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Theorem subgntr 21107
Description: A subgroup of a topological group with nonempty interior is open. Alternatively, dual to clssubg 21109, the interior of a subgroup is either a subgroup, or empty. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
subgntr  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  J )

Proof of Theorem subgntr
Dummy variables  x  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ima 4862 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) ) "
( ( int `  J
) `  S )
)  =  ran  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  |`  ( ( int `  J ) `  S ) )
2 subgntr.h . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
42, 3tgptopon 21083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
543ad2ant1 1026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
65adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
7 topontop 19927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  J  e.  Top )
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  J  e.  Top )
98adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  J  e.  Top )
10 simpl2 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
113subgss 16805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
13 toponuni 19928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
146, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  ( Base `  G )  = 
U. J )
1512, 14sseqtrd 3500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  S  C_ 
U. J )
16 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
1716ntropn 20050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  S
)  e.  J )
189, 15, 17syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( int `  J
) `  S )  e.  J )
19 toponss 19930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
)  /\  ( ( int `  J ) `  S )  e.  J
)  ->  ( ( int `  J ) `  S )  C_  ( Base `  G ) )
206, 18, 19syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( int `  J
) `  S )  C_  ( Base `  G
) )
2120resmptd 5171 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  |`  ( ( int `  J ) `  S ) )  =  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
2221rneqd 5077 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  |`  ( ( int `  J
) `  S )
)  =  ran  (
y  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y ) ) )
231, 22syl5eq 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) " ( ( int `  J ) `
 S ) )  =  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
24 simpl1 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  G  e.  TopGrp )
25 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
2616ntrss2 20058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  S
)  C_  S )
279, 15, 26syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( int `  J
) `  S )  C_  S )
28 simpl3 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)
2927, 28sseldd 3465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  S )
30 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
3130subgsubcl 16815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S  /\  A  e.  S )  ->  (
x ( -g `  G
) A )  e.  S )
3210, 25, 29, 31syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
x ( -g `  G
) A )  e.  S )
3312, 32sseldd 3465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
x ( -g `  G
) A )  e.  ( Base `  G
) )
34 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  =  ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )
35 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3634, 3, 35, 2tgplacthmeo 21104 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
x ( -g `  G
) A )  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J Homeo J ) )
3724, 33, 36syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J Homeo J ) )
38 hmeoima 20766 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J
Homeo J )  /\  (
( int `  J
) `  S )  e.  J )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) " ( ( int `  J ) `
 S ) )  e.  J )
3937, 18, 38syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) " ( ( int `  J ) `
 S ) )  e.  J )
4023, 39eqeltrrd 2511 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  J )
41 tgpgrp 21079 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
4224, 41syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  G  e.  Grp )
43113ad2ant2 1027 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
4443sselda 3464 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
4520, 28sseldd 3465 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  ( Base `  G
) )
463, 35, 30grpnpcan 16733 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  A  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) A )  =  x )
4742, 44, 45, 46syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) A )  =  x )
48 ovex 6329 . . . . . 6  |-  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) A )  e.  _V
49 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  =  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )
50 oveq2 6309 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y )  =  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) A ) )
5149, 50elrnmpt1s 5097 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  /\  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) A )  e.  _V )  -> 
( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) A )  e.  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
5228, 48, 51sylancl 666 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) A )  e. 
ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
5347, 52eqeltrrd 2511 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
5410adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
5532adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  ( x
( -g `  G ) A )  e.  S
)
5627sselda 3464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  y  e.  S )
5735subgcl 16814 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x ( -g `  G
) A )  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y )  e.  S )
5854, 55, 56, 57syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  ( (
x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y )  e.  S
)
5958, 49fmptd 6057 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
y  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y ) ) : ( ( int `  J ) `  S
) --> S )
60 frn 5748 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y ) ) : ( ( int `  J ) `  S
) --> S  ->  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  C_  S )
6159, 60syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  C_  S )
62 eleq2 2495 . . . . . 6  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  -> 
( x  e.  u  <->  x  e.  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) ) ) )
63 sseq1 3485 . . . . . 6  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  -> 
( u  C_  S  <->  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  C_  S )
)
6462, 63anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  -> 
( ( x  e.  u  /\  u  C_  S )  <->  ( x  e.  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  /\  ran  (
y  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y ) ) 
C_  S ) ) )
6564rspcev 3182 . . . 4  |-  ( ( ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  J  /\  ( x  e.  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  /\  ran  (
y  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y ) ) 
C_  S ) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  S ) )
6640, 53, 61, 65syl12anc 1262 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  S ) )
6766ralrimiva 2839 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  A. x  e.  S  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  S ) )
68 eltop2 19977 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  S ) ) )
698, 68syl 17 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  ( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  S ) ) )
7067, 69mpbird 235 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   U.cuni 4216    |-> cmpt 4479   ran crn 4850    |` cres 4851   "cima 4852   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   Basecbs 15108   +g cplusg 15177   TopOpenctopn 15307   Grpcgrp 16656   -gcsg 16658  SubGrpcsubg 16798   Topctop 19903  TopOnctopon 19904   intcnt 20018   Homeochmeo 20754   TopGrpctgp 21072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-0g 15327  df-topgen 15329  df-plusf 16474  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-grp 16660  df-minusg 16661  df-sbg 16662  df-subg 16801  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-ntr 20021  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-tmd 21073  df-tgp 21074
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