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Theorem subfacval3 24828
Description: Another closed form expression for the subfactorial. The expression  |_ `  (
x  +  1  / 
2 ) is a way of saying "rounded to the nearest integer". (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
subfac.n  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
Assertion
Ref Expression
subfacval3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  =  ( |_ `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, n, x, y, N    D, n    S, n, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, f)    S( f)

Proof of Theorem subfacval3
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10184 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 derang.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
3 subfac.n . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
42, 3subfacf 24814 . . . . . . . 8  |-  S : NN0
--> NN0
54ffvelrni 5828 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  e. 
NN0 )
61, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  NN0 )
76nn0zd 10329 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  ZZ )
87zred 10331 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  RR )
9 faccl 11531 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
101, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
1110nnred 9971 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  RR )
12 epr 12762 . . . . . 6  |-  _e  e.  RR+
13 rerpdivcl 10595 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  RR  /\  _e  e.  RR+ )  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  e.  RR )
1411, 12, 13sylancl 644 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  e.  RR )
15 1re 9046 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
1615rehalfcli 10172 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
17 readdcl 9029 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ! `  N )  /  _e )  e.  RR  /\  (
1  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) )  e.  RR )
1814, 16, 17sylancl 644 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
19 elnn1uz2 10508 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
20 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  =  1  ->  ( ! `  N )  =  ( ! ` 
1 ) )
21 fac1 11525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ! `
 1 )  =  1
2220, 21syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  1  ->  ( ! `  N )  =  1 )
2322oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  1  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  =  ( 1  /  _e ) )
24 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  1  ->  ( S `  N )  =  ( S ` 
1 ) )
252, 3subfac1 24817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S `
 1 )  =  0
2624, 25syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  1  ->  ( S `  N )  =  0 )
2723, 26oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  1  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  =  ( ( 1  /  _e )  -  0
) )
28 rpreccl 10591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _e  e.  RR+  ->  ( 1  /  _e )  e.  RR+ )
2912, 28ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  /  _e )  e.  RR+
30 rpre 10574 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  _e )  e.  RR+  ->  ( 1  /  _e )  e.  RR )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  _e )  e.  RR
3231recni 9058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  /  _e )  e.  CC
3332subid1i 9328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  _e )  -  0 )  =  ( 1  /  _e )
3427, 33syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  1  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  =  ( 1  /  _e ) )
3534fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  1  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  =  ( abs `  ( 1  /  _e ) ) )
36 rpge0 10580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  _e )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( 1  /  _e ) )
3729, 36ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  ( 1  /  _e )
38 absid 12056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  _e )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  _e ) )  ->  ( abs `  ( 1  /  _e ) )  =  ( 1  /  _e ) )
3931, 37, 38mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs `  ( 1  /  _e ) )  =  ( 1  /  _e )
4035, 39syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  1  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  =  ( 1  /  _e ) )
41 egt2lt3 12760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
4241simpli 445 . . . . . . . . . . 11  |-  2  <  _e
43 2re 10025 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
44 ere 12646 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR
45 2pos 10038 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
46 epos 12761 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  _e
4743, 44, 45, 46ltrecii 9883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  <  _e  <->  ( 1  /  _e )  < 
( 1  /  2
) )
4842, 47mpbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  _e )  < 
( 1  /  2
)
4940, 48syl6eqbr 4209 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  1  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  (
1  /  2 ) )
50 eluz2b2 10504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
5150simplbi 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
5214, 8resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  e.  RR )
5352recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  e.  CC )
5451, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( ! `  N
