MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgacs Structured version   Unicode version

Theorem subgacs 16438
Description: Subgroups are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgacs.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
subgacs  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )

Proof of Theorem subgacs
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
21issubg3 16421 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  s  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  s ) ) )
3 subgacs.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
43submss 16183 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  (SubMnd `  G
)  ->  s  C_  B )
54adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  s  C_  B )
6 selpw 4006 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ~P B  <->  s  C_  B )
75, 6sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  s  e.  ~P B )
8 eleq2 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  s  ->  (
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y  <->  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  s ) )
98raleqbi1dv 3059 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  s  ->  ( A. x  e.  y 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y  <->  A. x  e.  s  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  s ) )
109elrab3 3255 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ~P B  -> 
( s  e.  {
y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y }  <->  A. x  e.  s 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  s ) )
117, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  (
s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y }  <->  A. x  e.  s 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  s ) )
1211pm5.32da 639 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  y } )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  s  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  s ) ) )
132, 12bitr4d 256 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y } ) ) )
14 elin 3673 . . . 4  |-  ( s  e.  ( (SubMnd `  G )  i^i  {
y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y } )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y } ) )
1513, 14syl6bbr 263 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  s  e.  ( (SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  y } ) ) )
1615eqrdv 2451 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  =  ( (SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  y } ) )
17 fvex 5858 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  e.  _V
183, 17eqeltri 2538 . . . 4  |-  B  e. 
_V
19 mreacs 15150 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
2018, 19mp1i 12 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
21 grpmnd 16264 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
223submacs 16198 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
2321, 22syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
243, 1grpinvcl 16297 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  B )
2524ralrimiva 2868 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. x  e.  B  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  B )
26 acsfn1 15153 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. x  e.  B  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  B )  ->  { y  e. 
~P B  |  A. x  e.  y  (
( invg `  G ) `  x
)  e.  y }  e.  (ACS `  B
) )
2718, 25, 26sylancr 661 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y }  e.  (ACS `  B
) )
28 mreincl 15091 . . 3  |-  ( ( (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B )  /\  (SubMnd `  G
)  e.  (ACS `  B )  /\  {
y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y }  e.  (ACS `  B
) )  ->  (
(SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  y } )  e.  (ACS `  B )
)
2920, 23, 27, 28syl3anc 1226 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
(SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  y } )  e.  (ACS `  B )
)
3016, 29eqeltrd 2542 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   {crab 2808   _Vcvv 3106    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   ` cfv 5570   Basecbs 14719  Moorecmre 15074  ACScacs 15077   Mndcmnd 16121  SubMndcsubmnd 16167   Grpcgrp 16255   invgcminusg 16256  SubGrpcsubg 16397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-0g 14934  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-subg 16400
This theorem is referenced by:  nsgacs  16439  cycsubg2  16440  cycsubg2cl  16441  odf1o1  16794  lsmmod  16895  dmdprdd  17228  dprdfeq0  17260  dprdfeq0OLD  17267  dprdspan  17272  dprdres  17273  dprdss  17274  dprdz  17275  subgdmdprd  17279  subgdprd  17280  dprdsn  17281  dprd2dlem1  17288  dprd2da  17289  dmdprdsplit2lem  17292  ablfac1b  17319  pgpfac1lem1  17323  pgpfac1lem2  17324  pgpfac1lem3a  17325  pgpfac1lem3  17326  pgpfac1lem4  17327  pgpfac1lem5  17328  pgpfaclem1  17330  pgpfaclem2  17331  lssacs  17811  subrgacs  31393  proot1mul  31400  proot1hash  31404
  Copyright terms: Public domain W3C validator