MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subeq0bd Structured version   Unicode version

Theorem subeq0bd 9877
Description: If two complex numbers are equal, their difference is zero. Consequence of subeq0ad 9832. Converse of subeq0d 9830. Contrapositive of subne0ad 9833. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
subeq0bd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
subeq0bd.2  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
subeq0bd  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  =  0 )

Proof of Theorem subeq0bd
StepHypRef Expression
1 subeq0bd.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  =  B )
2 subeq0bd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
31, 2eqeltrrd 2540 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
42, 3subeq0ad 9832 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
51, 4mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758  (class class class)co 6192   CCcc 9383   0cc0 9385    - cmin 9698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-ltxr 9526  df-sub 9700
This theorem is referenced by:  sylow1lem1  16203  rrxmvallem  21021  rrxmetlem  21024  dv11cn  21591  coeeulem  21810  plyexmo  21897  chordthmlem3  22347  atantayl2  22451  axcontlem2  23348  ipasslem8  24374  sharhght  30041  bj-subcom  32898  bj-bary1lem  32907
  Copyright terms: Public domain W3C validator