MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subg0cl Structured version   Unicode version

Theorem subg0cl 15688
Description: The group identity is an element of any subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subg0cl.i  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
subg0cl  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )

Proof of Theorem subg0cl
StepHypRef Expression
1 eqid 2442 . . . 4  |-  ( Gs  S )  =  ( Gs  S )
21subggrp 15683 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Gs  S
)  e.  Grp )
3 eqid 2442 . . . 4  |-  ( Base `  ( Gs  S ) )  =  ( Base `  ( Gs  S ) )
4 eqid 2442 . . . 4  |-  ( 0g
`  ( Gs  S ) )  =  ( 0g
`  ( Gs  S ) )
53, 4grpidcl 15565 . . 3  |-  ( ( Gs  S )  e.  Grp  ->  ( 0g `  ( Gs  S ) )  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
62, 5syl 16 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  ( Gs  S ) )  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
7 subg0cl.i . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
81, 7subg0 15686 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  =  ( 0g `  ( Gs  S ) ) )
91subgbas 15684 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =  ( Base `  ( Gs  S
) ) )
106, 8, 93eltr4d 2523 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Basecbs 14173   ↾s cress 14174   0gc0g 14377   Grpcgrp 15409  SubGrpcsubg 15674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-0g 14379  df-mnd 15414  df-grp 15544  df-subg 15677
This theorem is referenced by:  subgmulgcl  15693  issubg3  15698  issubg4  15699  subgint  15704  eqger  15730  ghmpreima  15767  subgga  15817  gasubg  15819  sylow1lem5  16100  sylow2blem2  16119  sylow2blem3  16120  fislw  16123  sylow3lem3  16127  sylow3lem4  16128  lsm01  16167  lsm02  16168  lsmdisj  16177  lsmdisj2  16178  pj1lid  16197  pj1rid  16198  dmdprdd  16480  dprdfid  16506  dprdfeq0  16511  dprdfidOLD  16513  dprdfeq0OLD  16518  dprdsubg  16520  dprdres  16524  dprdz  16526  dprdsn  16532  dmdprdsplitlem  16533  dmdprdsplitlemOLD  16534  dprddisj2  16536  dprddisj2OLD  16537  dprd2da  16540  dmdprdsplit2lem  16543  ablfacrp  16566  ablfacrp2  16567  ablfac1c  16571  ablfac1eu  16573  pgpfac1lem3a  16576  pgpfac1lem3  16577  pgpfac1lem5  16579  pgpfaclem2  16582  pgpfaclem3  16583  abvres  16923  islss4  17042  subrgpsr  17490  mpllsslem  17510  mpllsslemOLD  17512  opnsubg  19677  clssubg  19678  tgpconcompss  19683  plypf1  21679  dvply2g  21750  dchrptlem3  22604  fsumcnsrcl  29521  cnsrplycl  29522  rngunsnply  29528
  Copyright terms: Public domain W3C validator