MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgrcl Structured version   Unicode version

Theorem subgrcl 16011
Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subgrcl  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )

Proof of Theorem subgrcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21issubg 16006 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  ( Base `  G )  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
32simp1bi 1011 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   ↾s cress 14491   Grpcgrp 15727  SubGrpcsubg 16000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-ov 6287  df-subg 16003
This theorem is referenced by:  subg0  16012  subginv  16013  subgmulgcl  16019  subgsubm  16028  subsubg  16029  subgint  16030  isnsg  16035  nsgconj  16039  isnsg3  16040  ssnmz  16048  nmznsg  16050  eqger  16056  eqgid  16058  eqgen  16059  eqgcpbl  16060  divsgrp  16061  divseccl  16062  divsadd  16063  divs0  16064  divsinv  16065  divssub  16066  resghm2  16089  resghm2b  16090  conjsubg  16103  conjsubgen  16104  conjnmz  16105  conjnmzb  16106  divsghm  16108  subgga  16143  gastacos  16153  orbstafun  16154  cntrsubgnsg  16183  oppgsubg  16203  isslw  16434  sylow2blem1  16446  sylow2blem2  16447  sylow2blem3  16448  slwhash  16450  lsmval  16474  lsmelval  16475  lsmelvali  16476  lsmelvalm  16477  lsmsubg  16480  lsmless1  16485  lsmless2  16486  lsmless12  16487  lsmass  16494  lsm01  16495  lsm02  16496  subglsm  16497  lsmmod  16499  lsmcntz  16503  lsmcntzr  16504  lsmdisj2  16506  subgdisj1  16515  pj1f  16521  pj1id  16523  pj1lid  16525  pj1rid  16526  pj1ghm  16527  subgdmdprd  16883  subgdprd  16884  dprdsn  16885  pgpfaclem2  16935  cldsubg  20372
  Copyright terms: Public domain W3C validator