Theorem subdid 9445

Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulm1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
mulnegd.2	|- ( ph -> B e. CC )
subdid.3	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subdid	|- ( ph -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )

Proof of Theorem subdid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mulnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subdid.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		subdi 9423	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1184	1 |- ( ph -> ( A x. ( B - C ) ) = ( ( A x. B ) - ( A x. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1649   e. wcel 1721  (class class class)co 6040   CCcc 8944   x. cmul 8951   - cmin 9247

This theorem is referenced by:  recextlem1  9608  cru  9948  cju  9952  zneo  10308  qbtwnre  10741  lincmb01cmp  10994  iccf1o  10995  intfracq  11195  modlt  11213  moddi  11239  modsubdir  11240  subsq  11443  expmulnbnd  11466  crre  11874  remullem  11888  mulcn2  12344  iseraltlem3  12432  fsumparts  12540  geoserg  12600  mertens  12618  tanval3  12690  tanadd  12723  eirrlem  12758  3dvds  12867  bezoutlem3  12995  eulerthlem2  13126  prmdiv  13129  prmdiveq  13130  4sqlem10  13270  mul4sqlem  13276  4sqlem17  13284  blcvx  18782  icopnfhmeo  18921  pcoass  19002  pjthlem1  19291  itgmulc2lem2  19677  dvmulbr  19778  cmvth  19828  dvcvx  19857  dvfsumle  19858  dvfsumabs  19860  dvfsumlem2  19864  aaliou3lem8  20215  abelthlem2  20301  tangtx  20366  tanregt0  20394  efif1olem2  20398  efif1olem4  20400  ang180lem5  20608  isosctrlem2  20616  isosctrlem3  20617  affineequiv  20620  dcubic1  20638  dquart  20646  quartlem1  20650  asinsin  20685  efiatan  20705  atanlogsublem  20708  efiatan2  20710  2efiatan  20711  tanatan  20712  atantayl2  20731  wilthlem2  20805  ftalem5  20812  basellem3  20818  basellem5  20820  logfaclbnd  20959  bposlem1  21021  lgseisenlem2  21087  lgsquadlem1  21091  2sqlem4  21104  vmadivsum  21129  rplogsumlem1  21131  dchrmusum2  21141  dchrvmasumiflem2  21149  rpvmasum2  21159  dchrisum0lem2a  21164  dchrisum0lem2  21165  rplogsum  21174  mulogsumlem  21178  mulogsum  21179  mulog2sumlem1  21181  mulog2sumlem2  21182  mulog2sumlem3  21183  vmalogdivsum2  21185  vmalogdivsum  21186  2vmadivsumlem  21187  logsqvma  21189  selberglem1  21192  selberglem2  21193  selberg2lem  21197  chpdifbndlem1  21200  selberg3lem1  21204  selberg4lem1  21207  selberg4  21208  pntrsumo1  21212  selbergr  21215  selberg3r  21216  selberg4r  21217  selberg34r  21218  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem5  21228  pntrlog2bndlem6  21230  pntlemo  21254  pjhthlem1  22846  lgamgulmlem2  24767  lgamgulmlem3  24768  muls1d  25166  brbtwn2  25748  colinearalglem1  25749  axcontlem8  25814  bpolydiflem  26004  bpoly4  26009  fsumcube  26010  itgmulc2nclem2  26171  areacirclem2  26181  areacirclem5  26185  areacirc  26187  cntotbnd  26395  irrapxlem2  26776  irrapxlem3  26777  irrapxlem5  26779  pellexlem6  26787  pell1qrgaplem  26826  qirropth  26861  jm2.17a  26915  congmul  26922  jm2.18  26949  itgsinexp  27616  stoweidlem26  27642  stirlinglem7  27696

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249