)  /  _e )  -  ( S `  N ) )  e.  CC )
5554abscld 12193 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  -  ( S `  N )
) )  e.  RR )
5651nnrecred 10001 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  /  N )  e.  RR )
5716a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
582, 3subfaclim 24827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  (
1  /  N ) )
5951, 58syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  -  ( S `  N )
) )  <  (
1  /  N ) )
60 eluzle 10454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  N )
61 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
62 nngt0 9985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
63 lerec 9848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )  -> 
( 2  <_  N  <->  ( 1  /  N )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
6443, 45, 63mpanl12 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <  N )  -> 
( 2  <_  N  <->  ( 1  /  N )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
6561, 62, 64syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  <_  N  <->  ( 1  /  N )  <_ 
( 1  /  2
) ) )
6651, 65syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  <_  N  <->  ( 1  /  N )  <_ 
( 1  /  2
) ) )
6760, 66mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  /  N )  <_ 
( 1  /  2
) )
6855, 56, 57, 59, 67ltletrd 9186 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( abs `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  -  ( S `  N )
) )  <  (
1  /  2 ) )
6949, 68jaoi 369 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  ( 1  / 
2 ) )
7019, 69sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  (
1  /  2 ) )
7116a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
7214, 8, 71absdifltd 12191 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  ( 1  / 
2 )  <->  ( (
( S `  N
)  -  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( ! `
 N )  /  _e )  /\  (
( ! `  N
)  /  _e )  <  ( ( S `
 N )  +  ( 1  /  2
) ) ) ) )
7370, 72mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( S `  N )  -  (
1  /  2 ) )  <  ( ( ! `  N )  /  _e )  /\  ( ( ! `  N )  /  _e )  <  ( ( S `
 N )  +  ( 1  /  2
) ) ) )
7473simpld 446 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( S `  N
)  -  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( ! `
 N )  /  _e ) )
758, 71, 14ltsubaddd 9578 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( S `  N )  -  (
1  /  2 ) )  <  ( ( ! `  N )  /  _e )  <->  ( S `  N )  <  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
7674, 75mpbid 202 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  <  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) ) )
778, 18, 76ltled 9177 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  <_  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) ) )
78 readdcl 9029 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  N
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( S `
 N )  +  ( 1  /  2
) )  e.  RR )
798, 16, 78sylancl 644 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( S `  N
)  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
8073simprd 450 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  <  ( ( S `
 N )  +  ( 1  /  2
) ) )
8114, 79, 71, 80ltadd1dd 9593 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( ( S `  N )  +  ( 1  / 
2 ) )  +  ( 1  /  2
) ) )
828recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  CC )
8371recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
8482, 83, 83addassd 9066 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( S `  N )  +  ( 1  /  2 ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( S `
 N )  +  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
85 ax-1cn 9004 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
86 2halves 10152 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
8785, 86ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  =  1
8887oveq2i 6051 . . . . 5  |-  ( ( S `  N )  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )  =  ( ( S `  N )  +  1 )
8984, 88syl6eq 2452 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( S `  N )  +  ( 1  /  2 ) )  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( S `
 N )  +  1 ) )
9081, 89breqtrd 4196 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( ( S `
 N )  +  1 ) )
91 flbi 11178 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( S `  N )  e.  ZZ )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) ) )  =  ( S `  N )  <-> 
( ( S `  N )  <_  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) )  /\  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2
) )  <  (
( S `  N
)  +  1 ) ) ) )
9218, 7, 91syl2anc 643 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( |_ `  (
( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( S `
 N )  <->  ( ( S `  N )  <_  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) )  /\  ( ( ( ! `  N
)  /  _e )  +  ( 1  / 
2 ) )  < 
( ( S `  N )  +  1 ) ) ) )
9377, 90, 92mpbir2and 889 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( |_ `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  +  ( 1  /  2
) ) )  =  ( S `  N
) )
9493eqcomd 2409 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  =  ( |_ `  ( ( ( ! `
 N )  /  _e )  +  (
1  /  2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390    =/= wne 2567   A.wral 2666   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999   |_cfl 11156   !cfa 11521   #chash 11573   abscabs 11994   _eceu 12620
This theorem is referenced by:  derangfmla  24829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626
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