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Theorem subfacval2 29982
Description: A closed-form expression for the subfactorial. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
subfac.n  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
Assertion
Ref Expression
subfacval2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  =  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )
Distinct variable groups:    f, n, x, y, k, N    D, n    S, n, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, f, k)    S( f, k)

Proof of Theorem subfacval2
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( S `  x )  =  ( S ` 
0 ) )
2 derang.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
3 subfac.n . . . . . . 7  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
42, 3subfac0 29972 . . . . . 6  |-  ( S `
 0 )  =  1
51, 4syl6eq 2521 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( S `  x )  =  1 )
6 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  ( ! `  x )  =  ( ! ` 
0 ) )
7 fac0 12500 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 0 )  =  1
86, 7syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( ! `  x )  =  1 )
9 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
0 ... x )  =  ( 0 ... 0
) )
109sumeq1d 13844 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
118, 10oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ! `  x
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  =  ( 1  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
125, 11eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( S `  x
)  =  ( ( ! `  x )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  <->  1  =  ( 1  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )
13 oveq1 6315 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
x  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
14 0p1e1 10743 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1513, 14syl6eq 2521 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
x  +  1 )  =  1 )
1615fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( S `  ( x  +  1 ) )  =  ( S ` 
1 ) )
172, 3subfac1 29973 . . . . . 6  |-  ( S `
 1 )  =  0
1816, 17syl6eq 2521 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( S `  ( x  +  1 ) )  =  0 )
1915fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  ( ! `  ( x  +  1 ) )  =  ( ! ` 
1 ) )
20 fac1 12501 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 1 )  =  1
2119, 20syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( ! `  ( x  +  1 ) )  =  1 )
2215oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
0 ... ( x  + 
1 ) )  =  ( 0 ... 1
) )
2322sumeq1d 13844 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
2421, 23oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ! `  (
x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  =  ( 1  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
2518, 24eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( S `  (
x  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( x  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  <->  0  =  ( 1  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )
2612, 25anbi12d 725 . . 3  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( S `  x )  =  ( ( ! `  x
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  /\  ( S `  ( x  +  1
) )  =  ( ( ! `  (
x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )  <->  ( 1  =  ( 1  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  /\  0  =  ( 1  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) ) ) )
27 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( x  =  m  ->  ( S `  x )  =  ( S `  m ) )
28 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( x  =  m  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  m ) )
29 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( x  =  m  ->  (
0 ... x )  =  ( 0 ... m
) )
3029sumeq1d 13844 . . . . . 6  |-  ( x  =  m  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
3128, 30oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( x  =  m  ->  (
( ! `  x
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 m )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
3227, 31eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( x  =  m  ->  (
( S `  x
)  =  ( ( ! `  x )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  <->  ( S `  m )  =  ( ( ! `  m
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
33 oveq1 6315 . . . . . 6  |-  ( x  =  m  ->  (
x  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
3433fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( x  =  m  ->  ( S `  ( x  +  1 ) )  =  ( S `  ( m  +  1
) ) )
3533fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( x  =  m  ->  ( ! `  ( x  +  1 ) )  =  ( ! `  ( m  +  1
) ) )
3633oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( x  =  m  ->  (
0 ... ( x  + 
1 ) )  =  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )
3736sumeq1d 13844 . . . . . 6  |-  ( x  =  m  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
3835, 37oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( x  =  m  ->  (
( ! `  (
x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
3934, 38eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( x  =  m  ->  (
( S `  (
x  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( x  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  <->  ( S `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
4032, 39anbi12d 725 . . 3  |-  ( x  =  m  ->  (
( ( S `  x )  =  ( ( ! `  x
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  /\  ( S `  ( x  +  1
) )  =  ( ( ! `  (
x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )  <->  ( ( S `
 m )  =  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  /\  ( S `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) ) ) )
41 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  ( S `  x )  =  ( S `  ( m  +  1
) ) )
42 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  ( m  +  1
) ) )
43 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
0 ... x )  =  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) )
4443sumeq1d 13844 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
4542, 44oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ! `  x
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
4641, 45eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( S `  x
)  =  ( ( ! `  x )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  <->  ( S `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
47 oveq1 6315 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )
