Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfac0 Structured version   Unicode version

Theorem subfac0 29350
Description: The subfactorial at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
subfac.n  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
Assertion
Ref Expression
subfac0  |-  ( S `
 0 )  =  1
Distinct variable groups:    f, n, x, y    D, n    S, n, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, f)    S( f)

Proof of Theorem subfac0
StepHypRef Expression
1 0nn0 10769 . . 3  |-  0  e.  NN0
2 derang.d . . . 4  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
3 subfac.n . . . 4  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
42, 3subfacval 29346 . . 3  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( S `
 0 )  =  ( D `  (
1 ... 0 ) ) )
51, 4ax-mp 5 . 2  |-  ( S `
 0 )  =  ( D `  (
1 ... 0 ) )
6 fz10 11675 . . 3  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
76fveq2i 5806 . 2  |-  ( D `
 ( 1 ... 0 ) )  =  ( D `  (/) )
82derang0 29342 . 2  |-  ( D `
 (/) )  =  1
95, 7, 83eqtri 2433 1  |-  ( S `
 0 )  =  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   {cab 2385    =/= wne 2596   A.wral 2751   (/)c0 3735    |-> cmpt 4450   -1-1-onto->wf1o 5522   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Fincfn 7472   0cc0 9440   1c1 9441   NN0cn0 10754   ...cfz 11641   #chash 12357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-card 8270  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-hash 12358
This theorem is referenced by:  subfacval2  29360
  Copyright terms: Public domain W3C validator