Theorem subdid 9821

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
mulnegd.2	|- ( ph -> B e. CC )
subdid.3	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subdid	|- ( ph -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mulnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subdid.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		subdi 9799	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1218	1 |- ( ph -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1369   e. wcel 1756  (class class class)co 6112   CCcc 9301   x. cmul 9308   - cmin 9616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-ltxr 9444  df-sub 9618

This theorem is referenced by:  recextlem1  9987  cru  10335  cju  10339  zneo  10745  qbtwnre  11190  lincmb01cmp  11449  iccf1o  11450  intfracq  11719  modlt  11739  moddi  11787  modsubdir  11788  subsq  11994  expmulnbnd  12017  crre  12624  remullem  12638  mulcn2  13094  iseraltlem3  13182  fsumparts  13290  geoserg  13349  mertens  13367  tanval3  13439  tanadd  13472  eirrlem  13507  3dvds  13617  bezoutlem3  13745  eulerthlem2  13878  prmdiv  13881  prmdiveq  13882  4sqlem10  14029  mul4sqlem  14035  4sqlem17  14043  blcvx  20397  icopnfhmeo  20537  pcoass  20618  pjthlem1  20946  itgmulc2lem2  21332  dvmulbr  21435  cmvth  21485  dvcvx  21514  dvfsumle  21515  dvfsumabs  21517  dvfsumlem2  21521  aaliou3lem8  21833  abelthlem2  21919  tangtx  21989  tanregt0  22017  efif1olem2  22021  efif1olem4  22023  ang180lem5  22231  isosctrlem2  22239  isosctrlem3  22240  affineequiv  22243  heron  22255  dcubic1  22262  dquart  22270  quartlem1  22274  asinsin  22309  efiatan  22329  atanlogsublem  22332  efiatan2  22334  2efiatan  22335  tanatan  22336  atantayl2  22355  wilthlem2  22429  ftalem5  22436  basellem3  22442  basellem5  22444  logfaclbnd  22583  bposlem1  22645  lgseisenlem2  22711  lgsquadlem1  22715  2sqlem4  22728  vmadivsum  22753  rplogsumlem1  22755  dchrmusum2  22765  dchrvmasumiflem2  22773  rpvmasum2  22783  dchrisum0lem2a  22788  dchrisum0lem2  22789  rplogsum  22798  mulogsumlem  22802  mulogsum  22803  mulog2sumlem1  22805  mulog2sumlem2  22806  mulog2sumlem3  22807  vmalogdivsum2  22809  vmalogdivsum  22810  2vmadivsumlem  22811  logsqvma  22813  selberglem1  22816  selberglem2  22817  selberg2lem  22821  chpdifbndlem1  22824  selberg3lem1  22828  selberg4lem1  22831  selberg4  22832  pntrsumo1  22836  selbergr  22839  selberg3r  22840  selberg4r  22841  selberg34r  22842  pntrlog2bndlem4  22851  pntrlog2bndlem5  22852  pntrlog2bndlem6  22854  pntlemo  22878  ttgcontlem1  23153  brbtwn2  23173  colinearalglem1  23174  axcontlem8  23239  pjhthlem1  24816  lgamgulmlem2  27038  lgamgulmlem3  27039  muls1d  27422  bpolydiflem  28219  bpoly4  28224  fsumcube  28225  itgmulc2nclem2  28485  areacirclem1  28510  areacirclem4  28513  areacirc  28515  cntotbnd  28721  irrapxlem2  29190  irrapxlem3  29191  irrapxlem5  29193  pellexlem6  29201  pell1qrgaplem  29240  qirropth  29275  jm2.17a  29329  congmul  29336  jm2.18  29363  areaquad  29618  itgsinexp  29821  stoweidlem26  29847  stirlinglem7  29901  bj-bary1lem  32695  bj-bary1lem1  32696