MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subggrp Structured version   Unicode version

Theorem subggrp 15684
Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subggrp.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
subggrp  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  e.  Grp )

Proof of Theorem subggrp
StepHypRef Expression
1 subggrp.h . 2  |-  H  =  ( Gs  S )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
32issubg 15681 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  ( Base `  G )  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
43simp3bi 1005 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Gs  S
)  e.  Grp )
51, 4syl5eqel 2527 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  e.  Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3328   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   ↾s cress 14175   Grpcgrp 15410  SubGrpcsubg 15675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fv 5426  df-ov 6094  df-subg 15678
This theorem is referenced by:  subg0  15687  subginv  15688  subg0cl  15689  subginvcl  15690  subgcl  15691  issubg2  15696  issubgrpd  15698  subsubg  15704  resghm  15763  resghm2b  15765  subgga  15818  gasubg  15820  odsubdvds  16070  pgp0  16095  subgpgp  16096  sylow2blem2  16120  slwhash  16123  fislw  16124  subglsm  16170  pj1ghm  16200  subgabl  16320  cycsubgcyg  16377  subgdmdprd  16531  subgdprd  16532  ablfacrplem  16566  pgpfaclem1  16582  pgpfaclem3  16584  ablfaclem3  16588  issubrg2  16885  islss3  17040  mplgrp  17529  zringcyg  17907  zcyg  17912  expghmOLD  17924  cnmsgngrp  18009  psgnghm  18010  subgtgp  19676  subgngp  20221  reefgim  21915
  Copyright terms: Public domain W3C validator