4847fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  ( S `  ( x  +  1 ) )  =  ( S `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) )
4947fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ! `  ( x  +  1 ) )  =  ( ! `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) )
5047oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
0 ... ( x  + 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )
5150sumeq1d 13844 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
5249, 51oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ! `  (
x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
5348, 52eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( S `  (
x  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( x  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  <->  ( S `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( m  +  1 )  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
5446, 53anbi12d 725 . . 3  |-  ( x  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( S `  x )  =  ( ( ! `  x
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  /\  ( S `  ( x  +  1
) )  =  ( ( ! `  (
x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )  <->  ( ( S `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  /\  ( S `  ( (
m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) ) ) )
55 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( S `  x )  =  ( S `  N ) )
56 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  N ) )
57 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
0 ... x )  =  ( 0 ... N
) )
5857sumeq1d 13844 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
5956, 58oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( ! `  x
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
6055, 59eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( S `  x
)  =  ( ( ! `  x )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  <->  ( S `  N )  =  ( ( ! `  N
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
61 oveq1 6315 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
6261fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( S `  ( x  +  1 ) )  =  ( S `  ( N  +  1
) ) )
6361fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  ( ! `  ( x  +  1 ) )  =  ( ! `  ( N  +  1
) ) )
6461oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
0 ... ( x  + 
1 ) )  =  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
6564sumeq1d 13844 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
6663, 65oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( ! `  (
x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
6762, 66eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( S `  (
x  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( x  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  <->  ( S `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
6860, 67anbi12d 725 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( S `  x )  =  ( ( ! `  x
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... x
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  /\  ( S `  ( x  +  1
) )  =  ( ( ! `  (
x  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
x  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )  <->  ( ( S `
 N )  =  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  /\  ( S `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) ) ) )
69 0z 10972 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
70 ax-1cn 9615 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
71 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ 0 ) )
72 neg1cn 10735 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  CC
73 exp0 12314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
7571, 74syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  ( -u 1 ^ k )  =  1 )
76 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  ( ! `  k )  =  ( ! ` 
0 ) )
7776, 7syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  ( ! `  k )  =  1 )
7875, 77oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( -u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
7970div1i 10357 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  1 )  =  1
8078, 79syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( -u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  =  1 )
8180fsum1 13885 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  1 )
8269, 70, 81mp2an 686 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 0
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  =  1
8382oveq2i 6319 . . . . 5  |-  ( 1  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( 1  x.  1 )
84 1t1e1 10780 . . . . 5  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
8583, 84eqtr2i 2494 . . . 4  |-  1  =  ( 1  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
86 nn0uz 11217 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
87 1e0p1 11102 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 0  +  1 )
88 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ 1 ) )
89 exp1 12316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 1 )  =  -u 1
)
9072, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1 ^ 1 )  =  -u 1
9188, 90syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  ( -u 1 ^ k )  =  -u 1 )
92 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  ( ! `  k )  =  ( ! ` 
1 ) )
9392, 20syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  ( ! `  k )  =  1 )
9491, 93oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( -u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  =  ( -u 1  /  1 ) )
9572div1i 10357 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1  /  1 )  =  -u 1
9694, 95syl6eq 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (
( -u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  =  -u 1 )
97 neg1rr 10736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u 1  e.  RR
98 reexpcl 12327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  RR )
9997, 98mpan 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ k )  e.  RR )
100 faccl 12507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
10199, 100nndivred 10680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  e.  RR )
102101recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  e.  CC )
103102adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  e.  CC )
104 0nn0 10908 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
105104, 82pm3.2i 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  NN0  /\  sum_ k  e.  ( 0 ... 0
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  =  1 )
106105a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( 0  e.  NN0  /\ 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  1 ) )
