MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdird Structured version   Unicode version

Theorem subdird 9813
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subdid.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )

Proof of Theorem subdird
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subdid.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subdir 9791 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1218 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6103   CCcc 9292    x. cmul 9299    - cmin 9607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-ltxr 9435  df-sub 9609
This theorem is referenced by:  ltmul1a  10190  lincmb01cmp  11440  iccf1o  11441  modmul1  11764  remullem  12629  mulcn2  13085  fsumparts  13281  geo2sum  13345  modprm0  13885  mul4sqlem  14026  vdwapun  14047  icopnfcnv  20526  itgconst  21308  itgmulc2lem2  21322  dvmulbr  21425  dvrec  21441  dvsincos  21465  cmvth  21475  dvcvx  21504  dvfsumlem1  21510  dvfsumlem2  21511  coeeulem  21704  abelthlem6  21913  tangtx  21979  tanarg  22080  logdivlti  22081  logcnlem4  22102  affineequiv  22233  affineequiv2  22234  chordthmlem2  22240  chordthmlem4  22242  mcubic  22254  dquartlem2  22259  quart1lem  22262  quart1  22263  quartlem1  22264  dvatan  22342  atantayl  22344  wilthlem2  22419  logfaclbnd  22573  logexprlim  22576  perfectlem2  22581  dchrsum2  22619  sumdchr2  22621  bposlem9  22643  lgsquadlem1  22705  chebbnd1lem3  22732  rpvmasumlem  22748  log2sumbnd  22805  chpdifbndlem1  22814  selberg3lem1  22818  selberg4lem1  22821  selbergr  22829  selberg3r  22830  selberg4r  22831  pntrlog2bndlem3  22840  pntrlog2bndlem5  22842  pntibndlem2  22852  pntlemo  22868  ttgcontlem1  23143  brbtwn2  23163  colinearalglem1  23164  axsegconlem9  23183  axcontlem2  23223  axcontlem7  23228  axcontlem8  23229  lgamcvg2  27053  sinccvglem  27329  fallfacfwd  27551  bpoly4  28214  itgmulc2nclem2  28471  bfp  28735  pellexlem6  29187  congmul  29322  areaquad  29604  itgsinexp  29807  stoweidlem13  29820  stoweidlem14  29821  stoweidlem26  29833  sigarmf  29902  cevathlem2  29916  mulsubfacd  30184  joinlmulsubmuld  31138  bj-bary1lem  32611  bj-bary1lem1  32612
  Copyright terms: Public domain W3C validator