MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subge0 Structured version   Unicode version

Theorem subge0 9852
Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
subge0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )

Proof of Theorem subge0
StepHypRef Expression
1 0red 9387 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
2 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
3 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
4 leaddsub 9815 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  +  B
)  <_  A  <->  0  <_  ( A  -  B ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  +  B )  <_  A  <->  0  <_  ( A  -  B ) ) )
62recnd 9412 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
76addid2d 9570 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  +  B
)  =  B )
87breq1d 4302 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  +  B )  <_  A  <->  B  <_  A ) )
95, 8bitr3d 255 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   RRcr 9281   0cc0 9282    + caddc 9285    <_ cle 9419    - cmin 9595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598
This theorem is referenced by:  subge0i  9893  subge0d  9929  mulsuble0b  10201  znn0sub  10692  uzindOLD  10736  uzsubsubfz  11471  fracge0  11654  modge0  11717  2submod  11760  expnbnd  11993  swrdccatin12lem2  12380  swrdccat  12384  repswswrd  12422  cshwidxmod  12440  abssubge0  12815  blcvx  20375  iirev  20501  iihalf2  20505  ovolfsf  20955  cosq14ge0  21973  sinord  21990  resinf1o  21992  ang180lem2  22206  acosbnd  22295  ftalem5  22414  mumullem2  22518  rpvmasumlem  22736  dchrisum0flblem1  22757  brbtwn2  23151  colinearalglem4  23155  ax5seglem3  23177  rescon  27135  fz0n  27389  sin2h  28422  cos2h  28423  tan2h  28424  ftc1anclem5  28471  dvasin  28480  jm2.23  29345  lesubnn0  30181  subsubelfzo0  30210  difelfzle  30487  difelfznle  30488
  Copyright terms: Public domain W3C validator