Theorem subgbas 15676

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
subgbas	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2438	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	subgss 15673	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
3		subggrp.h	. . 3 |- H = ( G ↾s S )
4	3, 1	ressbas2 14221	. 2 |- ( S C_ ( Base ` G ) -> S = ( Base ` H ) )
5	2, 4	syl 16	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1369   e. wcel 1756   C_ wss 3323   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   ↾_s cress 14167  SubGrpcsubg 15666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-nn 10315  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-subg 15669

This theorem is referenced by:  subg0  15678  subginv  15679  subg0cl  15680  subginvcl  15681  subgcl  15682  subgsub  15684  subgmulg  15686  issubg2  15687  subsubg  15695  nmznsg  15716  subgga  15809  gasubg  15811  odsubdvds  16061  pgp0  16086  subgpgp  16087  sylow2blem2  16111  sylow2blem3  16112  slwhash  16114  fislw  16115  sylow3lem4  16120  sylow3lem6  16122  subglsm  16161  pj1ghm  16191  subgabl  16311  cycsubgcyg  16368  subgdmdprd  16519  ablfacrplem  16554  ablfac1c  16560  pgpfaclem1  16570  pgpfaclem2  16571  pgpfaclem3  16572  ablfaclem3  16576  ablfac2  16578  subrgbas  16852  issubrg2  16863  pj1lmhm  17158  zcyg  17887  subgtgp  19651  subgnm  20194  subgngp  20196  lssnlm  20256  reefgim  21890  scmatsgrp1  30812