107 1pneg1e0 10740 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
108107a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( 1  +  -u
1 )  =  0 )
10986, 87, 96, 103, 106, 108fsump1i 13907 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( 1  e.  NN0  /\ 
sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  =  0 ) )
110109trud 1461 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN0  /\  sum_ k  e.  ( 0 ... 1
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  =  0 )
111110simpri 469 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 1
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  =  0
112111oveq2i 6319 . . . . 5  |-  ( 1  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( 1  x.  0 )
11370mul01i 9841 . . . . 5  |-  ( 1  x.  0 )  =  0
114112, 113eqtr2i 2494 . . . 4  |-  0  =  ( 1  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
11585, 114pm3.2i 462 . . 3  |-  ( 1  =  ( 1  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  /\  0  =  ( 1  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
116 simpr 468 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  m
)  =  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  /\  ( S `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  ->  ( S `  ( m  +  1
) )  =  ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )
117116a1i 11 . . . 4  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( S `  m
)  =  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  /\  ( S `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  ->  ( S `  ( m  +  1
) )  =  ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
118 oveq12 6317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  /\  ( S `  m )  =  ( ( ! `
 m )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  ->  ( ( S `
 ( m  + 
1 ) )  +  ( S `  m
) )  =  ( ( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  +  ( ( ! `  m
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
119118ancoms 460 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  m
)  =  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  /\  ( S `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  ->  ( ( S `
 ( m  + 
1 ) )  +  ( S `  m
) )  =  ( ( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  +  ( ( ! `  m
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
120119oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  m
)  =  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  /\  ( S `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  ->  ( ( m  +  1 )  x.  ( ( S `  ( m  +  1
) )  +  ( S `  m ) ) )  =  ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( ( ! `
 m )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) ) ) )
121 nn0p1nn 10933 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
1222, 3subfacp1 29981 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN  ->  ( S `  ( (
m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( m  +  1 )  x.  ( ( S `  ( m  +  1
) )  +  ( S `  ( ( m  +  1 )  -  1 ) ) ) ) )
123121, 122syl 17 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( S `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( m  + 
1 )  x.  (
( S `  (
m  +  1 ) )  +  ( S `
 ( ( m  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
124 nn0cn 10903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  CC )
125 pncan 9901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( m  + 
1 )  -  1 )  =  m )
126124, 70, 125sylancl 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  -  1 )  =  m )
127126fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( S `
 ( ( m  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( S `  m
) )
128127oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( S `  ( m  +  1 ) )  +  ( S `  ( ( m  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( S `  ( m  +  1
) )  +  ( S `  m ) ) )
129128oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  x.  ( ( S `
 ( m  + 
1 ) )  +  ( S `  (
( m  +  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( m  + 
1 )  x.  (
( S `  (
m  +  1 ) )  +  ( S `
 m ) ) ) )
130123, 129eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( S `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( m  + 
1 )  x.  (
( S `  (
m  +  1 ) )  +  ( S `
 m ) ) ) )
131 peano2nn0 10934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e. 
NN0 )
132 peano2nn0 10934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
134 faccl 12507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  e.  NN )
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  e.  NN )
136135nncnd 10647 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
137 fzfid 12224 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( 0 ... ( m  + 
1 ) )  e. 
Fin )
138 elfznn0 11913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
139138adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
140139, 102syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
141137, 140fsumcl 13876 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
142 expcl 12328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( ( m  + 
1 )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  e.  CC )
14372, 133, 142sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
144135nnne0d 10676 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =/=  0 )
145143, 136, 144divcld 10405 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ (
( m  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
146136, 141, 145adddid 9685 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  +  ( ( -u 1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  / 
( ! `  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  x.  (
( -u 1 ^ (
( m  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
147 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e. 
NN0 )
148147, 86syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
149 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) ) )
150 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ! `  k )  =  ( ! `  ( m  +  1
) ) )
151149, 150oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  /  ( ! `  ( m  +  1
) ) ) )
152148, 140, 151fsump1 13894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  +  ( ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) )  /  ( ! `  ( m  +  1 ) ) ) ) )
153152oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( ! `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  x.  ( sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
)  +  ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) ) )
154 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( 0 ... m )  e. 
