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Theorem subfacp1lem6 29980
 Description: Lemma for subfacp1 29981. By induction, we cut up the set of all derangements on according to the possible values of (since ), and for each set for fixed , the subset of derangements with has size (by subfacp1lem3 29977), while the subset with has size (by subfacp1lem5 29979). Adding it all up yields the desired equation for the number of derangements on . (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d
subfac.n
subfacp1lem.a
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem6
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()

Proof of Theorem subfacp1lem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn 10643 . . . . 5
21nnnn0d 10949 . . . 4
3 derang.d . . . . 5
4 subfac.n . . . . 5
53, 4subfacval 29968 . . . 4
62, 5syl 17 . . 3
7 fzfid 12224 . . . . 5
83derangval 29962 . . . . 5
97, 8syl 17 . . . 4
10 subfacp1lem.a . . . . 5
1110fveq2i 5882 . . . 4
129, 11syl6eqr 2523 . . 3
13 nnuz 11218 . . . . . . . . . . 11
141, 13syl6eleq 2559 . . . . . . . . . 10
15 eluzfz1 11832 . . . . . . . . . 10
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9
17 f1of 5828 . . . . . . . . . 10
1817adantr 472 . . . . . . . . 9
19 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . 10
2019expcom 442 . . . . . . . . 9
2116, 18, 20syl2im 38 . . . . . . . 8
2221ss2abdv 3488 . . . . . . 7
23 fveq1 5878 . . . . . . . . 9
2423eleq1d 2533 . . . . . . . 8
2524cbvabv 2595 . . . . . . 7
2622, 10, 253sstr4g 3459 . . . . . 6
27 ssabral 3486 . . . . . 6
2826, 27sylib 201 . . . . 5
29 rabid2 2954 . . . . 5
3028, 29sylibr 217 . . . 4
3130fveq2d 5883 . . 3
326, 12, 313eqtrd 2509 . 2
33 elfz1end 11855 . . . 4
341, 33sylib 201 . . 3
35 eleq1 2537 . . . . . . 7
36 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13
37 1z 10991 . . . . . . . . . . . . . 14
38 fzsn 11866 . . . . . . . . . . . . . 14
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
4036, 39syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12
4140eleq2d 2534 . . . . . . . . . . 11
42 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12
4342elsnc 3984 . . . . . . . . . . 11
4441, 43syl6bb 269 . . . . . . . . . 10
4544rabbidv 3022 . . . . . . . . 9
4645fveq2d 5883 . . . . . . . 8
47 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10
48 1m1e0 10700 . . . . . . . . . 10
4947, 48syl6eq 2521 . . . . . . . . 9
5049oveq1d 6323 . . . . . . . 8
5146, 50eqeq12d 2486 . . . . . . 7
5235, 51imbi12d 327 . . . . . 6
5352imbi2d 323 . . . . 5
54 eleq1 2537 . . . . . . 7
55 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11
5655eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10
5756rabbidv 3022 . . . . . . . . 9
5857fveq2d 5883 . . . . . . . 8
59 oveq1 6315 . . . . . . . . 9
6059oveq1d 6323 . . . . . . . 8
6158, 60eqeq12d 2486 . . . . . . 7
6254, 61imbi12d 327 . . . . . 6
6362imbi2d 323 . . . . 5
64 eleq1 2537 . . . . . . 7
65 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11
6665eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10
6766rabbidv 3022 . . . . . . . . 9
6867fveq2d 5883 . . . . . . . 8
69 oveq1 6315 . . . . . . . . 9
7069oveq1d 6323 . . . . . . . 8
7168, 70eqeq12d 2486 . . . . . . 7
7264, 71imbi12d 327 . . . . . 6
7372imbi2d 323 . . . . 5
74 eleq1 2537 . . . . . . 7
75 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11
7675eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10
7776rabbidv 3022 . . . . . . . . 9
7877fveq2d 5883 . . . . . . . 8
79 oveq1 6315 . . . . . . . . 9
8079oveq1d 6323 . . . . . . . 8
8178, 80eqeq12d 2486 . . . . . . 7
8274, 81imbi12d 327 . . . . . 6
8382imbi2d 323 . . . . 5
84 hash0 12586 . . . . . . 7
85 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16
86 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8785, 86neeq12d 2704 . . . . . . . . . . . . . . 15
8887rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . 14
8916, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
9089adantld 474 . . . . . . . . . . . 12
9190ss2abdv 3488 . . . . . . . . . . 11
92 df-ne 2643 . . . . . . . . . . . . 13
9323neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . 13
9492, 93syl5bbr 267 . . . . . . . . . . . 12
9594cbvabv 2595 . . . . . . . . . . 11
9691, 10, 953sstr4g 3459 . . . . . . . . . 10
97 ssabral 3486 . . . . . . . . . 10
9896, 97sylib 201 . . . . . . . . 9
99 rabeq0 3757 . . . . . . . . 9
10098, 99sylibr 217 . . . . . . . 8
101100fveq2d 5883 . . . . . . 7
102 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . 11
1033, 4subfacf 29970 . . . . . . . . . . . 12
104103ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . 11
105102, 104syl 17 . . . . . . . . . 10
106 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . 11
107103ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . 11
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . 10
109105, 108nn0addcld 10953 . . . . . . . . 9
110109nn0cnd 10951 . . . . . . . 8
111110mul02d 9849 . . . . . . 7
11284, 101, 1113eqtr4a 2531 . . . . . 6
113112a1d 25 . . . . 5
114 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12
115114, 13syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . 11
116 peano2fzr 11838 . . . . . . . . . . 11
117115, 116sylancom 680 . . . . . . . . . 10
118117ex 441 . . . . . . . . 9
119118imim1d 77 . . . . . . . 8
120 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11
121 elfzp1 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122115, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
123122rabbidv 3022 . . . . . . . . . . . . . . 15
124 unrab 3705 . . . . . . . . . . . . . . 15
125123, 124syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . . 14
126125fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13
127 fzfi 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
128 deranglem 29961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129127, 128ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13010, 129eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . . . 15
131 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . 15
132 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . . 15
133130, 131, 132mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . 14
134 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . 15
135 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . . 15
136130, 134, 135mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . 14
137 inrab 3706 . . . . . . . . . . . . . . 15
138 fzp1disj 11880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13942elsnc 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140 inelcm 3823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
