MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgrcl Structured version   Unicode version

Theorem subgrcl 16185
Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subgrcl  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )

Proof of Theorem subgrcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21issubg 16180 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  ( Base `  G )  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
32simp1bi 1012 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804    C_ wss 3461   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14614   ↾s cress 14615   Grpcgrp 16032  SubGrpcsubg 16174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-ov 6284  df-subg 16177
This theorem is referenced by:  subg0  16186  subginv  16187  subgmulgcl  16193  subgsubm  16202  subsubg  16203  subgint  16204  isnsg  16209  nsgconj  16213  isnsg3  16214  ssnmz  16222  nmznsg  16224  eqger  16230  eqgid  16232  eqgen  16233  eqgcpbl  16234  qusgrp  16235  quseccl  16236  qusadd  16237  qus0  16238  qusinv  16239  qussub  16240  resghm2  16263  resghm2b  16264  conjsubg  16277  conjsubgen  16278  conjnmz  16279  conjnmzb  16280  qusghm  16282  subgga  16317  gastacos  16327  orbstafun  16328  cntrsubgnsg  16357  oppgsubg  16377  isslw  16607  sylow2blem1  16619  sylow2blem2  16620  sylow2blem3  16621  slwhash  16623  lsmval  16647  lsmelval  16648  lsmelvali  16649  lsmelvalm  16650  lsmsubg  16653  lsmless1  16658  lsmless2  16659  lsmless12  16660  lsmass  16667  lsm01  16668  lsm02  16669  subglsm  16670  lsmmod  16672  lsmcntz  16676  lsmcntzr  16677  lsmdisj2  16679  subgdisj1  16688  pj1f  16694  pj1id  16696  pj1lid  16698  pj1rid  16699  pj1ghm  16700  subgdmdprd  17060  subgdprd  17061  dprdsn  17062  pgpfaclem2  17112  cldsubg  20587
  Copyright terms: Public domain W3C validator