Theorem subgga 15811

Description: A subgroup acts on its parent group. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgga.1	|- X = ( Base ` G )
subgga.2	|- .+ = ( +g ` G )
subgga.3	|- H = ( G ↾s Y )
subgga.4	|- F = ( x e. Y , y e. X |-> ( x .+ y ) )

Assertion

Ref	Expression
subgga	|- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> F e. ( H GrpAct X ) )

Distinct variable groups:   x, y, G   x, X, y   x, Y, y   x, .+ , y

Allowed substitution hints:   F( x, y)   H( x, y)

Proof of Theorem subgga

Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgga.3	. . . 4 |- H = ( G ↾s Y )
2	1	subggrp 15677	. . 3 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> H e. Grp )
3		subgga.1	. . . 4 |- X = ( Base ` G )
4		fvex 5698	. . . 4 |- ( Base ` G ) e. _V
5	3, 4	eqeltri 2511	. . 3 |- X e. _V
6	2, 5	jctir 535	. 2 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( H e. Grp /\ X e. _V ) )
7		subgrcl 15679	. . . . . . . 8 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
8	7	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x e. Y /\ y e. X ) ) -> G e. Grp )
9	3	subgss 15675	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> Y C_ X )
10	9	sselda 3353	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ x e. Y ) -> x e. X )
11	10	adantrr 711	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x e. Y /\ y e. X ) ) -> x e. X )
12		simprr 751	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x e. Y /\ y e. X ) ) -> y e. X )
13		subgga.2	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
14	3, 13	grpcl 15544	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X /\ y e. X ) -> ( x .+ y ) e. X )
15	8, 11, 12, 14	syl3anc 1213	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( x e. Y /\ y e. X ) ) -> ( x .+ y ) e. X )
16	15	ralrimivva 2806	. . . . 5 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> A. x e. Y A. y e. X ( x .+ y ) e. X )
17		subgga.4	. . . . . 6 |- F = ( x e. Y , y e. X |-> ( x .+ y ) )
18	17	fmpt2 6640	. . . . 5 |- ( A. x e. Y A. y e. X ( x .+ y ) e. X <-> F : ( Y X. X ) --> X )
19	16, 18	sylib 196	. . . 4 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> F : ( Y X. X ) --> X )
20	1	subgbas 15678	. . . . . 6 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> Y = ( Base ` H ) )
21	20	xpeq1d 4859	. . . . 5 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( Y X. X ) = ( ( Base ` H ) X. X ) )
22	21	feq2d 5544	. . . 4 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( F : ( Y X. X ) --> X <-> F : ( ( Base ` H ) X. X ) --> X ) )
23	19, 22	mpbid 210	. . 3 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> F : ( ( Base ` H ) X. X ) --> X )
24		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
25	24	subg0cl 15682	. . . . . . 7 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. Y )
26		oveq12 6099	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = u ) -> ( x .+ y ) = ( ( 0g ` G ) .+ u ) )
27		ovex 6115	. . . . . . . 8 |- ( ( 0g ` G ) .+ u ) e. _V
28	26, 17, 27	ovmpt2a 6220	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0g ` G ) e. Y /\ u e. X ) -> ( ( 0g ` G ) F u ) = ( ( 0g ` G ) .+ u ) )
29	25, 28	sylan 468	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) -> ( ( 0g ` G ) F u ) = ( ( 0g ` G ) .+ u ) )
30	1, 24	subg0 15680	. . . . . . . 8 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` H ) )
31	30	oveq1d 6105	. . . . . . 7 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( ( 0g ` G ) F u ) = ( ( 0g ` H ) F u ) )
32	31	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) -> ( ( 0g ` G ) F u ) = ( ( 0g ` H ) F u ) )
33	3, 13, 24	grplid 15561	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ u e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u )
34	7, 33	sylan 468	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ u ) = u )
35	29, 32, 34	3eqtr3d 2481	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) -> ( ( 0g ` H ) F u ) = u )
36	7	ad2antrr 720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> G e. Grp )
37	9	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> Y C_ X )
38		simprl 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> v e. Y )
39	37, 38	sseldd 3354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> v e. X )
40		simprr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> w e. Y )
41	37, 40	sseldd 3354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> w e. X )
42		simplr 749	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> u e. X )
43	3, 13	grpass 15545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( v e. X /\ w e. X /\ u e. X ) ) -> ( ( v .+ w ) .+ u ) = ( v .+ ( w .+ u ) ) )
44	36, 39, 41, 42, 43	syl13anc 1215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( v .+ w ) .+ u ) = ( v .+ ( w .+ u ) ) )
45	3, 13	grpcl 15544	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ w e. X /\ u e. X ) -> ( w .+ u ) e. X )
46	36, 41, 42, 45	syl3anc 1213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( w .+ u ) e. X )
47		oveq12 6099	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = v /\ y = ( w .+ u ) ) -> ( x .+ y ) = ( v .+ ( w .+ u ) ) )
48		ovex 6115	. . . . . . . . . . 11 |- ( v .+ ( w .+ u ) ) e. _V
49	47, 17, 48	ovmpt2a 6220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. Y /\ ( w .+ u ) e. X ) -> ( v F ( w .+ u ) ) = ( v .+ ( w .+ u ) ) )
