Theorem subdid 9930

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
mulnegd.2	|- ( ph -> B e. CC )
subdid.3	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subdid	|- ( ph -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mulnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subdid.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		subdi 9908	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1226	1 |- ( ph -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1399   e. wcel 1826  (class class class)co 6196   CCcc 9401   x. cmul 9408   - cmin 9718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-ltxr 9544  df-sub 9720

This theorem is referenced by:  recextlem1  10096  cru  10444  cju  10448  zneo  10862  qbtwnre  11319  lincmb01cmp  11584  iccf1o  11585  intfracq  11886  modlt  11907  moddi  11957  modsubdir  11958  subsq  12178  expmulnbnd  12200  crre  12949  remullem  12963  mulcn2  13420  iseraltlem3  13508  fsumparts  13622  geoserg  13679  mertens  13697  tanval3  13871  tanadd  13904  eirrlem  13939  3dvds  14052  bezoutlem3  14180  eulerthlem2  14314  prmdiv  14317  prmdiveq  14318  4sqlem10  14467  mul4sqlem  14473  4sqlem17  14481  blcvx  21388  icopnfhmeo  21528  pcoass  21609  pjthlem1  21937  itgmulc2lem2  22324  dvmulbr  22427  cmvth  22477  dvcvx  22506  dvfsumle  22507  dvfsumabs  22509  dvfsumlem2  22513  aaliou3lem8  22826  abelthlem2  22912  tangtx  22983  tanregt0  23011  efif1olem2  23015  efif1olem4  23017  ang180lem5  23263  isosctrlem2  23269  isosctrlem3  23270  affineequiv  23273  heron  23285  dcubic1  23292  dquart  23300  quartlem1  23304  asinsin  23339  efiatan  23359  atanlogsublem  23362  efiatan2  23364  2efiatan  23365  tanatan  23366  atantayl2  23385  wilthlem2  23460  ftalem5  23467  basellem3  23473  basellem5  23475  logfaclbnd  23614  bposlem1  23676  lgseisenlem2  23742  lgsquadlem1  23746  2sqlem4  23759  vmadivsum  23784  rplogsumlem1  23786  dchrmusum2  23796  dchrvmasumiflem2  23804  rpvmasum2  23814  dchrisum0lem2a  23819  dchrisum0lem2  23820  rplogsum  23829  mulogsumlem  23833  mulogsum  23834  mulog2sumlem1  23836  mulog2sumlem2  23837  mulog2sumlem3  23838  vmalogdivsum2  23840  vmalogdivsum  23841  2vmadivsumlem  23842  logsqvma  23844  selberglem1  23847  selberglem2  23848  selberg2lem  23852  chpdifbndlem1  23855  selberg3lem1  23859  selberg4lem1  23862  selberg4  23863  pntrsumo1  23867  selbergr  23870  selberg3r  23871  selberg4r  23872  selberg34r  23873  pntrlog2bndlem4  23882  pntrlog2bndlem5  23883  pntrlog2bndlem6  23885  pntlemo  23909  ttgcontlem1  24309  brbtwn2  24329  colinearalglem1  24330  axcontlem8  24395  pjhthlem1  26426  2sqmod  27789  lgamgulmlem2  28761  lgamgulmlem3  28762  muls1d  29285  bpolydiflem  29969  bpoly4  29974  fsumcube  29975  itgmulc2nclem2  30248  areacirclem1  30273  areacirclem4  30276  areacirc  30278  cntotbnd  30458  irrapxlem2  30924  irrapxlem3  30925  irrapxlem5  30927  pellexlem6  30935  pell1qrgaplem  30974  qirropth  31009  jm2.17a  31063  congmul  31070  jm2.18  31096  areaquad  31352  itgsinexp  31919  stoweidlem26  31974  stirlinglem7  32028  fourierdlem83  32138  etransclem46  32229  bj-bary1lem  35023  bj-bary1lem1  35024