Theorem subgbas 16404

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
subgbas	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2454	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	subgss 16401	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
3		subggrp.h	. . 3 |- H = ( G ↾s S )
4	3, 1	ressbas2 14774	. 2 |- ( S C_ ( Base ` G ) -> S = ( Base ` H ) )
5	2, 4	syl 16	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 1823   C_ wss 3461   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   ↾_s cress 14717  SubGrpcsubg 16394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-nn 10532  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-subg 16397

This theorem is referenced by:  subg0  16406  subginv  16407  subg0cl  16408  subginvcl  16409  subgcl  16410  subgsub  16412  subgmulg  16414  issubg2  16415  subsubg  16423  nmznsg  16444  subgga  16537  gasubg  16539  odsubdvds  16790  pgp0  16815  subgpgp  16816  sylow2blem2  16840  sylow2blem3  16841  slwhash  16843  fislw  16844  sylow3lem4  16849  sylow3lem6  16851  subglsm  16890  pj1ghm  16920  subgabl  17043  cycsubgcyg  17102  subgdmdprd  17276  ablfacrplem  17311  ablfac1c  17317  pgpfaclem1  17327  pgpfaclem2  17328  pgpfaclem3  17329  ablfaclem3  17333  ablfac2  17335  subrgbas  17633  issubrg2  17644  pj1lmhm  17941  scmatsgrp1  19191  subgtgp  20770  subgnm  21313  subgngp  21315  lssnlm  21375  reefgim  23011  efabl  23103