MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgacs Structured version   Unicode version

Theorem subgacs 15709
Description: Subgroups are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgacs.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
subgacs  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )

Proof of Theorem subgacs
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
21issubg3 15692 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  s  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  s ) ) )
3 subgacs.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
43submss 15473 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  (SubMnd `  G
)  ->  s  C_  B )
54adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  s  C_  B )
6 selpw 3864 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ~P B  <->  s  C_  B )
75, 6sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  s  e.  ~P B )
8 eleq2 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  s  ->  (
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y  <->  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  s ) )
98raleqbi1dv 2923 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  s  ->  ( A. x  e.  y 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y  <->  A. x  e.  s  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  s ) )
109elrab3 3115 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ~P B  -> 
( s  e.  {
y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y }  <->  A. x  e.  s 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  s ) )
117, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  (
s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y }  <->  A. x  e.  s 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  s ) )
1211pm5.32da 636 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  y } )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  s  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  s ) ) )
132, 12bitr4d 256 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y } ) ) )
14 elin 3536 . . . 4  |-  ( s  e.  ( (SubMnd `  G )  i^i  {
y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y } )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y } ) )
1513, 14syl6bbr 263 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  s  e.  ( (SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  y } ) ) )
1615eqrdv 2439 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  =  ( (SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  y } ) )
17 fvex 5698 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  e.  _V
183, 17eqeltri 2511 . . . 4  |-  B  e. 
_V
19 mreacs 14592 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
2018, 19mp1i 12 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
21 grpmnd 15543 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
223submacs 15488 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
2321, 22syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
243, 1grpinvcl 15576 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  B )
2524ralrimiva 2797 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. x  e.  B  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  B )
26 acsfn1 14595 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. x  e.  B  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  B )  ->  { y  e. 
~P B  |  A. x  e.  y  (
( invg `  G ) `  x
)  e.  y }  e.  (ACS `  B
) )
2718, 25, 26sylancr 658 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y }  e.  (ACS `  B
) )
28 mreincl 14533 . . 3  |-  ( ( (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B )  /\  (SubMnd `  G
)  e.  (ACS `  B )  /\  {
y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y }  e.  (ACS `  B
) )  ->  (
(SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  y } )  e.  (ACS `  B )
)
2920, 23, 27, 28syl3anc 1213 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
(SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  y } )  e.  (ACS `  B )
)
3016, 29eqeltrd 2515 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970    i^i cin 3324    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   ` cfv 5415   Basecbs 14170  Moorecmre 14516  ACScacs 14519   Mndcmnd 15405   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407  SubMndcsubmnd 15459  SubGrpcsubg 15668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-subg 15671
This theorem is referenced by:  nsgacs  15710  cycsubg2  15711  cycsubg2cl  15712  odf1o1  16064  lsmmod  16165  dmdprdd  16471  dprdfeq0  16502  dprdfeq0OLD  16509  dprdspan  16514  dprdres  16515  dprdss  16516  dprdz  16517  subgdmdprd  16521  subgdprd  16522  dprdsn  16523  dprd2dlem1  16530  dprd2da  16531  dmdprdsplit2lem  16534  ablfac1b  16561  pgpfac1lem1  16565  pgpfac1lem2  16566  pgpfac1lem3a  16567  pgpfac1lem3  16568  pgpfac1lem4  16569  pgpfac1lem5  16570  pgpfaclem1  16572  pgpfaclem2  16573  lssacs  17026  subrgacs  29482  proot1mul  29489  proot1hash  29493
  Copyright terms: Public domain W3C validator