MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subggrp Unicode version

Theorem subggrp 14902
Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subggrp.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
subggrp  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  e.  Grp )

Proof of Theorem subggrp
StepHypRef Expression
1 subggrp.h . 2  |-  H  =  ( Gs  S )
2 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
32issubg 14899 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  ( Base `  G )  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
43simp3bi 974 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Gs  S
)  e.  Grp )
51, 4syl5eqel 2488 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  e.  Grp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   ↾s cress 13425   Grpcgrp 14640  SubGrpcsubg 14893
This theorem is referenced by:  subg0  14905  subginv  14906  subg0cl  14907  subginvcl  14908  subgcl  14909  issubg2  14914  subsubg  14918  resghm  14977  resghm2b  14979  subgga  15032  gasubg  15034  odsubdvds  15160  pgp0  15185  subgpgp  15186  sylow2blem2  15210  slwhash  15213  fislw  15214  subglsm  15260  pj1ghm  15290  subgabl  15410  cycsubgcyg  15465  subgdmdprd  15547  subgdprd  15548  ablfacrplem  15578  pgpfaclem1  15594  pgpfaclem3  15596  ablfaclem3  15600  issubrg2  15843  islss3  15990  issubgrpd  16216  mplgrp  16468  zcyg  16727  expghm  16732  frgpcyg  16809  subgtgp  18088  subgngp  18629  reefgim  20319  cnmsgngrp  27304  psgnghm  27305
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-ov 6043  df-subg 14896
  Copyright terms: Public domain W3C validator