Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgdisj1 Structured version   Unicode version

Theorem subgdisj1 16580
 Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
subgdisj.p
subgdisj.o
subgdisj.z Cntz
subgdisj.t SubGrp
subgdisj.u SubGrp
subgdisj.i
subgdisj.s
subgdisj.a
subgdisj.c
subgdisj.b
subgdisj.d
subgdisj.j
Assertion
Ref Expression
subgdisj1

Proof of Theorem subgdisj1
StepHypRef Expression
1 subgdisj.t . . . . . 6 SubGrp
2 subgdisj.a . . . . . 6
3 subgdisj.c . . . . . 6
4 eqid 2467 . . . . . . 7
54subgsubcl 16083 . . . . . 6 SubGrp
61, 2, 3, 5syl3anc 1228 . . . . 5
7 subgdisj.j . . . . . . . . 9
8 subgdisj.s . . . . . . . . . . 11
98, 3sseldd 3510 . . . . . . . . . 10
10 subgdisj.b . . . . . . . . . 10
11 subgdisj.p . . . . . . . . . . 11
12 subgdisj.z . . . . . . . . . . 11 Cntz
1311, 12cntzi 16238 . . . . . . . . . 10
149, 10, 13syl2anc 661 . . . . . . . . 9
157, 14oveq12d 6313 . . . . . . . 8
16 subgrcl 16077 . . . . . . . . . 10 SubGrp
171, 16syl 16 . . . . . . . . 9
18 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13
1918subgss 16073 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
201, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11
2120, 2sseldd 3510 . . . . . . . . . 10
22 subgdisj.u . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
2318subgss 16073 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11
2524, 10sseldd 3510 . . . . . . . . . 10
2618, 11grpcl 15934 . . . . . . . . . 10
2717, 21, 25, 26syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
2820, 3sseldd 3510 . . . . . . . . 9
2918, 11, 4grpsubsub4 16002 . . . . . . . . 9
3017, 27, 25, 28, 29syl13anc 1230 . . . . . . . 8
317, 27eqeltrrd 2556 . . . . . . . . 9
3218, 11, 4grpsubsub4 16002 . . . . . . . . 9
3317, 31, 28, 25, 32syl13anc 1230 . . . . . . . 8
3415, 30, 333eqtr4d 2518 . . . . . . 7
3518, 11, 4grppncan 16000 . . . . . . . . 9
3617, 21, 25, 35syl3anc 1228 . . . . . . . 8
3736oveq1d 6310 . . . . . . 7
38 subgdisj.d . . . . . . . . . . 11
3911, 12cntzi 16238 . . . . . . . . . . 11
409, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
4140oveq1d 6310 . . . . . . . . 9
4224, 38sseldd 3510 . . . . . . . . . 10
4318, 11, 4grppncan 16000 . . . . . . . . . 10
4417, 42, 28, 43syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
4541, 44eqtrd 2508 . . . . . . . 8
4645oveq1d 6310 . . . . . . 7
4734, 37, 463eqtr3d 2516 . . . . . 6
484subgsubcl 16083 . . . . . . 7 SubGrp
4922, 38, 10, 48syl3anc 1228 . . . . . 6
5047, 49eqeltrd 2555 . . . . 5
516, 50elind 3693 . . . 4
52 subgdisj.i . . . 4
5351, 52eleqtrd 2557 . . 3
54 elsni 4058 . . 3
5553, 54syl 16 . 2
56 subgdisj.o . . . 4
5718, 56, 4grpsubeq0 15995 . . 3
5817, 21, 28, 57syl3anc 1228 . 2
5955, 58mpbid 210 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wceq 1379   wcel 1767   cin 3480   wss 3481  csn 4033  cfv 5594  (class class class)co 6295  cbs 14506   cplusg 14571  c0g 14711  cgrp 15924  csg 15926  SubGrpcsubg 16066  Cntzccntz 16224 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-0g 14713  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-subg 16069  df-cntz 16226 This theorem is referenced by:  subgdisj2  16581  subgdisjb  16582  lvecindp  17653
 Copyright terms: Public domain W3C validator