Fin )
155 elfznn0 11913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... m )  ->  k  e.  NN0 )
156155adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0 ... m ) )  ->  k  e.  NN0 )
157156, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
158154, 157fsumcl 13876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
159 expcl 12328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( m  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) )  e.  CC )
16072, 131, 159sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  e.  CC )
161 faccl 12507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  e.  NN )
162131, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  e.  NN )
163162nncnd 10647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  e.  CC )
164162nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  =/=  0 )
165160, 163, 164divcld 10405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( m  + 
1 ) ) )  e.  CC )
166136, 158, 165adddid 9685 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  +  ( ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( ! `  (
m  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  x.  (
( -u 1 ^ (
m  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) ) )
167 facp1 12502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )
168131, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )
169 facp1 12502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  m )  x.  (
m  +  1 ) ) )
170 faccl 12507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 m )  e.  NN )
171170nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 m )  e.  CC )
172121nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  CC )
173171, 172mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  m )  x.  ( m  + 
1 ) )  =  ( ( m  + 
1 )  x.  ( ! `  m )
) )
174169, 173eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( ( m  + 
1 )  x.  ( ! `  m )
) )
175174oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( m  +  1 ) )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ! `  m
) )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )
176133nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  +  1 )  e.  CC )
177172, 171, 176mulassd 9684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ! `
 m ) )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( m  + 
1 )  x.  (
( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) )
178168, 175, 1773eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( m  + 
1 )  x.  (
( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) )
179178oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )
180136, 160, 163, 164div12d 10441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  /  ( ! `  ( m  +  1
) ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  ( ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  / 
( ! `  (
m  +  1 ) ) ) ) )
181168oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ! `  ( m  +  1
) ) )  =  ( ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x.  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  /  ( ! `  ( m  +  1 ) ) ) )
182176, 163, 164divcan3d 10410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ! `  ( m  +  1
) ) )  =  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )
183181, 182eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ! `  ( m  +  1
) ) )  =  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )
184183oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  x.  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ! `  ( m  +  1
) ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )
185180, 184eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  /  ( ! `  ( m  +  1
) ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )
186179, 185oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( ! `  (
m  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) )  x.  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
187153, 166, 1863eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ! `
 m )  x.  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) )  x.  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
188143, 136, 144divcan2d 10407 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( -u
1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ! `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( -u 1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )
189187, 188oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( ( -u 1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  / 
( ! `  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( m  + 
1 )  x.  (
( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  +  ( -u 1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) )
190171, 176mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
191172, 190, 158mulassd 9684 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( m  + 
1 )  x.  (
( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
19272a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  -u 1  e.  CC )
193160, 176, 192adddid 9685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  x.  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  +  -u 1 ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  +  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  -u 1 ) ) )
194 negsub 9942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( m  + 
1 )  +  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  +  -u
1 )  =  ( ( ( m  + 
1 )  +  1 )  -  1 ) )
195176, 70, 194sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  +  -u 1 )  =  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  -  1 ) )
196 pncan 9901 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  +  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( m  +  1 ) )
197172, 70, 196sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( m  +  1 ) )
198195, 197eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  +  -u 1 )  =  ( m  +  1 ) )
199198oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  x.  ( ( ( m  +  1 )  +  1 )  +  -u 1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  ( m  + 
1 ) ) )
200193, 199eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  +  ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  x.  -u 1
) )  =  ( ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  (
m  +  1 ) ) )
201 expp1 12317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( m  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  -u 1
) )
20272, 131, 201sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  -u 1 ) )
203202oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  +  ( -u
1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  +  ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  x.  -u 1
) ) )
204172, 160mulcomd 9682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  x.  ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  ( m  + 
1 ) ) )
205200, 203, 2043eqtr4d 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  +  ( -u
1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( m  +  1 )  x.  ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) ) ) )
206191, 205oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ( m  + 
1 )  x.  (
( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  +  ( -u 1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  +  ( ( m  +  1 )  x.  ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) ) ) ) )
207172, 190mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ! `
 m )  x.  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
208207, 158mulcld 9681 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  e.  CC )
209160, 176mulcld 9681 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  e.  CC )
210208, 209, 143addassd 9683 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  +  ( ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )  +  (
-u 1 ^ (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  +  ( ( ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) )  x.  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  +  (
-u 1 ^ (
( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
211190, 158mulcld 9681 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  e.  CC )
