MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdird Unicode version

Theorem subdird 9446
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subdid.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )

Proof of Theorem subdird
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subdid.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subdir 9424 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   CCcc 8944    x. cmul 8951    - cmin 9247
This theorem is referenced by:  ltmul1a  9815  lincmb01cmp  10994  iccf1o  10995  modmul1  11234  remullem  11888  mulcn2  12344  fsumparts  12540  geo2sum  12605  mul4sqlem  13276  vdwapun  13297  icopnfcnv  18920  itgconst  19663  itgmulc2lem2  19677  dvmulbr  19778  dvrec  19794  dvsincos  19818  cmvth  19828  dvcvx  19857  dvfsumlem1  19863  dvfsumlem2  19864  coeeulem  20096  abelthlem6  20305  tangtx  20366  tanarg  20467  logdivlti  20468  logcnlem4  20489  affineequiv  20620  affineequiv2  20621  chordthmlem2  20627  chordthmlem4  20629  mcubic  20640  dquartlem2  20645  quart1lem  20648  quart1  20649  quartlem1  20650  dvatan  20728  atantayl  20730  wilthlem2  20805  logfaclbnd  20959  logexprlim  20962  perfectlem2  20967  dchrsum2  21005  sumdchr2  21007  bposlem9  21029  lgsquadlem1  21091  chebbnd1lem3  21118  rpvmasumlem  21134  log2sumbnd  21191  chpdifbndlem1  21200  selberg3lem1  21204  selberg4lem1  21207  selbergr  21215  selberg3r  21216  selberg4r  21217  pntrlog2bndlem3  21226  pntrlog2bndlem5  21228  pntibndlem2  21238  pntlemo  21254  lgamcvg2  24792  sinccvglem  25062  fallfacfwd  25303  brbtwn2  25748  colinearalglem1  25749  axsegconlem9  25768  axcontlem2  25808  axcontlem7  25813  axcontlem8  25814  bpoly4  26009  itgmulc2nclem2  26171  bfp  26423  pellexlem6  26787  congmul  26922  itgsinexp  27616  stoweidlem13  27629  stoweidlem14  27630  stoweidlem26  27642  sigarmf  27711  cevathlem2  27725
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249
  Copyright terms: Public domain W3C validator