MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgsubcl Structured version   Unicode version

Theorem subgsubcl 15815
Description: A subgroup is closed under group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgsubcl.p  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
subgsubcl  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .-  Y )  e.  S )

Proof of Theorem subgsubcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21subgss 15805 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
323ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
4 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  X  e.  S )
53, 4sseldd 3468 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  X  e.  ( Base `  G
) )
6 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  Y  e.  S )
73, 6sseldd 3468 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  Y  e.  ( Base `  G
) )
8 eqid 2454 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
9 eqid 2454 . . . 4  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
10 subgsubcl.p . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
111, 8, 9, 10grpsubval 15704 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Base `  G )  /\  Y  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  Y )
) )
125, 7, 11syl2anc 661 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  Y )
) )
139subginvcl 15813 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  Y  e.  S )  ->  (
( invg `  G ) `  Y
)  e.  S )
14133adant2 1007 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  (
( invg `  G ) `  Y
)  e.  S )
158subgcl 15814 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  (
( invg `  G ) `  Y
)  e.  S )  ->  ( X ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  Y
) )  e.  S
)
1614, 15syld3an3 1264 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 Y ) )  e.  S )
1712, 16eqeltrd 2542 1  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .-  Y )  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3439   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296   +g cplusg 14361   invgcminusg 15534   -gcsg 15536  SubGrpcsubg 15798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-0g 14503  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-subg 15801
This theorem is referenced by:  issubg4  15823  ssnmz  15846  subgdisj1  16313  dprdfeq0  16644  dprdfeq0OLD  16651  pgpfac1lem3  16710  subgntr  19819  opnsubg  19820  clssubg  19821  clmsubcl  20799  chfacfisfcpmat  31364
  Copyright terms: Public domain W3C validator