MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdird Structured version   Unicode version

Theorem subdird 10012
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subdid.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )

Proof of Theorem subdird
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subdid.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subdir 9990 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6283   CCcc 9489    x. cmul 9496    - cmin 9804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-ltxr 9632  df-sub 9806
This theorem is referenced by:  mulsubfacd  10015  ltmul1a  10390  lincmb01cmp  11662  iccf1o  11663  modmul1  12007  remullem  12923  mulcn2  13380  fsumparts  13582  geo2sum  13644  modprm0  14188  mul4sqlem  14329  vdwapun  14350  icopnfcnv  21193  itgconst  21976  itgmulc2lem2  21990  dvmulbr  22093  dvrec  22109  dvsincos  22133  cmvth  22143  dvcvx  22172  dvfsumlem1  22178  dvfsumlem2  22179  coeeulem  22372  abelthlem6  22581  tangtx  22647  tanarg  22748  logdivlti  22749  logcnlem4  22770  affineequiv  22901  affineequiv2  22902  chordthmlem2  22908  chordthmlem4  22910  mcubic  22922  dquartlem2  22927  quart1lem  22930  quart1  22931  quartlem1  22932  dvatan  23010  atantayl  23012  wilthlem2  23087  logfaclbnd  23241  logexprlim  23244  perfectlem2  23249  dchrsum2  23287  sumdchr2  23289  bposlem9  23311  lgsquadlem1  23373  chebbnd1lem3  23400  rpvmasumlem  23416  log2sumbnd  23473  chpdifbndlem1  23482  selberg3lem1  23486  selberg4lem1  23489  selbergr  23497  selberg3r  23498  selberg4r  23499  pntrlog2bndlem3  23508  pntrlog2bndlem5  23510  pntibndlem2  23520  pntlemo  23536  ttgcontlem1  23880  brbtwn2  23900  colinearalglem1  23901  axsegconlem9  23920  axcontlem2  23960  axcontlem7  23965  axcontlem8  23966  lgamcvg2  28253  sinccvglem  28529  fallfacfwd  28751  bpoly4  29414  itgmulc2nclem2  29675  bfp  29939  pellexlem6  30390  congmul  30525  areaquad  30805  itgsinexp  31288  stoweidlem13  31329  stoweidlem14  31330  stoweidlem26  31342  dirkertrigeqlem2  31415  fourierdlem6  31429  fourierdlem26  31449  fourierdlem42  31465  fourierdlem48  31471  fourierdlem65  31488  fourierdlem95  31518  sigarmf  31554  cevathlem2  31568  joinlmulsubmuld  32279  bj-bary1lem  33760  bj-bary1lem1  33761
  Copyright terms: Public domain W3C validator