212172, 211, 160adddid 9685 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ( ( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  +  ( ( m  +  1 )  x.  ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) ) ) ) )
213206, 210, 2123eqtr4d 2515 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  +  ( ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )  +  (
-u 1 ^ (
( m  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) ) ) ) )
214146, 189, 2133eqtrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  ( sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  +  ( ( -u 1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  / 
( ! `  (
( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) ) ) ) )
215131, 86syl6eleq 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( m  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
216 elfznn0 11913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
217216adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
218217, 102syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
219 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( m  +  1 )  +  1 )  ->  ( -u 1 ^ k )  =  ( -u 1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) )
220 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( m  +  1 )  +  1 )  ->  ( ! `  k )  =  ( ! `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) )
221219, 220oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( ( m  +  1 )  +  1 )  ->  (
( -u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ! `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) ) ) )
222215, 218, 221fsump1 13894 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( m  +  1 )  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  +  ( ( -u 1 ^ ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  /  ( ! `  ( (
m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
223222oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( ! `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  x.  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
)  +  ( (
-u 1 ^ (
( m  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ) ) ) )
224163, 158mulcld 9681 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  e.  CC )
225171, 158mulcld 9681 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  e.  CC )
226224, 160, 225add32d 9877 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  +  (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) ) )  +  ( ( ! `  m
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  +  ( ( ! `  m
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )  +  ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) ) ) )
227152oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  ( sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
)  +  ( (
-u 1 ^ (
m  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) ) )
228163, 158, 165adddid 9685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( m  +  1 ) )  x.  ( sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  +  ( ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( ! `  (
m  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  (
( -u 1 ^ (
m  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) ) )
229160, 163, 164divcan2d 10407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( m  +  1 ) )  x.  ( ( -u
1 ^ ( m  +  1 ) )  /  ( ! `  ( m  +  1
) ) ) )  =  ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) ) )
230229oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x.  ( ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) )  / 
( ! `  (
m  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) ) ) )
231227, 228, 2303eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) ) ) )
232231oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( ( ! `
 m )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) ) )  +  ( ( ! `
 m )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) ) )
23370a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
234171, 172, 233adddid 9685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `
 m )  x.  ( m  +  1 ) )  +  ( ( ! `  m
)  x.  1 ) ) )
235169eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  m )  x.  ( m  + 
1 ) )  =  ( ! `  (
m  +  1 ) ) )
236171mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  m )  x.  1 )  =  ( ! `  m
) )
237235, 236oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  m
)  x.  ( m  +  1 ) )  +  ( ( ! `
 m )  x.  1 ) )  =  ( ( ! `  ( m  +  1
) )  +  ( ! `  m ) ) )
238234, 237eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( m  +  1
) )  +  ( ! `  m ) ) )
239238oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  +  ( ! `  m
) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )
240163, 171, 158adddird 9686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  +  ( ! `
 m ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )
241239, 240eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )
242241oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ! `  m )  x.  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( ( ! `
 m )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  +  ( -u 1 ^ ( m  + 
1 ) ) ) )
243226, 232, 2423eqtr4d 2515 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  (
m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
m  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  +  ( ( ! `
 m )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  m
)  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) ) ) )
244243oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ( ! `  ( m  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )  =  ( ( m  +  1 )  x.  ( ( ( ( ! `  m )  x.  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( -u 1 ^ ( m  +  1 ) ) ) ) )
245214, 223, 2443eqtr4d 2515 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  =  ( ( m  + 
1 )  x.  (
( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  +  ( ( ! `  m
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) ) )
246130, 245eqeq12d 2486 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( S `  ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  <->  ( (
m  +  1 )  x.  ( ( S `
 ( m  + 
1 ) )  +  ( S `  m
) ) )  =  ( ( m  + 
1 )  x.  (
( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  +  ( ( ! `  m
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) ) ) )
247120, 246syl5ibr 229 . . . 4  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( S `  m
)  =  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  /\  ( S `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  ->  ( S `  ( ( m  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  (
( m  +  1 )  +  1 ) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( m  +  1 )  +  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) ) )
248117, 247jcad 542 . . 3  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( ( S `  m
)  =  ( ( ! `  m )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  /\  ( S `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( m  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  ->  ( ( S `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  ( m  +  1
) )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( m  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  /\  ( S `  ( (
m  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( ( m  +  1 )  +  1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( m  +  1 )  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) ) ) )
24926, 40, 54, 68, 115, 248nn0ind 11053 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( S `  N )  =  ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  /\  ( S `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) ) )
250249simpld 466 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  =  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452   T. wtru 1453    e. wcel 1904   {cab 2457    =/= wne 2641   A.wral 2756    |-> cmpt 4454   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   ^cexp 12310   !cfa 12497   #chash 12553   sum_csu 13829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830
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