MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgrcl Structured version   Unicode version

Theorem subgrcl 15686
Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subgrcl  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )

Proof of Theorem subgrcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21issubg 15681 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  ( Base `  G )  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
32simp1bi 1003 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756    C_ wss 3328   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   ↾s cress 14175   Grpcgrp 15410  SubGrpcsubg 15675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fv 5426  df-ov 6094  df-subg 15678
This theorem is referenced by:  subg0  15687  subginv  15688  subgmulgcl  15694  subgsubm  15703  subsubg  15704  subgint  15705  isnsg  15710  nsgconj  15714  isnsg3  15715  ssnmz  15723  nmznsg  15725  eqger  15731  eqgid  15733  eqgen  15734  eqgcpbl  15735  divsgrp  15736  divseccl  15737  divsadd  15738  divs0  15739  divsinv  15740  divssub  15741  resghm2  15764  resghm2b  15765  conjsubg  15778  conjsubgen  15779  conjnmz  15780  conjnmzb  15781  divsghm  15783  subgga  15818  gastacos  15828  orbstafun  15829  cntrsubgnsg  15858  oppgsubg  15878  isslw  16107  sylow2blem1  16119  sylow2blem2  16120  sylow2blem3  16121  slwhash  16123  lsmval  16147  lsmelval  16148  lsmelvali  16149  lsmelvalm  16150  lsmsubg  16153  lsmless1  16158  lsmless2  16159  lsmless12  16160  lsmass  16167  lsm01  16168  lsm02  16169  subglsm  16170  lsmmod  16172  lsmcntz  16176  lsmcntzr  16177  lsmdisj2  16179  subgdisj1  16188  pj1f  16194  pj1id  16196  pj1lid  16198  pj1rid  16199  pj1ghm  16200  subgdmdprd  16531  subgdprd  16532  dprdsn  16533  pgpfaclem2  16583  cldsubg  19681
  Copyright terms: Public domain W3C validator