Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgntr Structured version   Unicode version

Theorem subgntr 21107
 Description: A subgroup of a topological group with nonempty interior is open. Alternatively, dual to clssubg 21109, the interior of a subgroup is either a subgroup, or empty. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h
Assertion
Ref Expression
subgntr SubGrp

Proof of Theorem subgntr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ima 4862 . . . . . 6
2 subgntr.h . . . . . . . . . . . 12
3 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12
42, 3tgptopon 21083 . . . . . . . . . . 11 TopOn
543ad2ant1 1026 . . . . . . . . . 10 SubGrp TopOn
65adantr 466 . . . . . . . . 9 SubGrp TopOn
7 topontop 19927 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
98adantr 466 . . . . . . . . . 10 SubGrp
10 simpl2 1009 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp
113subgss 16805 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
13 toponuni 19928 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
146, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
1512, 14sseqtrd 3500 . . . . . . . . . 10 SubGrp
16 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11
1716ntropn 20050 . . . . . . . . . 10
189, 15, 17syl2anc 665 . . . . . . . . 9 SubGrp
19 toponss 19930 . . . . . . . . 9 TopOn
206, 18, 19syl2anc 665 . . . . . . . 8 SubGrp
2120resmptd 5171 . . . . . . 7 SubGrp
2221rneqd 5077 . . . . . 6 SubGrp
231, 22syl5eq 2475 . . . . 5 SubGrp
24 simpl1 1008 . . . . . . 7 SubGrp
25 simpr 462 . . . . . . . . 9 SubGrp
2616ntrss2 20058 . . . . . . . . . . 11
279, 15, 26syl2anc 665 . . . . . . . . . 10 SubGrp
28 simpl3 1010 . . . . . . . . . 10 SubGrp
2927, 28sseldd 3465 . . . . . . . . 9 SubGrp
30 eqid 2422 . . . . . . . . . 10
3130subgsubcl 16815 . . . . . . . . 9 SubGrp
3210, 25, 29, 31syl3anc 1264 . . . . . . . 8 SubGrp
3312, 32sseldd 3465 . . . . . . 7 SubGrp
34 eqid 2422 . . . . . . . 8
35 eqid 2422 . . . . . . . 8
3634, 3, 35, 2tgplacthmeo 21104 . . . . . . 7
3724, 33, 36syl2anc 665 . . . . . 6 SubGrp
38 hmeoima 20766 . . . . . 6
3937, 18, 38syl2anc 665 . . . . 5 SubGrp
4023, 39eqeltrrd 2511 . . . 4 SubGrp
41 tgpgrp 21079 . . . . . . 7
4224, 41syl 17 . . . . . 6 SubGrp
43113ad2ant2 1027 . . . . . . 7 SubGrp
4443sselda 3464 . . . . . 6 SubGrp
4520, 28sseldd 3465 . . . . . 6 SubGrp
463, 35, 30grpnpcan 16733 . . . . . 6
4742, 44, 45, 46syl3anc 1264 . . . . 5 SubGrp
48 ovex 6329 . . . . . 6
49 eqid 2422 . . . . . . 7
50 oveq2 6309 . . . . . . 7
5149, 50elrnmpt1s 5097 . . . . . 6
5228, 48, 51sylancl 666 . . . . 5 SubGrp
5347, 52eqeltrrd 2511 . . . 4 SubGrp
5410adantr 466 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
5532adantr 466 . . . . . . 7 SubGrp
5627sselda 3464 . . . . . . 7 SubGrp
5735subgcl 16814 . . . . . . 7 SubGrp
5854, 55, 56, 57syl3anc 1264 . . . . . 6 SubGrp
5958, 49fmptd 6057 . . . . 5 SubGrp
60 frn 5748 . . . . 5
6159, 60syl 17 . . . 4 SubGrp
62 eleq2 2495 . . . . . 6
63 sseq1 3485 . . . . . 6
6462, 63anbi12d 715 . . . . 5
6564rspcev 3182 . . . 4
6640, 53, 61, 65syl12anc 1262 . . 3 SubGrp
6766ralrimiva 2839 . 2 SubGrp
68 eltop2 19977 . . 3
698, 68syl 17 . 2 SubGrp
7067, 69mpbird 235 1 SubGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1868  wral 2775  wrex 2776  cvv 3081   wss 3436  cuni 4216   cmpt 4479   crn 4850   cres 4851  cima 4852  wf 5593  cfv 5597  (class class class)co 6301  cbs 15108   cplusg 15177  ctopn 15307  cgrp 16656  csg 16658  SubGrpcsubg 16798  ctop 19903  TopOnctopon 19904  cnt 20018  chmeo 20754  ctgp 21072 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-0g 15327  df-topgen 15329  df-plusf 16474  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-grp 16660  df-minusg 16661  df-sbg 16662  df-subg 16801  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-ntr 20021  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-tmd 21073  df-tgp 21074 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator