MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subg0cl Structured version   Unicode version

Theorem subg0cl 16014
Description: The group identity is an element of any subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subg0cl.i  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
subg0cl  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )

Proof of Theorem subg0cl
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Gs  S )  =  ( Gs  S )
21subggrp 16009 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Gs  S
)  e.  Grp )
3 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  ( Gs  S ) )  =  ( Base `  ( Gs  S ) )
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 0g
`  ( Gs  S ) )  =  ( 0g
`  ( Gs  S ) )
53, 4grpidcl 15888 . . 3  |-  ( ( Gs  S )  e.  Grp  ->  ( 0g `  ( Gs  S ) )  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
62, 5syl 16 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  ( Gs  S ) )  e.  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
7 subg0cl.i . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
81, 7subg0 16012 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  =  ( 0g `  ( Gs  S ) ) )
91subgbas 16010 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =  ( Base `  ( Gs  S
) ) )
106, 8, 93eltr4d 2570 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   ↾s cress 14491   0gc0g 14695   Grpcgrp 15727  SubGrpcsubg 16000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-subg 16003
This theorem is referenced by:  subgmulgcl  16019  issubg3  16024  issubg4  16025  subgint  16030  eqger  16056  ghmpreima  16093  subgga  16143  gasubg  16145  sylow1lem5  16428  sylow2blem2  16447  sylow2blem3  16448  fislw  16451  sylow3lem3  16455  sylow3lem4  16456  lsm01  16495  lsm02  16496  lsmdisj  16505  lsmdisj2  16506  pj1lid  16525  pj1rid  16526  dmdprdd  16833  dprdfid  16859  dprdfeq0  16864  dprdfidOLD  16866  dprdfeq0OLD  16871  dprdsubg  16873  dprdres  16877  dprdz  16879  dprdsn  16885  dmdprdsplitlem  16886  dmdprdsplitlemOLD  16887  dprddisj2  16889  dprddisj2OLD  16890  dprd2da  16893  dmdprdsplit2lem  16896  ablfacrp  16919  ablfacrp2  16920  ablfac1c  16924  ablfac1eu  16926  pgpfac1lem3a  16929  pgpfac1lem3  16930  pgpfac1lem5  16932  pgpfaclem2  16935  pgpfaclem3  16936  abvres  17288  islss4  17408  subrgpsr  17873  mpllsslem  17893  mpllsslemOLD  17895  0elcpmat  19018  opnsubg  20369  clssubg  20370  tgpconcompss  20375  plypf1  22372  dvply2g  22443  dchrptlem3  23297  fsumcnsrcl  30748  cnsrplycl  30749  rngunsnply  30755
  Copyright terms: Public domain W3C validator