  J  ( ( u  i^i 
B )  C_  x  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  ( u  i^i 
B ) )  e.  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010  (class class class)co 6284   ↾t crest 14676   Topctop 19189  Locally clly 19759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-fin 7520  df-fi 7871  df-rest 14678  df-topgen 14699  df-top 19194  df-bases 19196  df-lly 19761
This theorem is referenced by:  iccllyscon  28363
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