Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgga Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem subgga 16954
 Description: A subgroup acts on its parent group. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subgga.1
subgga.2
subgga.3 s
subgga.4
Assertion
Ref Expression
subgga SubGrp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   , ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem subgga
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgga.3 . . . 4 s
21subggrp 16820 . . 3 SubGrp
3 subgga.1 . . . 4
4 fvex 5875 . . . 4
53, 4eqeltri 2525 . . 3
62, 5jctir 541 . 2 SubGrp
7 subgrcl 16822 . . . . . . . 8 SubGrp
87adantr 467 . . . . . . 7 SubGrp
93subgss 16818 . . . . . . . . 9 SubGrp
109sselda 3432 . . . . . . . 8 SubGrp
1110adantrr 723 . . . . . . 7 SubGrp
12 simprr 766 . . . . . . 7 SubGrp
13 subgga.2 . . . . . . . 8
143, 13grpcl 16679 . . . . . . 7
158, 11, 12, 14syl3anc 1268 . . . . . 6 SubGrp
1615ralrimivva 2809 . . . . 5 SubGrp
17 subgga.4 . . . . . 6
1817fmpt2 6860 . . . . 5
1916, 18sylib 200 . . . 4 SubGrp
201subgbas 16821 . . . . . 6 SubGrp
2120xpeq1d 4857 . . . . 5 SubGrp
2221feq2d 5715 . . . 4 SubGrp
2319, 22mpbid 214 . . 3 SubGrp
24 eqid 2451 . . . . . . . 8
2524subg0cl 16825 . . . . . . 7 SubGrp
26 oveq12 6299 . . . . . . . 8
27 ovex 6318 . . . . . . . 8
2826, 17, 27ovmpt2a 6427 . . . . . . 7
2925, 28sylan 474 . . . . . 6 SubGrp
301, 24subg0 16823 . . . . . . . 8 SubGrp
3130oveq1d 6305 . . . . . . 7 SubGrp
3231adantr 467 . . . . . 6 SubGrp
333, 13, 24grplid 16696 . . . . . . 7
347, 33sylan 474 . . . . . 6 SubGrp
3529, 32, 343eqtr3d 2493 . . . . 5 SubGrp
367ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10 SubGrp
379ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
38 simprl 764 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
3937, 38sseldd 3433 . . . . . . . . . 10 SubGrp
40 simprr 766 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
4137, 40sseldd 3433 . . . . . . . . . 10 SubGrp
42 simplr 762 . . . . . . . . . 10 SubGrp
433, 13grpass 16680 . . . . . . . . . 10
4436, 39, 41, 42, 43syl13anc 1270 . . . . . . . . 9 SubGrp
453, 13grpcl 16679 . . . . . . . . . . 11
4636, 41, 42, 45syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10 SubGrp
47 oveq12 6299 . . . . . . . . . . 11
48 ovex 6318 . . . . . . . . . . 11
4947, 17, 48ovmpt2a 6427 . . . . . . . . . 10
5038, 46, 49syl2anc 667 . . . . . . . . 9 SubGrp
5144, 50eqtr4d 2488 . . . . . . . 8 SubGrp
5213subgcl 16827 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
53523expb 1209 . . . . . . . . . 10 SubGrp
5453adantlr 721 . . . . . . . . 9 SubGrp
55 oveq12 6299 . . . . . . . . . 10
56 ovex 6318 . . . . . . . . . 10
5755, 17, 56ovmpt2a 6427 . . . . . . . . 9
5854, 42, 57syl2anc 667 . . . . . . . 8 SubGrp
59 oveq12 6299 . . . . . . . . . . 11
60 ovex 6318 . . . . . . . . . . 11
6159, 17, 60ovmpt2a 6427 . . . . . . . . . 10
6240, 42, 61syl2anc 667 . . . . . . . . 9 SubGrp
6362oveq2d 6306 . . . . . . . 8 SubGrp
6451, 58, 633eqtr4d 2495 . . . . . . 7 SubGrp
6564ralrimivva 2809 . . . . . 6 SubGrp
661, 13ressplusg 15239 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
6766oveqd 6307 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
6867oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10 SubGrp
6968eqeq1d 2453 . . . . . . . . 9 SubGrp
7020, 69raleqbidv 3001 . . . . . . . 8 SubGrp
7120, 70raleqbidv 3001 . . . . . . 7 SubGrp
7271biimpa 487 . . . . . 6 SubGrp
7365, 72syldan 473 . . . . 5 SubGrp
7435, 73jca 535 . . . 4 SubGrp
7574ralrimiva 2802 . . 3 SubGrp
7623, 75jca 535 . 2 SubGrp
77 eqid 2451 . . 3
78 eqid 2451 . . 3
79 eqid 2451 . . 3
8077, 78, 79isga 16945 . 2
816, 76, 80sylanbrc 670 1 SubGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  cvv 3045   wss 3404   cxp 4832  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmpt2 6292  cbs 15121   ↾s cress 15122   cplusg 15190  c0g 15338  cgrp 16669  SubGrpcsubg 16811   cga 16943 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-subg 16814  df-ga 16944 This theorem is referenced by:  gaid2  16957
 Copyright terms: Public domain W3C validator