MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgcl Structured version   Unicode version

Theorem subgcl 16083
Description: A subgroup is closed under group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subgcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
subgcl  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y )  e.  S )

Proof of Theorem subgcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Gs  S )  =  ( Gs  S )
21subggrp 16076 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Gs  S
)  e.  Grp )
323ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( Gs  S )  e.  Grp )
4 simp2 997 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  X  e.  S )
51subgbas 16077 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =  ( Base `  ( Gs  S
) ) )
653ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  S  =  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
74, 6eleqtrd 2557 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  X  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
8 simp3 998 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  Y  e.  S )
98, 6eleqtrd 2557 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  Y  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
10 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  ( Gs  S ) )  =  ( Base `  ( Gs  S ) )
11 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  ( Gs  S ) )  =  ( +g  `  ( Gs  S ) )
1210, 11grpcl 15935 . . 3  |-  ( ( ( Gs  S )  e.  Grp  /\  X  e.  ( Base `  ( Gs  S ) )  /\  Y  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )  ->  ( X ( +g  `  ( Gs  S ) ) Y )  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
133, 7, 9, 12syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X ( +g  `  ( Gs  S ) ) Y )  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
14 subgcl.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
151, 14ressplusg 14614 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .+  =  ( +g  `  ( Gs  S ) ) )
16153ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  .+  =  ( +g  `  ( Gs  S ) ) )
1716oveqd 6312 . 2  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( X ( +g  `  ( Gs  S ) ) Y ) )
1813, 17, 63eltr4d 2570 1  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  .+  Y )  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   ↾s cress 14508   +g cplusg 14572   Grpcgrp 15925  SubGrpcsubg 16067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-subg 16070
This theorem is referenced by:  subgsubcl  16084  subgmulgcl  16086  issubg2  16088  subgint  16097  ssnmz  16115  eqger  16123  eqgcpbl  16127  resghm  16155  ghmpreima  16160  subgga  16210  gasubg  16212  sylow2blem2  16514  lsmidm  16555  lsmmod  16566  pj1ghm  16594  dprdfadd  16932  dprdfaddOLD  16939  pgpfac1lem3  17000  subrgacl  17311  islss4  17479  mpllsslem  17964  mpllsslemOLD  17966  subgntr  20473  taylply2  22630  efgh  22794
  Copyright terms: Public domain W3C validator