MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subg0cl Structured version   Unicode version

Theorem subg0cl 16812
Description: The group identity is an element of any subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subg0cl.i  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
subg0cl  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )

Proof of Theorem subg0cl
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . . . 4  |-  ( Gs  S )  =  ( Gs  S )
21subggrp 16807 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Gs  S
)  e.  Grp )
3 eqid 2422 . . . 4  |-  ( Base `  ( Gs  S ) )  =  ( Base `  ( Gs  S ) )
4 eqid 2422 . . . 4  |-  ( 0g
`  ( Gs  S ) )  =  ( 0g
`  ( Gs  S ) )
53, 4grpidcl 16681 . . 3  |-  ( ( Gs  S )  e.  Grp  ->  ( 0g `  ( Gs  S ) )  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
62, 5syl 17 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  ( Gs  S ) )  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
7 subg0cl.i . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
81, 7subg0 16810 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  =  ( 0g `  ( Gs  S ) ) )
91subgbas 16808 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =  ( Base `  ( Gs  S
) ) )
106, 8, 93eltr4d 2525 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1868   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   Basecbs 15108   ↾s cress 15109   0gc0g 15325   Grpcgrp 16656  SubGrpcsubg 16798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-0g 15327  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-grp 16660  df-subg 16801
This theorem is referenced by:  subgmulgcl  16817  issubg3  16822  issubg4  16823  subgint  16828  eqger  16854  ghmpreima  16891  subgga  16941  gasubg  16943  sylow1lem5  17241  sylow2blem2  17260  sylow2blem3  17261  fislw  17264  sylow3lem3  17268  sylow3lem4  17269  lsm01  17308  lsm02  17309  lsmdisj  17318  lsmdisj2  17319  pj1lid  17338  pj1rid  17339  dmdprdd  17618  dprdfid  17637  dprdfeq0  17642  dprdsubg  17644  dprdres  17648  dprdz  17650  dprdsn  17656  dmdprdsplitlem  17657  dprddisj2  17659  dprd2da  17662  dmdprdsplit2lem  17665  ablfacrp  17686  ablfacrp2  17687  ablfac1c  17691  ablfac1eu  17693  pgpfac1lem3a  17696  pgpfac1lem3  17697  pgpfac1lem5  17699  pgpfaclem2  17702  pgpfaclem3  17703  abvres  18054  islss4  18172  subrgpsr  18630  mpllsslem  18646  0elcpmat  19732  opnsubg  21108  clssubg  21109  tgpconcompss  21114  plypf1  23152  dvply2g  23224  efsubm  23486  dchrptlem3  24180  fsumcnsrcl  35951  cnsrplycl  35952  rngunsnply  35958
  Copyright terms: Public domain W3C validator