Theorem subdid 10012

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
mulnegd.2	|- ( ph -> B e. CC )
subdid.3	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subdid	|- ( ph -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mulnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subdid.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		subdi 9990	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1228	1 |- ( ph -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1379   e. wcel 1767  (class class class)co 6284   CCcc 9490   x. cmul 9497   - cmin 9805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-ltxr 9633  df-sub 9807

This theorem is referenced by:  recextlem1  10179  cru  10528  cju  10532  zneo  10943  qbtwnre  11398  lincmb01cmp  11663  iccf1o  11664  intfracq  11954  modlt  11974  moddi  12022  modsubdir  12023  subsq  12243  expmulnbnd  12266  crre  12910  remullem  12924  mulcn2  13381  iseraltlem3  13469  fsumparts  13583  geoserg  13640  mertens  13658  tanval3  13730  tanadd  13763  eirrlem  13798  3dvds  13909  bezoutlem3  14037  eulerthlem2  14171  prmdiv  14174  prmdiveq  14175  4sqlem10  14324  mul4sqlem  14330  4sqlem17  14338  blcvx  21066  icopnfhmeo  21206  pcoass  21287  pjthlem1  21615  itgmulc2lem2  22002  dvmulbr  22105  cmvth  22155  dvcvx  22184  dvfsumle  22185  dvfsumabs  22187  dvfsumlem2  22191  aaliou3lem8  22503  abelthlem2  22589  tangtx  22659  tanregt0  22687  efif1olem2  22691  efif1olem4  22693  ang180lem5  22901  isosctrlem2  22909  isosctrlem3  22910  affineequiv  22913  heron  22925  dcubic1  22932  dquart  22940  quartlem1  22944  asinsin  22979  efiatan  22999  atanlogsublem  23002  efiatan2  23004  2efiatan  23005  tanatan  23006  atantayl2  23025  wilthlem2  23099  ftalem5  23106  basellem3  23112  basellem5  23114  logfaclbnd  23253  bposlem1  23315  lgseisenlem2  23381  lgsquadlem1  23385  2sqlem4  23398  vmadivsum  23423  rplogsumlem1  23425  dchrmusum2  23435  dchrvmasumiflem2  23443  rpvmasum2  23453  dchrisum0lem2a  23458  dchrisum0lem2  23459  rplogsum  23468  mulogsumlem  23472  mulogsum  23473  mulog2sumlem1  23475  mulog2sumlem2  23476  mulog2sumlem3  23477  vmalogdivsum2  23479  vmalogdivsum  23480  2vmadivsumlem  23481  logsqvma  23483  selberglem1  23486  selberglem2  23487  selberg2lem  23491  chpdifbndlem1  23494  selberg3lem1  23498  selberg4lem1  23501  selberg4  23502  pntrsumo1  23506  selbergr  23509  selberg3r  23510  selberg4r  23511  selberg34r  23512  pntrlog2bndlem4  23521  pntrlog2bndlem5  23522  pntrlog2bndlem6  23524  pntlemo  23548  ttgcontlem1  23892  brbtwn2  23912  colinearalglem1  23913  axcontlem8  23978  pjhthlem1  26013  lgamgulmlem2  28240  lgamgulmlem3  28241  muls1d  28624  bpolydiflem  29421  bpoly4  29426  fsumcube  29427  itgmulc2nclem2  29687  areacirclem1  29712  areacirclem4  29715  areacirc  29717  cntotbnd  29923  irrapxlem2  30391  irrapxlem3  30392  irrapxlem5  30394  pellexlem6  30402  pell1qrgaplem  30441  qirropth  30476  jm2.17a  30530  congmul  30537  jm2.18  30562  areaquad  30817  itgsinexp  31300  stoweidlem26  31354  stirlinglem7  31408  fourierdlem83  31518  bj-bary1lem  33769  bj-bary1lem1  33770