MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgcl Structured version   Unicode version

Theorem subgcl 15696
Description: A subgroup is closed under group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subgcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
subgcl  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y )  e.  S )

Proof of Theorem subgcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Gs  S )  =  ( Gs  S )
21subggrp 15689 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Gs  S
)  e.  Grp )
323ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( Gs  S )  e.  Grp )
4 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  X  e.  S )
51subgbas 15690 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =  ( Base `  ( Gs  S
) ) )
653ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  S  =  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
74, 6eleqtrd 2519 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  X  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
8 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  Y  e.  S )
98, 6eleqtrd 2519 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  Y  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
10 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  ( Gs  S ) )  =  ( Base `  ( Gs  S ) )
11 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +g  `  ( Gs  S ) )  =  ( +g  `  ( Gs  S ) )
1210, 11grpcl 15556 . . 3  |-  ( ( ( Gs  S )  e.  Grp  /\  X  e.  ( Base `  ( Gs  S ) )  /\  Y  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )  ->  ( X ( +g  `  ( Gs  S ) ) Y )  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
133, 7, 9, 12syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X ( +g  `  ( Gs  S ) ) Y )  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
14 subgcl.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
151, 14ressplusg 14285 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .+  =  ( +g  `  ( Gs  S ) ) )
16153ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  .+  =  ( +g  `  ( Gs  S ) ) )
1716oveqd 6113 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( X ( +g  `  ( Gs  S ) ) Y ) )
1813, 17, 63eltr4d 2524 1  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y )  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   ↾s cress 14180   +g cplusg 14243   Grpcgrp 15415  SubGrpcsubg 15680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-subg 15683
This theorem is referenced by:  subgsubcl  15697  subgmulgcl  15699  issubg2  15701  subgint  15710  ssnmz  15728  eqger  15736  eqgcpbl  15740  resghm  15768  ghmpreima  15773  subgga  15823  gasubg  15825  sylow2blem2  16125  lsmidm  16166  lsmmod  16177  pj1ghm  16205  dprdfadd  16515  dprdfaddOLD  16522  pgpfac1lem3  16583  subrgacl  16881  islss4  17048  mpllsslem  17516  mpllsslemOLD  17518  subgntr  19682  taylply2  21838
  Copyright terms: Public domain W3C validator