MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdird Structured version   Unicode version

Theorem subdird 10054
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subdid.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )

Proof of Theorem subdird
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subdid.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subdir 10032 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1230 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6278   CCcc 9520    x. cmul 9527    - cmin 9841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-ltxr 9663  df-sub 9843
This theorem is referenced by:  mulsubfacd  10057  ltmul1a  10432  lincmb01cmp  11717  iccf1o  11718  modmul1  12081  remullem  13110  mulcn2  13567  fsumparts  13771  geo2sum  13834  fallfacfwd  13981  bpoly4  14004  modprm0  14539  mul4sqlem  14680  vdwapun  14701  icopnfcnv  21734  itgconst  22517  itgmulc2lem2  22531  dvmulbr  22634  dvrec  22650  dvsincos  22674  cmvth  22684  dvcvx  22713  dvfsumlem1  22719  dvfsumlem2  22720  coeeulem  22913  abelthlem6  23123  tangtx  23190  tanarg  23298  logdivlti  23299  logcnlem4  23320  affineequiv  23482  affineequiv2  23483  chordthmlem2  23489  chordthmlem4  23491  mcubic  23503  dquartlem2  23508  quart1lem  23511  quart1  23512  quartlem1  23513  dvatan  23591  atantayl  23593  lgamcvg2  23710  wilthlem2  23724  logfaclbnd  23878  logexprlim  23881  perfectlem2  23886  dchrsum2  23924  sumdchr2  23926  bposlem9  23948  lgsquadlem1  24010  chebbnd1lem3  24037  rpvmasumlem  24053  log2sumbnd  24110  chpdifbndlem1  24119  selberg3lem1  24123  selberg4lem1  24126  selbergr  24134  selberg3r  24135  selberg4r  24136  pntrlog2bndlem3  24145  pntrlog2bndlem5  24147  pntibndlem2  24157  pntlemo  24173  ttgcontlem1  24605  brbtwn2  24625  colinearalglem1  24626  axsegconlem9  24645  axcontlem2  24685  axcontlem7  24690  axcontlem8  24691  2sqmod  28088  sinccvglem  29890  bj-bary1lem  31240  bj-bary1lem1  31241  itgmulc2nclem2  31455  bfp  31602  pellexlem6  35131  congmul  35266  areaquad  35548  subdir2d  36880  itgsinexp  37121  stoweidlem13  37163  stoweidlem14  37164  stoweidlem26  37176  fourierdlem6  37263  fourierdlem26  37283  fourierdlem42  37299  fourierdlem65  37322  fourierdlem95  37352  sigarmf  37439  cevathlem2  37453  xp1d2m1eqxm1d2  37662  perfectALTVlem2  37797  joinlmulsubmuld  38833
  Copyright terms: Public domain W3C validator