MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subggrp Structured version   Unicode version

Theorem subggrp 15677
Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subggrp.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
subggrp  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  e.  Grp )

Proof of Theorem subggrp
StepHypRef Expression
1 subggrp.h . 2  |-  H  =  ( Gs  S )
2 eqid 2441 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
32issubg 15674 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  ( Base `  G )  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
43simp3bi 1000 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Gs  S
)  e.  Grp )
51, 4syl5eqel 2525 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  e.  Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761    C_ wss 3325   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   ↾s cress 14171   Grpcgrp 15406  SubGrpcsubg 15668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fv 5423  df-ov 6093  df-subg 15671
This theorem is referenced by:  subg0  15680  subginv  15681  subg0cl  15682  subginvcl  15683  subgcl  15684  issubg2  15689  issubgrpd  15691  subsubg  15697  resghm  15756  resghm2b  15758  subgga  15811  gasubg  15813  odsubdvds  16063  pgp0  16088  subgpgp  16089  sylow2blem2  16113  slwhash  16116  fislw  16117  subglsm  16163  pj1ghm  16193  subgabl  16313  cycsubgcyg  16370  subgdmdprd  16521  subgdprd  16522  ablfacrplem  16556  pgpfaclem1  16572  pgpfaclem3  16574  ablfaclem3  16578  issubrg2  16865  islss3  17018  mplgrp  17507  zringcyg  17866  zcyg  17871  expghmOLD  17883  cnmsgngrp  17968  psgnghm  17969  subgtgp  19635  subgngp  20180  reefgim  21874
  Copyright terms: Public domain W3C validator