MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subge0 Structured version   Unicode version

Theorem subge0 10086
Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
subge0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )

Proof of Theorem subge0
StepHypRef Expression
1 0red 9614 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
2 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
3 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
4 leaddsub 10049 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  +  B
)  <_  A  <->  0  <_  ( A  -  B ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  +  B )  <_  A  <->  0  <_  ( A  -  B ) ) )
62recnd 9639 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
76addid2d 9798 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  +  B
)  =  B )
87breq1d 4466 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  +  B )  <_  A  <->  B  <_  A ) )
95, 8bitr3d 255 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1819   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509    + caddc 9512    <_ cle 9646    - cmin 9824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827
This theorem is referenced by:  subge0i  10127  subge0d  10163  mulsuble0b  10435  znn0sub  10932  uzindOLD  10978  uzsubsubfz  11732  difelfzle  11814  difelfznle  11815  fracge0  11944  modge0  12008  2submod  12051  expnbnd  12298  swrdccatin12lem2  12726  swrdccat  12730  repswswrd  12768  cshwidxmod  12786  abssubge0  13172  blcvx  21429  iirev  21555  iihalf2  21559  ovolfsf  22009  cosq14ge0  23030  sinord  23047  resinf1o  23049  ang180lem2  23268  acosbnd  23357  ftalem5  23476  mumullem2  23580  rpvmasumlem  23798  dchrisum0flblem1  23819  brbtwn2  24335  colinearalglem4  24339  ax5seglem3  24361  rescon  28888  fz0n  29307  sin2h  30229  cos2h  30230  tan2h  30231  ftc1anclem5  30278  dvasin  30287  jm2.23  31121  pfxccatin12lem2  32521  lesubnn0  32569  subsubelfzo0  32581
  Copyright terms: Public domain W3C validator