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Theorem subfaclim 28300
Description: The subfactorial converges rapidly to  N !  /  _e. This is part of Metamath 100 proof #88. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
subfac.n  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
Assertion
Ref Expression
subfaclim  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  (
1  /  N ) )
Distinct variable groups:    f, n, x, y, N    D, n    S, n, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, f)    S( f)

Proof of Theorem subfaclim
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10802 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 faccl 12331 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
43nncnd 10552 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
5 ere 13686 . . . . . . 7  |-  _e  e.  RR
65recni 9608 . . . . . 6  |-  _e  e.  CC
7 epos 13801 . . . . . . 7  |-  0  <  _e
85, 7gt0ne0ii 10089 . . . . . 6  |-  _e  =/=  0
9 divcl 10213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  CC  /\  _e  e.  CC  /\  _e  =/=  0 )  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  e.  CC )
106, 8, 9mp3an23 1316 . . . . 5  |-  ( ( ! `  N )  e.  CC  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  e.  CC )
114, 10syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  e.  CC )
12 derang.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
13 subfac.n . . . . . . . 8  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
1412, 13subfacf 28287 . . . . . . 7  |-  S : NN0
--> NN0
1514ffvelrni 6020 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  e. 
NN0 )
161, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  NN0 )
1716nn0cnd 10854 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  CC )
1811, 17subcld 9930 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  e.  CC )
1918abscld 13230 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  e.  RR )
20 peano2nn 10548 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
2120peano2nnd 10553 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  NN )
2221nnred 10551 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  RR )
2320, 20nnmulcld 10583 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  NN )
2422, 23nndivred 10584 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR )
25 nnrecre 10572 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
26 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )
27 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  -u 1
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( abs `  -u 1
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )
28 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  -u 1
) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( ! `  ( N  +  1
) ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ^ n
) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  -u 1
) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( ! `  ( N  +  1
) ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ^ n
) ) )
29 neg1cn 10639 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
3029a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  e.  CC )
31 ax-1cn 9550 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
3231absnegi 13195 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  -u 1 )  =  ( abs `  1
)
33 abs1 13093 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  1 )  =  1
3432, 33eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  -u 1 )  =  1
35 1le1 10177 . . . . . . . 8  |-  1  <_  1
3634, 35eqbrtri 4466 . . . . . . 7  |-  ( abs `  -u 1 )  <_ 
1
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  -u 1 )  <_ 
1 )
3826, 27, 28, 20, 30, 37eftlub 13705 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  <_ 
( ( ( abs `  -u 1 ) ^
( N  +  1 ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
3920nnnn0d 10852 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
40 eluznn0 11151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
4139, 40sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
4226eftval 13674 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  =  ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
4443sumeq2dv 13488 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )
4544fveq2d 5870 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) )
4634oveq1i 6294 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  -u 1
) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( 1 ^ ( N  +  1 ) )
4720nnzd 10965 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
48 1exp 12163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( N  +  1 ) )  =  1 )
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ^ ( N  +  1 ) )  =  1 )
5046, 49syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  -u 1
) ^ ( N  +  1 ) )  =  1 )
5150oveq1d 6299 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( abs `  -u 1
) ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  / 
( ( ! `  ( N  +  1
) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  x.  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
52 faccl 12331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  e.  NN )
5339, 52syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  e.  NN )
5453, 20nnmulcld 10583 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  NN )
5522, 54nndivred 10584 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR )
5655recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
5756mulid2d 9614 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  /  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  / 
( ( ! `  ( N  +  1
) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
5851, 57eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( abs `  -u 1
) ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  / 
( ( ! `  ( N  +  1
) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
5938, 45, 583brtr3d 4476 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  <_  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )
60 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) )
61 eftcl 13671 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
6229, 61mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  e.  CC )
6341, 62syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
6426eftlcvg 13702 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 )  ->  seq ( N  + 
1 ) (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
6529, 39, 64sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  seq ( N  +  1
) (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
6660, 47, 43, 63, 65isumcl 13539 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
6766abscld 13230 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  e.  RR )
683nnred 10551 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  RR )
693nngt0d 10579 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ! `  N
) )
70 lemul2 10395 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ! `  N )  e.  RR  /\  0  <  ( ! `
 N ) ) )  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  <_  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  <-> 
( ( ! `  N )  x.  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  <_ 
( ( ! `  N )  x.  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
7167, 55, 68, 69, 70syl112anc 1232 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  <_  ( (
( N  +  1 )  +  1 )  /  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( ( ! `  N )  x.  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) )  <_  (
( ! `  N
)  x.  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  /  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
7259, 71mpbid 210 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  <_ 
( ( ! `  N )  x.  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
7312, 13subfacval2 28299 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  =  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )
741, 73syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  =  ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
75 nncn 10544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
76 pncan 9826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
7775, 31, 76sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
7877oveq2d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... N
) )
7978sumeq1d 13486 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
8079oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
8174, 80eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  =  ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
8281oveq1d 6299 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( S `  N
)  +  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  =  ( ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )
83 divrec 10223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  CC  /\  _e  e.  CC  /\  _e  =/=  0 )  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( 1  /  _e ) ) )
846, 8, 83mp3an23 1316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  N )  e.  CC  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( 1  /  _e ) ) )
854, 84syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( 1  /  _e ) ) )
86 df-e 13666 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  =  ( exp `  1 )
8786oveq2i 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  _e )  =  ( 1  /  ( exp `  1 ) )
88 efneg 13694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( exp `  -u 1 )  =  ( 1  /  ( exp `  1 ) ) )
8931, 88ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  -u 1 )  =  ( 1  /  ( exp `  1 ) )