141139, 140sylan2br 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
142141necon2bi 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
143138, 142ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
144143rgenw 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16
145 rabeq0 3757 . . . . . . . . . . . . . . . 16
146144, 145mpbir 214 . . . . . . . . . . . . . . 15
147137, 146eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . 14
148 hashun 12599 . . . . . . . . . . . . . 14
149133, 136, 147, 148mp3an 1390 . . . . . . . . . . . . 13
150126, 149syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12
151 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . . 16
152151ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15
153 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . 16
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
155152, 154, 154addsubd 10026 . . . . . . . . . . . . . 14
156155oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13
157 subcl 9894 . . . . . . . . . . . . . . 15
158152, 153, 157sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14
159109ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
160159nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . 14
161158, 154, 160adddird 9686 . . . . . . . . . . . . 13
162160mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . . . 15
163 exmidne 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
164 orcom 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
165163, 164mpbi 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
166165biantru 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
167 andi 884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
168166, 167bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
170169rabbiia 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
171 unrab 3705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
172170, 171eqtr4i 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
173172fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
174 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
175 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
176130, 174, 175mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
177 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
178 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
179130, 177, 178mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
180 inrab 3706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
181 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
182181necon3ai 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
183182adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
184 imnan 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
185183, 184mpbi 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
186185rgenw 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
187 rabeq0 3757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
188186, 187mpbir 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
189180, 188eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
190 hashun 12599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
191176, 179, 189, 190mp3an 1390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
192173, 191eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . 16
193 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
194 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
195 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
196195eqeq2i 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
197 0cn 9653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
198 addcan2 9836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
199197, 153, 198mp3an23 1382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
200151, 199syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
201196, 200syl5bbr 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
202201necon3bbid 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
203194, 202mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
204203ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
20514adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
206 elfzp12 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
207205, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
208207biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
209208ord 384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
210204, 209mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
211 df-2 10690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
212211oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
213210, 212syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
214 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
215 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
216 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
217216eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
218 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
219218neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
220217, 219anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
221220cbvrabv 3030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
222 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
223 f1oeq1 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
224 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
225 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
226224, 225neeq12d 2704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
227226cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
228 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
229228neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
230229ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
231227, 230syl5bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
232223, 231anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
233232cbvabv 2595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2343, 4, 10, 193, 213, 214, 215, 221, 222, 233subfacp1lem5 29979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
235218eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
236217, 235anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
237236cbvrabv 3030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
238 f1oeq1 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
239226cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
240229ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
241239, 240syl5bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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