MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgsubcl Structured version   Unicode version

Theorem subgsubcl 16061
Description: A subgroup is closed under group subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgsubcl.p  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
subgsubcl  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .-  Y )  e.  S )

Proof of Theorem subgsubcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21subgss 16051 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
323ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
4 simp2 997 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  X  e.  S )
53, 4sseldd 3510 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  X  e.  ( Base `  G
) )
6 simp3 998 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  Y  e.  S )
73, 6sseldd 3510 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  Y  e.  ( Base `  G
) )
8 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
9 eqid 2467 . . . 4  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
10 subgsubcl.p . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
111, 8, 9, 10grpsubval 15942 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Base `  G )  /\  Y  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  Y )
) )
125, 7, 11syl2anc 661 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  Y )
) )
139subginvcl 16059 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  Y  e.  S )  ->  (
( invg `  G ) `  Y
)  e.  S )
14133adant2 1015 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  (
( invg `  G ) `  Y
)  e.  S )
158subgcl 16060 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  (
( invg `  G ) `  Y
)  e.  S )  ->  ( X ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  Y
) )  e.  S
)
1614, 15syld3an3 1273 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 Y ) )  e.  S )
1712, 16eqeltrd 2555 1  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .-  Y )  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3481   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   Basecbs 14502   +g cplusg 14567   invgcminusg 15903   -gcsg 15904  SubGrpcsubg 16044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-0g 14709  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-sbg 15908  df-subg 16047
This theorem is referenced by:  issubg4  16069  ssnmz  16092  subgdisj1  16559  dprdfeq0  16911  dprdfeq0OLD  16918  pgpfac1lem3  16977  chfacfisfcpmat  19202  subgntr  20450  opnsubg  20451  clssubg  20452  clmsubcl  21430
  Copyright terms: Public domain W3C validator