MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdird Structured version   Unicode version

Theorem subdird 9797
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subdid.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )

Proof of Theorem subdird
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subdid.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subdir 9775 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1213 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761  (class class class)co 6090   CCcc 9276    x. cmul 9283    - cmin 9591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-ltxr 9419  df-sub 9593
This theorem is referenced by:  ltmul1a  10174  lincmb01cmp  11424  iccf1o  11425  modmul1  11748  remullem  12613  mulcn2  13069  fsumparts  13265  geo2sum  13329  modprm0  13869  mul4sqlem  14010  vdwapun  14031  icopnfcnv  20473  itgconst  21255  itgmulc2lem2  21269  dvmulbr  21372  dvrec  21388  dvsincos  21412  cmvth  21422  dvcvx  21451  dvfsumlem1  21457  dvfsumlem2  21458  coeeulem  21651  abelthlem6  21860  tangtx  21926  tanarg  22027  logdivlti  22028  logcnlem4  22049  affineequiv  22180  affineequiv2  22181  chordthmlem2  22187  chordthmlem4  22189  mcubic  22201  dquartlem2  22206  quart1lem  22209  quart1  22210  quartlem1  22211  dvatan  22289  atantayl  22291  wilthlem2  22366  logfaclbnd  22520  logexprlim  22523  perfectlem2  22528  dchrsum2  22566  sumdchr2  22568  bposlem9  22590  lgsquadlem1  22652  chebbnd1lem3  22679  rpvmasumlem  22695  log2sumbnd  22752  chpdifbndlem1  22761  selberg3lem1  22765  selberg4lem1  22768  selbergr  22776  selberg3r  22777  selberg4r  22778  pntrlog2bndlem3  22787  pntrlog2bndlem5  22789  pntibndlem2  22799  pntlemo  22815  ttgcontlem1  23066  brbtwn2  23086  colinearalglem1  23087  axsegconlem9  23106  axcontlem2  23146  axcontlem7  23151  axcontlem8  23152  lgamcvg2  26971  sinccvglem  27246  fallfacfwd  27468  bpoly4  28131  itgmulc2nclem2  28384  bfp  28648  pellexlem6  29100  congmul  29235  itgsinexp  29720  stoweidlem13  29733  stoweidlem14  29734  stoweidlem26  29746  sigarmf  29815  cevathlem2  29829  mulsubfacd  30097  joinlmulsubmuld  30965  bj-bary1lem  32323  bj-bary1lem1  32324
  Copyright terms: Public domain W3C validator