MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subeq0ad Structured version   Unicode version

Theorem subeq0ad 9977
Description: The difference of two complex numbers is zero iff they are equal. Deduction form of subeq0 9881. Generalization of subeq0d 9975. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subeq0ad  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )

Proof of Theorem subeq0ad
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subeq0 9881 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
41, 2, 3syl2anc 659 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  =  0  <-> 
A  =  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6278   CCcc 9520   0cc0 9522    - cmin 9841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-ltxr 9663  df-sub 9843
This theorem is referenced by:  subne0ad  9978  subeq0bd  10026  muleqadd  10234  mulcan1g  10243  ofsubeq0  10573  nn0n0n1ge2  10900  mod0  12041  modirr  12098  sqreulem  13341  sqreu  13342  tanaddlem  14110  fldivp1  14625  4sqlem11  14682  4sqlem16  14687  znf1o  18888  cphsqrtcl2  21925  rrxmet  22127  dvcobr  22641  dvcnvlem  22669  cmvth  22684  dvlip  22686  lhop1lem  22706  ftc1lem5  22733  aalioulem2  23021  sineq0  23206  tanarg  23298  affineequiv  23482  quad2  23495  dcubic  23502  eqeelen  24624  colinearalg  24630  axcontlem7  24690  ipasslem9  26167  ip2eqi  26186  hi2eq  26436  lnopeqi  27340  riesz3i  27394  signslema  29025  rrnmet  31607  eqrabdioph  35072  pellexlem1  35126  sineq0ALT  36768  digexp  38738
  Copyright terms: Public domain W3C validator