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Theorem subgntr 20582
Description: A subgroup of a topological group with nonempty interior is open. Alternatively, dual to clssubg 20584, the interior of a subgroup is either a subgroup, or empty. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
subgntr  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  J )

Proof of Theorem subgntr
Dummy variables  x  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ima 5002 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) ) "
( ( int `  J
) `  S )
)  =  ran  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  |`  ( ( int `  J ) `  S ) )
2 subgntr.h . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
42, 3tgptopon 20558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
543ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
65adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
7 topontop 19404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  J  e.  Top )
85, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  J  e.  Top )
98adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  J  e.  Top )
10 simpl2 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
113subgss 16180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
13 toponuni 19405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
146, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  ( Base `  G )  = 
U. J )
1512, 14sseqtrd 3525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  S  C_ 
U. J )
16 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
1716ntropn 19527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  S
)  e.  J )
189, 15, 17syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( int `  J
) `  S )  e.  J )
19 toponss 19407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
)  /\  ( ( int `  J ) `  S )  e.  J
)  ->  ( ( int `  J ) `  S )  C_  ( Base `  G ) )
206, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( int `  J
) `  S )  C_  ( Base `  G
) )
2120resmptd 5315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  |`  ( ( int `  J ) `  S ) )  =  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
2221rneqd 5220 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  ran  ( ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  |`  ( ( int `  J
) `  S )
)  =  ran  (
y  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y ) ) )
231, 22syl5eq 2496 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) " ( ( int `  J ) `
 S ) )  =  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
24 simpl1 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  G  e.  TopGrp )
25 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
2616ntrss2 19535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  S
)  C_  S )
279, 15, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( int `  J
) `  S )  C_  S )
28 simpl3 1002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)
2927, 28sseldd 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  S )
30 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
3130subgsubcl 16190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S  /\  A  e.  S )  ->  (
x ( -g `  G
) A )  e.  S )
3210, 25, 29, 31syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
x ( -g `  G
) A )  e.  S )
3312, 32sseldd 3490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
x ( -g `  G
) A )  e.  ( Base `  G
) )
34 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  =  ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )
35 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3634, 3, 35, 2tgplacthmeo 20579 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
x ( -g `  G
) A )  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J Homeo J ) )
3724, 33, 36syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J Homeo J ) )
38 hmeoima 20243 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J
Homeo J )  /\  (
( int `  J
) `  S )  e.  J )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) " ( ( int `  J ) `
 S ) )  e.  J )
3937, 18, 38syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( y  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) " ( ( int `  J ) `
 S ) )  e.  J )
4023, 39eqeltrrd 2532 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  J )
41 tgpgrp 20554 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
4224, 41syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  G  e.  Grp )
43113ad2ant2 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
4443sselda 3489 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
4520, 28sseldd 3490 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  ( Base `  G
) )
463, 35, 30grpnpcan 16108 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  A  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) A )  =  x )
4742, 44, 45, 46syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) A )  =  x )
48 ovex 6309 . . . . . 6  |-  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) A )  e.  _V
49 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  =  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )
50 oveq2 6289 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y )  =  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) A ) )
5149, 50elrnmpt1s 5240 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  /\  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) A )  e.  _V )  -> 
( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) A )  e.  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
5228, 48, 51sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) A )  e. 
ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
5347, 52eqeltrrd 2532 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) ) )
5410adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
5532adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  ( x
( -g `  G ) A )  e.  S
)
5627sselda 3489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  y  e.  S )
5735subgcl 16189 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x ( -g `  G
) A )  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  (
( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y )  e.  S )
5854, 55, 56, 57syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  ->  ( (
x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y )  e.  S
)
5958, 49fmptd 6040 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  (
y  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y ) ) : ( ( int `  J ) `  S
) --> S )
60 frn 5727 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y ) ) : ( ( int `  J ) `  S
) --> S  ->  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  C_  S )
6159, 60syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  C_  S )
62 eleq2 2516 . . . . . 6  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  -> 
( x  e.  u  <->  x  e.  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) ) ) )
63 sseq1 3510 . . . . . 6  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  -> 
( u  C_  S  <->  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  C_  S )
)
6462, 63anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( u  =  ran  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  S
)  |->  ( ( x ( -g `  G
) A ) ( +g  `  G ) y ) )  -> 
( ( x  e.  u  /\  u  C_  S )  <->  ( x  e.  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  /\  ran  (
y  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y ) ) 
C_  S ) ) )
6564rspcev 3196 . . . 4  |-  ( ( ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  J  /\  ( x  e.  ran  ( y  e.  ( ( int `  J
) `  S )  |->  ( ( x (
-g `  G ) A ) ( +g  `  G ) y ) )  /\  ran  (
y  e.  ( ( int `  J ) `
 S )  |->  ( ( x ( -g `  G ) A ) ( +g  `  G
) y ) ) 
C_  S ) )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  S ) )
6640, 53, 61, 65syl12anc 1227 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ( ( int `  J
) `  S )
)  /\  x  e.  S )  ->  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  S ) )
6766ralrimiva 2857 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  A. x  e.  S  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  S ) )
68 eltop2 19454 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  S ) ) )
698, 68syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  ( S  e.  J  <->  A. x  e.  S  E. u  e.  J  ( x  e.  u  /\  u  C_  S ) ) )
7067, 69mpbird 232 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  (
( int `  J
) `  S )
)  ->  S  e.  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   U.cuni 4234    |-> cmpt 4495   ran crn 4990    |` cres 4991   "cima 4992   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14613   +g cplusg 14678   TopOpenctopn 14800   Grpcgrp 16031   -gcsg 16033  SubGrpcsubg 16173   Topctop 19371  TopOnctopon 19372   intcnt 19495   Homeochmeo 20231   TopGrpctgp 20547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-0g 14820  df-topgen 14822  df-plusf 15849  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-sbg 16037  df-subg 16176  df-top 19376  df-bases 19378  df-topon 19379  df-topsp 19380  df-ntr 19498  df-cn 19705  df-cnp 19706  df-tx 20040  df-hmeo 20233  df-tmd 20548  df-tgp 20549
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