MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdii Structured version   Unicode version

Theorem subdii 9966
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 26-Nov-1994.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1.1  |-  A  e.  CC
mulneg.2  |-  B  e.  CC
subdi.3  |-  C  e.  CC
Assertion
Ref Expression
subdii  |-  ( A  x.  ( B  -  C ) )  =  ( ( A  x.  B )  -  ( A  x.  C )
)

Proof of Theorem subdii
StepHypRef Expression
1 mulm1.1 . 2  |-  A  e.  CC
2 mulneg.2 . 2  |-  B  e.  CC
3 subdi.3 . 2  |-  C  e.  CC
4 subdi 9951 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B  -  C ) )  =  ( ( A  x.  B )  -  ( A  x.  C )
) )
51, 2, 3, 4mp3an 1326 1  |-  ( A  x.  ( B  -  C ) )  =  ( ( A  x.  B )  -  ( A  x.  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6234   CCcc 9440    x. cmul 9447    - cmin 9761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-ltxr 9583  df-sub 9763
This theorem is referenced by:  nummac  10971  0.999...  13749  sincos3rdpi  23093  birthday  23502  ax5seglem7  24536  ex-ind-dvds  25468  ip0i  26034  siilem1  26060  areaquad  35529  inductionexd  35959
  Copyright terms: Public domain W3C validator