MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgacs Structured version   Unicode version

Theorem subgacs 15716
Description: Subgroups are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgacs.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
subgacs  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )

Proof of Theorem subgacs
Dummy variables  s  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
21issubg3 15699 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  s  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  s ) ) )
3 subgacs.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
43submss 15478 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  (SubMnd `  G
)  ->  s  C_  B )
54adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  s  C_  B )
6 selpw 3867 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ~P B  <->  s  C_  B )
75, 6sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  s  e.  ~P B )
8 eleq2 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  s  ->  (
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y  <->  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  s ) )
98raleqbi1dv 2925 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  s  ->  ( A. x  e.  y 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y  <->  A. x  e.  s  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  s ) )
109elrab3 3118 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ~P B  -> 
( s  e.  {
y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y }  <->  A. x  e.  s 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  s ) )
117, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  (SubMnd `  G
) )  ->  (
s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y }  <->  A. x  e.  s 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  s ) )
1211pm5.32da 641 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  y } )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  s  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  s ) ) )
132, 12bitr4d 256 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y } ) ) )
14 elin 3539 . . . 4  |-  ( s  e.  ( (SubMnd `  G )  i^i  {
y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y } )  <->  ( s  e.  (SubMnd `  G )  /\  s  e.  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y } ) )
1513, 14syl6bbr 263 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  s  e.  ( (SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  y } ) ) )
1615eqrdv 2441 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  =  ( (SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  y } ) )
17 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  e.  _V
183, 17eqeltri 2513 . . . 4  |-  B  e. 
_V
19 mreacs 14596 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
2018, 19mp1i 12 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B ) )
21 grpmnd 15550 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
223submacs 15493 . . . 4  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
2321, 22syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
243, 1grpinvcl 15583 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  B )
2524ralrimiva 2799 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. x  e.  B  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  B )
26 acsfn1 14599 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A. x  e.  B  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  B )  ->  { y  e. 
~P B  |  A. x  e.  y  (
( invg `  G ) `  x
)  e.  y }  e.  (ACS `  B
) )
2718, 25, 26sylancr 663 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y 
( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y }  e.  (ACS `  B
) )
28 mreincl 14537 . . 3  |-  ( ( (ACS `  B )  e.  (Moore `  ~P B )  /\  (SubMnd `  G
)  e.  (ACS `  B )  /\  {
y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  y }  e.  (ACS `  B
) )  ->  (
(SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  y } )  e.  (ACS `  B )
)
2920, 23, 27, 28syl3anc 1218 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
(SubMnd `  G )  i^i  { y  e.  ~P B  |  A. x  e.  y  ( ( invg `  G ) `
 x )  e.  y } )  e.  (ACS `  B )
)
3016, 29eqeltrd 2517 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   {crab 2719   _Vcvv 2972    i^i cin 3327    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   ` cfv 5418   Basecbs 14174  Moorecmre 14520  ACScacs 14523   Mndcmnd 15409   Grpcgrp 15410   invgcminusg 15411  SubMndcsubmnd 15463  SubGrpcsubg 15675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-0g 14380  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-subg 15678
This theorem is referenced by:  nsgacs  15717  cycsubg2  15718  cycsubg2cl  15719  odf1o1  16071  lsmmod  16172  dmdprdd  16481  dprdfeq0  16512  dprdfeq0OLD  16519  dprdspan  16524  dprdres  16525  dprdss  16526  dprdz  16527  subgdmdprd  16531  subgdprd  16532  dprdsn  16533  dprd2dlem1  16540  dprd2da  16541  dmdprdsplit2lem  16544  ablfac1b  16571  pgpfac1lem1  16575  pgpfac1lem2  16576  pgpfac1lem3a  16577  pgpfac1lem3  16578  pgpfac1lem4  16579  pgpfac1lem5  16580  pgpfaclem1  16582  pgpfaclem2  16583  lssacs  17048  subrgacs  29557  proot1mul  29564  proot1hash  29568
  Copyright terms: Public domain W3C validator