90 efval 13677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  ( exp `  -u 1
)  =  sum_ k  e.  NN0  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
9129, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  -u 1 )  = 
sum_ k  e.  NN0  ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )
9287, 89, 913eqtr2i 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  _e )  = 
sum_ k  e.  NN0  ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )
93 nn0uz 11116 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
9442adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  =  ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
9562adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
96 0nn0 10810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
9726eftlcvg 13702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  0  e.  NN0 )  ->  seq 0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
9829, 96, 97mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  seq 0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )  e.  dom  ~~>
9998a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
10093, 60, 39, 94, 95, 99isumsplit 13615 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  NN0  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) )
10192, 100syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  _e )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )
102101oveq2d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( 1  /  _e ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )
103 fzfid 12051 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
104 elfznn0 11770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
105104adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
10629, 105, 61sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
107103, 106fsumcl 13518 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
1084, 107, 66adddid 9620 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )
10985, 102, 1083eqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )
11082, 109eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( S `  N
)  +  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  =  ( ( ! `  N )  /  _e ) )
1114, 66mulcld 9616 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  e.  CC )
11211, 17, 111subaddd 9948 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 N )  /  _e )  -  ( S `  N )
)  =  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  <->  ( ( S `  N )  +  ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  =  ( ( ! `  N )  /  _e ) ) )
113110, 112mpbird 232 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) )
114113fveq2d 5870 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  =  ( abs `  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )
1154, 66absmuld 13248 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  =  ( ( abs `  ( ! `  N )
)  x.  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )
1163nnnn0d 10852 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN0 )
117116nn0ge0d 10855 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ! `  N
) )
11868, 117absidd 13217 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
119118oveq1d 6299 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  ( ! `  N )
)  x.  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )
120114, 115, 1193eqtrd 2512 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  =  ( ( ! `  N
)  x.  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )
121 facp1 12326 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
1221, 121syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
123122oveq1d 6299 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( N  + 
1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
12420nncnd 10552 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
1254, 124, 124mulassd 9619 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
126123, 125eqtr2d 2509 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
127126oveq2d 6300 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  / 
( ( ! `  ( N  +  1
) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
12821nncnd 10552 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  CC )
12923nncnd 10552 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
13023nnne0d 10580 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  =/=  0 )
1313nnne0d 10580 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =/=  0 )
132128, 129, 4, 130, 131divcan5d 10346 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  / 
( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
13354nncnd 10552 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
13454nnne0d 10580 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) )  =/=  0 )
1354, 128, 133, 134divassd 10355 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
136127, 132, 1353eqtr3d 2516 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
13772, 120, 1363brtr4d 4477 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <_  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )
138 nnmulcl 10559 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  1 )  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N
)  e.  NN )
13921, 138mpancom 669 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  x.  N )  e.  NN )
140139nnred 10551 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  x.  N )  e.  RR )
141140ltp1d 10476 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  x.  N )  <  ( ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N )  +  1 ) )
142129mulid2d 9614 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )
14331a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
14475, 143, 124adddird 9621 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( N  x.  ( N  + 
1 ) )  +  ( 1  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
14575, 124mulcomd 9617 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  N ) )
146124mulid2d 9614 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( N  + 
1 ) )
147145, 146oveq12d 6302 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  x.  ( N  +  1 ) )  +  ( 1  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  ( N  +  1 ) ) )
148124, 143, 75adddird 9621 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  x.  N )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  ( 1  x.  N
) ) )
149148oveq1d 6299 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N
)  +  1 )  =  ( ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) )  +  1 ) )
15075mulid2d 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  N )  =  N )
151150oveq2d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  x.  N
)  +  ( 1  x.  N ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  N ) )
152151oveq1d 6299 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) )  +  1 )  =  ( ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  N )  +  1 ) )
153124, 75mulcld 9616 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  x.  N )  e.  CC )
154153, 75, 143addassd 9618 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  N
)  +  1 )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  ( N  +  1 ) ) )
155149, 152, 1543eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N
)  +  1 )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  ( N  +  1 ) ) )
156147, 155eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  x.  ( N  +  1 ) )  +  ( 1  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N )  +  1 ) )
157142, 144, 1563eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N )  +  1 ) )
158141, 157breqtrrd 4473 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  x.  N )  <  ( 1  x.  ( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
159 nnre 10543 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
160 nngt0 10565 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
161159, 160jca 532 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
162 1re 9595 . . . . 5  |-  1  e.  RR
163162a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
164 nnre 10543 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
165 nngt0 10565 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  NN  ->  0  <  ( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )
166164, 165jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
16723, 166syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
168 lt2mul2div 10421 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  /\  ( 1  e.  RR  /\  (
( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  x.  N )  <  ( 1  x.  ( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )  < 
( 1  /  N
) ) )
16922, 161, 163, 167, 168syl22anc 1229 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N
)  <  ( 1  x.  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )  < 
( 1  /  N
) ) )
170158, 169mpbid 210 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  <  ( 1  /  N ) )
17119, 24, 25, 137, 170lelttrd 9739 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  (
1  /  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2814   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805   -ucneg 9806    / cdiv 10206   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672    seqcseq 12075   ^cexp 12134   !cfa 12321   #chash 12373   abscabs 13030    ~~> cli 13270   sum_csu 13471   expce 13659   _eceu 13660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-ico 11535  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-e 13666
This theorem is referenced by:  subfacval3  28301
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