MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subge02d Structured version   Unicode version

Theorem subge02d 10102
Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
subge02d  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  B  <->  ( A  -  B )  <_  A ) )

Proof of Theorem subge02d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 subge02 10027 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  B  <->  ( A  -  B )  <_  A ) )
41, 2, 3syl2anc 659 1  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  B  <->  ( A  -  B )  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1840   class class class wbr 4392  (class class class)co 6232   RRcr 9439   0cc0 9440    <_ cle 9577    - cmin 9759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-uni 4189  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762
This theorem is referenced by:  uzsubsubfz  11676  modsubdir  12007  iseraltlem3  13560  fsum0diaglem  13647  mertenslem1  13750  fallfacval4  13893  bitsinv1lem  14190  smueqlem  14239  pcbc  14518  coe1tmmul2  18527  ovoliunlem1  22095  ioorcl2  22163  vitalilem2  22200  dvfsumlem4  22612  cosordlem  23100  efif1olem2  23112  basellem3  23627  chpub  23766  lgsquadlem1  23900  rplogsumlem2  23941  rpvmasumlem  23943  pntrlog2bnd  24040  pntleml  24067  jm2.17b  35224  dvnprodlem1  37078  dvnprodlem2  37079  fourierdlem107  37331  etransclem3  37355  etransclem7  37359  etransclem10  37362  etransclem24  37376
  Copyright terms: Public domain W3C validator