Theorem subdid 9787

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
mulnegd.2	|- ( ph -> B e. CC )
subdid.3	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subdid	|- ( ph -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mulnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subdid.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		subdi 9765	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1211	1 |- ( ph -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1362   e. wcel 1755  (class class class)co 6080   CCcc 9267   x. cmul 9274   - cmin 9582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-ltxr 9410  df-sub 9584

This theorem is referenced by:  recextlem1  9953  cru  10301  cju  10305  zneo  10711  qbtwnre  11156  lincmb01cmp  11414  iccf1o  11415  intfracq  11681  modlt  11701  moddi  11749  modsubdir  11750  subsq  11956  expmulnbnd  11979  crre  12586  remullem  12600  mulcn2  13056  iseraltlem3  13144  fsumparts  13251  geoserg  13310  mertens  13328  tanval3  13400  tanadd  13433  eirrlem  13468  3dvds  13578  bezoutlem3  13706  eulerthlem2  13839  prmdiv  13842  prmdiveq  13843  4sqlem10  13990  mul4sqlem  13996  4sqlem17  14004  blcvx  20216  icopnfhmeo  20356  pcoass  20437  pjthlem1  20765  itgmulc2lem2  21151  dvmulbr  21254  cmvth  21304  dvcvx  21333  dvfsumle  21334  dvfsumabs  21336  dvfsumlem2  21340  aaliou3lem8  21695  abelthlem2  21781  tangtx  21851  tanregt0  21879  efif1olem2  21883  efif1olem4  21885  ang180lem5  22093  isosctrlem2  22101  isosctrlem3  22102  affineequiv  22105  heron  22117  dcubic1  22124  dquart  22132  quartlem1  22136  asinsin  22171  efiatan  22191  atanlogsublem  22194  efiatan2  22196  2efiatan  22197  tanatan  22198  atantayl2  22217  wilthlem2  22291  ftalem5  22298  basellem3  22304  basellem5  22306  logfaclbnd  22445  bposlem1  22507  lgseisenlem2  22573  lgsquadlem1  22577  2sqlem4  22590  vmadivsum  22615  rplogsumlem1  22617  dchrmusum2  22627  dchrvmasumiflem2  22635  rpvmasum2  22645  dchrisum0lem2a  22650  dchrisum0lem2  22651  rplogsum  22660  mulogsumlem  22664  mulogsum  22665  mulog2sumlem1  22667  mulog2sumlem2  22668  mulog2sumlem3  22669  vmalogdivsum2  22671  vmalogdivsum  22672  2vmadivsumlem  22673  logsqvma  22675  selberglem1  22678  selberglem2  22679  selberg2lem  22683  chpdifbndlem1  22686  selberg3lem1  22690  selberg4lem1  22693  selberg4  22694  pntrsumo1  22698  selbergr  22701  selberg3r  22702  selberg4r  22703  selberg34r  22704  pntrlog2bndlem4  22713  pntrlog2bndlem5  22714  pntrlog2bndlem6  22716  pntlemo  22740  ttgcontlem1  22953  brbtwn2  22973  colinearalglem1  22974  axcontlem8  23039  pjhthlem1  24616  lgamgulmlem2  26863  lgamgulmlem3  26864  muls1d  27246  bpolydiflem  28043  bpoly4  28048  fsumcube  28049  itgmulc2nclem2  28300  areacirclem1  28325  areacirclem4  28328  areacirc  28330  cntotbnd  28536  irrapxlem2  29006  irrapxlem3  29007  irrapxlem5  29009  pellexlem6  29017  pell1qrgaplem  29056  qirropth  29091  jm2.17a  29145  congmul  29152  jm2.18  29179  itgsinexp  29638  stoweidlem26  29664  stirlinglem7  29718  bj-bary1lem  32171  bj-bary1lem1  32172