Theorem subgbas 15803

Description: The base of the restricted group in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	|- H = ( G ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
subgbas	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )

Proof of Theorem subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2454	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2	1	subgss 15800	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ ( Base ` G ) )
3		subggrp.h	. . 3 |- H = ( G ↾s S )
4	3, 1	ressbas2 14347	. 2 |- ( S C_ ( Base ` G ) -> S = ( Base ` H ) )
5	2, 4	syl 16	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1370   e. wcel 1758   C_ wss 3435   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   Basecbs 14291   ↾_s cress 14292  SubGrpcsubg 15793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-nn 10433  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-subg 15796

This theorem is referenced by:  subg0  15805  subginv  15806  subg0cl  15807  subginvcl  15808  subgcl  15809  subgsub  15811  subgmulg  15813  issubg2  15814  subsubg  15822  nmznsg  15843  subgga  15936  gasubg  15938  odsubdvds  16190  pgp0  16215  subgpgp  16216  sylow2blem2  16240  sylow2blem3  16241  slwhash  16243  fislw  16244  sylow3lem4  16249  sylow3lem6  16251  subglsm  16290  pj1ghm  16320  subgabl  16440  cycsubgcyg  16497  subgdmdprd  16652  ablfacrplem  16687  ablfac1c  16693  pgpfaclem1  16703  pgpfaclem2  16704  pgpfaclem3  16705  ablfaclem3  16709  ablfac2  16711  subrgbas  16996  issubrg2  17007  pj1lmhm  17303  zcyg  18036  subgtgp  19807  subgnm  20350  subgngp  20352  lssnlm  20412  reefgim  22047  scmatsgrp1  31054