MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subeq0bd Structured version   Unicode version

Theorem subeq0bd 10026
Description: If two complex numbers are equal, their difference is zero. Consequence of subeq0ad 9977. Converse of subeq0d 9975. Contrapositive of subne0ad 9978. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
subeq0bd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
subeq0bd.2  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
subeq0bd  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  =  0 )

Proof of Theorem subeq0bd
StepHypRef Expression
1 subeq0bd.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  =  B )
2 subeq0bd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
31, 2eqeltrrd 2491 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
42, 3subeq0ad 9977 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
51, 4mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6278   CCcc 9520   0cc0 9522    - cmin 9841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-ltxr 9663  df-sub 9843
This theorem is referenced by:  sylow1lem1  16942  rrxmvallem  22123  rrxmetlem  22126  dv11cn  22694  coeeulem  22913  plyexmo  23001  chordthmlem3  23490  atantayl2  23594  axcontlem2  24685  ipasslem8  26166  2sqmod  28088  bj-subcom  31234  int-addsimpd  36007  bcc0  36093  dvbdfbdioolem2  37094  volioc  37139  etransclem14  37399  etransclem35  37420  sharhght  37450
  Copyright terms: Public domain W3C validator