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Theorem subcos 14196
Description: Difference of cosines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
subcos  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  B
)  -  ( cos `  A ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )

Proof of Theorem subcos
StepHypRef Expression
1 halfaddsubcl 10834 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC ) )
2 sincl 14147 . . . . 5  |-  ( ( ( A  +  B
)  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( A  +  B )  / 
2 ) )  e.  CC )
3 sincl 14147 . . . . 5  |-  ( ( ( A  -  B
)  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) )  e.  CC )
4 mulcl 9612 . . . . 5  |-  ( ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  e.  CC )
52, 3, 4syl2an 479 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2
) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) ) )  e.  CC )
61, 5syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  e.  CC )
762timesd 10844 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( sin `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  +  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
8 cossub 14190 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  -  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  +  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
9 cosadd 14186 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  +  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  -  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
108, 9oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( cos `  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  -  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  -  ( cos `  ( ( ( A  +  B )  /  2 )  +  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  +  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  -  (
( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) ) )
111, 10syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  -  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  -  ( cos `  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  +  ( ( A  -  B
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( cos `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  +  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  -  (
( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) ) )
12 coscl 14148 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  B
)  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( A  +  B )  / 
2 ) )  e.  CC )
13 coscl 14148 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  B
)  /  2 )  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) )  e.  CC )
14 mulcl 9612 . . . . . 6  |-  ( ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC  /\  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  e.  CC )
1512, 13, 14syl2an 479 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( A  -  B )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( ( cos `  ( ( A  +  B )  /  2
) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) ) )  e.  CC )
161, 15syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( cos `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  e.  CC )
1716, 6, 6pnncand 10014 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( cos `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  +  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) )  -  ( ( ( cos `  ( ( A  +  B )  /  2 ) )  x.  ( cos `  (
( A  -  B
)  /  2 ) ) )  -  (
( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )  =  ( ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) )  +  ( ( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
1811, 17eqtrd 2461 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  -  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  -  ( cos `  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  +  ( ( A  -  B
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2
) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) ) )  +  ( ( sin `  ( ( A  +  B )  /  2
) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  / 
2 ) ) ) ) )
19 halfaddsub 10835 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  +  B )  /  2 )  +  ( ( A  -  B )  /  2
) )  =  A  /\  ( ( ( A  +  B )  /  2 )  -  ( ( A  -  B )  /  2
) )  =  B ) )
2019simprd 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  -  (
( A  -  B
)  /  2 ) )  =  B )
2120fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  -  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( cos `  B ) )
2219simpld 460 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  +  ( ( A  -  B
)  /  2 ) )  =  A )
2322fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  +  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  =  ( cos `  A ) )
2421, 23oveq12d 6314 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  (
( ( A  +  B )  /  2
)  -  ( ( A  -  B )  /  2 ) ) )  -  ( cos `  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  +  ( ( A  -  B
)  /  2 ) ) ) )  =  ( ( cos `  B
)  -  ( cos `  A ) ) )
257, 18, 243eqtr2rd 2468 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( cos `  B
)  -  ( cos `  A ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  x.  ( sin `  ( ( A  -  B )  /  2
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526    + caddc 9531    x. cmul 9533    - cmin 9849    / cdiv 10258   2c2 10648   sincsin 14083   cosccos 14084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-pm 7474  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8016  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-rp 11292  df-ico 11630  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-seq 12200  df-exp 12259  df-fac 12446  df-bc 12474  df-hash 12502  df-shft 13098  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-limsup 13493  df-clim 13519  df-rlim 13520  df-sum 13720  df-ef 14088  df-sin 14090  df-cos 14091
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