MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subeq0ad Structured version   Unicode version

Theorem subeq0ad 9727
Description: The difference of two complex numbers is zero iff they are equal. Deduction form of subeq0 9633. Generalization of subeq0d 9725. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subeq0ad  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )

Proof of Theorem subeq0ad
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subeq0 9633 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6089   CCcc 9278   0cc0 9280    - cmin 9593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-ltxr 9421  df-sub 9595
This theorem is referenced by:  subne0ad  9728  subeq0bd  9772  muleqadd  9978  mulcan1g  9987  ofsubeq0  10317  nn0n0n1ge2  10641  mod0  11713  modirr  11767  sqreulem  12845  sqreu  12846  tanaddlem  13448  fldivp1  13957  4sqlem11  14014  4sqlem16  14019  znf1o  17982  cphsqrcl2  20703  rrxmet  20905  dvcobr  21418  dvcnvlem  21446  cmvth  21461  dvlip  21463  lhop1lem  21483  ftc1lem5  21510  aalioulem2  21797  sineq0  21981  tanarg  22066  affineequiv  22219  quad2  22232  dcubic  22239  eqeelen  23148  colinearalg  23154  axcontlem7  23214  ipasslem9  24236  ip2eqi  24255  hi2eq  24505  lnopeqi  25410  riesz3i  25464  signslema  26961  rrnmet  28725  eqrabdioph  29113  pellexlem1  29167  sineq0ALT  31670
  Copyright terms: Public domain W3C validator