MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgrcl Structured version   Unicode version

Theorem subgrcl 16408
Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subgrcl  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )

Proof of Theorem subgrcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21issubg 16403 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  ( Base `  G )  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
32simp1bi 1009 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823    C_ wss 3461   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14719   ↾s cress 14720   Grpcgrp 16255  SubGrpcsubg 16397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-ov 6273  df-subg 16400
This theorem is referenced by:  subg0  16409  subginv  16410  subgmulgcl  16416  subgsubm  16425  subsubg  16426  subgint  16427  isnsg  16432  nsgconj  16436  isnsg3  16437  ssnmz  16445  nmznsg  16447  eqger  16453  eqgid  16455  eqgen  16456  eqgcpbl  16457  qusgrp  16458  quseccl  16459  qusadd  16460  qus0  16461  qusinv  16462  qussub  16463  resghm2  16486  resghm2b  16487  conjsubg  16500  conjsubgen  16501  conjnmz  16502  conjnmzb  16503  qusghm  16505  subgga  16540  gastacos  16550  orbstafun  16551  cntrsubgnsg  16580  oppgsubg  16600  isslw  16830  sylow2blem1  16842  sylow2blem2  16843  sylow2blem3  16844  slwhash  16846  lsmval  16870  lsmelval  16871  lsmelvali  16872  lsmelvalm  16873  lsmsubg  16876  lsmless1  16881  lsmless2  16882  lsmless12  16883  lsmass  16890  lsm01  16891  lsm02  16892  subglsm  16893  lsmmod  16895  lsmcntz  16899  lsmcntzr  16900  lsmdisj2  16902  subgdisj1  16911  pj1f  16917  pj1id  16919  pj1lid  16921  pj1rid  16922  pj1ghm  16923  subgdmdprd  17279  subgdprd  17280  dprdsn  17281  pgpfaclem2  17331  cldsubg  20778
  Copyright terms: Public domain W3C validator