MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgrcl Structured version   Unicode version

Theorem subgrcl 15679
Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subgrcl  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )

Proof of Theorem subgrcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21issubg 15674 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  ( Base `  G )  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
32simp1bi 998 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1761    C_ wss 3325   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   ↾s cress 14171   Grpcgrp 15406  SubGrpcsubg 15668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fv 5423  df-ov 6093  df-subg 15671
This theorem is referenced by:  subg0  15680  subginv  15681  subgmulgcl  15687  subgsubm  15696  subsubg  15697  subgint  15698  isnsg  15703  nsgconj  15707  isnsg3  15708  ssnmz  15716  nmznsg  15718  eqger  15724  eqgid  15726  eqgen  15727  eqgcpbl  15728  divsgrp  15729  divseccl  15730  divsadd  15731  divs0  15732  divsinv  15733  divssub  15734  resghm2  15757  resghm2b  15758  conjsubg  15771  conjsubgen  15772  conjnmz  15773  conjnmzb  15774  divsghm  15776  subgga  15811  gastacos  15821  orbstafun  15822  cntrsubgnsg  15851  oppgsubg  15871  isslw  16100  sylow2blem1  16112  sylow2blem2  16113  sylow2blem3  16114  slwhash  16116  lsmval  16140  lsmelval  16141  lsmelvali  16142  lsmelvalm  16143  lsmsubg  16146  lsmless1  16151  lsmless2  16152  lsmless12  16153  lsmass  16160  lsm01  16161  lsm02  16162  subglsm  16163  lsmmod  16165  lsmcntz  16169  lsmcntzr  16170  lsmdisj2  16172  subgdisj1  16181  pj1f  16187  pj1id  16189  pj1lid  16191  pj1rid  16192  pj1ghm  16193  subgdmdprd  16521  subgdprd  16522  dprdsn  16523  pgpfaclem2  16573  cldsubg  19581
  Copyright terms: Public domain W3C validator