Theorem subgbas 14903

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
subgbas	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2404	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	subgss 14900	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
3		subggrp.h	. . 3 |- H = ( G ↾s S )
4	3, 1	ressbas2 13475	. 2 |- ( S C_ ( Base ` G ) -> S = ( Base ` H ) )
5	2, 4	syl 16	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1649   e. wcel 1721   C_ wss 3280   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   ↾_s cress 13425  SubGrpcsubg 14893

This theorem is referenced by:  subg0  14905  subginv  14906  subg0cl  14907  subginvcl  14908  subgcl  14909  subgsub  14911  subgmulg  14913  issubg2  14914  subsubg  14918  nmznsg  14939  subgga  15032  gasubg  15034  odsubdvds  15160  pgp0  15185  subgpgp  15186  sylow2blem2  15210  sylow2blem3  15211  slwhash  15213  fislw  15214  sylow3lem4  15219  sylow3lem6  15221  subglsm  15260  pj1ghm  15290  subgabl  15410  cycsubgcyg  15465  subgdmdprd  15547  ablfacrplem  15578  ablfac1c  15584  pgpfaclem1  15594  pgpfaclem2  15595  pgpfaclem3  15596  ablfaclem3  15600  ablfac2  15602  subrgbas  15832  issubrg2  15843  pj1lmhm  16127  zcyg  16727  subgtgp  18088  subgnm  18627  subgngp  18629  lssnlm  18689  reefgim  20319  dchrisum0flblem1  21155

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-nn 9957  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-subg 14896