50	38, 46, 49	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( v F ( w .+ u ) ) = ( v .+ ( w .+ u ) ) )
51	44, 50	eqtr4d 2476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( v .+ w ) .+ u ) = ( v F ( w .+ u ) ) )
52	13	subgcl 15684	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ v e. Y /\ w e. Y ) -> ( v .+ w ) e. Y )
53	52	3expb 1183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( v .+ w ) e. Y )
54	53	adantlr 709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( v .+ w ) e. Y )
55		oveq12 6099	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( v .+ w ) /\ y = u ) -> ( x .+ y ) = ( ( v .+ w ) .+ u ) )
56		ovex 6115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v .+ w ) .+ u ) e. _V
57	55, 17, 56	ovmpt2a 6220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( v .+ w ) e. Y /\ u e. X ) -> ( ( v .+ w ) F u ) = ( ( v .+ w ) .+ u ) )
58	54, 42, 57	syl2anc 656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( v .+ w ) F u ) = ( ( v .+ w ) .+ u ) )
59		oveq12 6099	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = w /\ y = u ) -> ( x .+ y ) = ( w .+ u ) )
60		ovex 6115	. . . . . . . . . . 11 |- ( w .+ u ) e. _V
61	59, 17, 60	ovmpt2a 6220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. Y /\ u e. X ) -> ( w F u ) = ( w .+ u ) )
62	40, 42, 61	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( w F u ) = ( w .+ u ) )
63	62	oveq2d 6106	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( v F ( w F u ) ) = ( v F ( w .+ u ) ) )
64	51, 58, 63	3eqtr4d 2483	. . . . . . 7 |- ( ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) /\ ( v e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( v .+ w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) )
65	64	ralrimivva 2806	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) -> A. v e. Y A. w e. Y ( ( v .+ w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) )
66	1, 13	ressplusg 14276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> .+ = ( +g ` H ) )
67	66	oveqd 6107	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( v .+ w ) = ( v ( +g ` H ) w ) )
68	67	oveq1d 6105	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( ( v .+ w ) F u ) = ( ( v ( +g ` H ) w ) F u ) )
69	68	eqeq1d 2449	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( ( ( v .+ w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) <-> ( ( v ( +g ` H ) w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) ) )
70	20, 69	raleqbidv 2929	. . . . . . . 8 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( A. w e. Y ( ( v .+ w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) <-> A. w e. ( Base ` H ) ( ( v ( +g ` H ) w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) ) )
71	20, 70	raleqbidv 2929	. . . . . . 7 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( A. v e. Y A. w e. Y ( ( v .+ w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) <-> A. v e. ( Base ` H ) A. w e. ( Base ` H ) ( ( v ( +g ` H ) w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) ) )
72	71	biimpa 481	. . . . . 6 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ A. v e. Y A. w e. Y ( ( v .+ w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) ) -> A. v e. ( Base ` H ) A. w e. ( Base ` H ) ( ( v ( +g ` H ) w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) )
73	65, 72	syldan 467	. . . . 5 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) -> A. v e. ( Base ` H ) A. w e. ( Base ` H ) ( ( v ( +g ` H ) w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) )
74	35, 73	jca 529	. . . 4 |- ( ( Y e. (SubGrp ` G ) /\ u e. X ) -> ( ( ( 0g ` H ) F u ) = u /\ A. v e. ( Base ` H ) A. w e. ( Base ` H ) ( ( v ( +g ` H ) w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) ) )
75	74	ralrimiva 2797	. . 3 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> A. u e. X ( ( ( 0g ` H ) F u ) = u /\ A. v e. ( Base ` H ) A. w e. ( Base ` H ) ( ( v ( +g ` H ) w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) ) )
76	23, 75	jca 529	. 2 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> ( F : ( ( Base ` H ) X. X ) --> X /\ A. u e. X ( ( ( 0g ` H ) F u ) = u /\ A. v e. ( Base ` H ) A. w e. ( Base ` H ) ( ( v ( +g ` H ) w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) ) ) )
77		eqid 2441	. . 3 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
78		eqid 2441	. . 3 |- ( +g ` H ) = ( +g ` H )
79		eqid 2441	. . 3 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
80	77, 78, 79	isga 15802	. 2 |- ( F e. ( H GrpAct X ) <-> ( ( H e. Grp /\ X e. _V ) /\ ( F : ( ( Base ` H ) X. X ) --> X /\ A. u e. X ( ( ( 0g ` H ) F u ) = u /\ A. v e. ( Base ` H ) A. w e. ( Base ` H ) ( ( v ( +g ` H ) w ) F u ) = ( v F ( w F u ) ) ) ) ) )
81	6, 76, 80	sylanbrc 659	1 |- ( Y e. (SubGrp ` G ) -> F e. ( H GrpAct X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970   C_ wss 3325   X. cxp 4834   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   e. cmpt2 6092   Basecbs 14170   ↾_s cress 14171   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406  SubGrpcsubg 15668   GrpAct cga 15800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-subg 15671  df-ga 15801

This theorem is referenced by:  gaid2  15814