MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcld Structured version   Unicode version

Theorem subcld 9707
Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subcld  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem subcld
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subcl 9597 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
41, 2, 3syl2anc 654 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755  (class class class)co 6080   CCcc 9268    - cmin 9583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-ltxr 9411  df-sub 9585
This theorem is referenced by:  muleqadd  9968  hashfz  12172  hashfzo  12174  hashf1lem2  12193  hashf1  12194  ccatswrd  12334  crre  12587  remim  12590  remullem  12601  abs3lem  12810  caubnd2  12829  rlimuni  13012  climuni  13014  rlimcld2  13040  rlimrege0  13041  rlimrecl  13042  mulcn2  13057  reccn2  13058  cn1lem  13059  o1sub  13077  rlimo1  13078  o1dif  13091  rlimsqzlem  13110  caucvgrlem2  13136  iseralt  13146  fsumparts  13252  cvgcmpce  13264  incexclem  13282  arisum2  13306  geoserg  13311  geo2sum2  13317  sinf  13391  tanval2  13400  tanval3  13401  sinneg  13413  efival  13419  sinhval  13421  bitsinv1lem  13620  bitsres  13652  pythagtriplem1  13866  pythagtriplem14  13878  pythagtriplem17  13881  4sqlem5  13986  mul4sqlem  13997  4sqlem17  14005  vdwlem5  14029  vdwlem6  14030  vdwlem8  14032  blcvx  20217  recld2  20233  addcnlem  20282  cnllycmp  20370  ipcnlem2  20598  rrxmval  20746  rrxmetlem  20748  pjthlem1  20766  ovollb2lem  20813  itgcnlem  21109  dvlem  21213  dvconst  21233  dvid  21234  dvcnp2  21236  dvaddbr  21254  dvmulbr  21255  dvcobr  21262  dvcjbr  21265  dvrec  21271  dvmptim  21286  dvcnvlem  21290  dveflem  21293  dvsincos  21295  cmvth  21305  dvlip  21307  dvlipcn  21308  c1liplem1  21310  dveq0  21314  dv11cn  21315  dvle  21321  lhop1lem  21327  dvfsumabs  21337  dvfsumlem1  21340  dvfsumlem2  21341  dvfsumrlim  21345  dvfsumrlim2  21346  ftc1lem4  21353  ftc1lem5  21354  ftc2  21358  dgrcolem2  21626  plydiveu  21649  aaliou2b  21692  taylfvallem1  21707  taylply2  21718  dvtaylp  21720  dvntaylp  21721  taylthlem1  21723  taylthlem2  21724  ulmbdd  21748  ulmcn  21749  ulmdvlem1  21750  mtest  21754  iblulm  21757  itgulm  21758  abelthlem9  21790  ptolemy  21843  tangtx  21852  sineq0  21868  efeq1  21870  efif1olem4  21886  tanarg  21953  logcnlem3  21974  logcnlem4  21975  advlogexp  21985  efopn  21988  cxpcn3lem  22070  cxpeq  22080  ang180lem4  22093  ang180lem5  22094  ang180  22095  isosctrlem2  22102  isosctrlem3  22103  isosctr  22104  ssscongptld  22105  affineequiv  22106  affineequiv2  22107  angpieqvdlem  22108  angpieqvdlem2  22109  angpined  22110  angpieqvd  22111  chordthmlem  22112  chordthmlem2  22113  chordthmlem3  22114  chordthmlem4  22115  chordthmlem5  22116  heron  22118  quad2  22119  quad  22120  dcubic1lem  22123  dcubic  22126  mcubic  22127  cubic2  22128  cubic  22129  dquartlem1  22131  dquartlem2  22132  dquart  22133  quart1cl  22134  quart1lem  22135  quart1  22136  quartlem2  22138  quartlem4  22140  quart  22141  atanf  22160  sinasin  22169  asinsin  22172  atanneg  22187  atancj  22190  efiatan  22192  atanlogsub  22196  efiatan2  22197  2efiatan  22198  atanbndlem  22205  dvatan  22215  atantayl  22217  ftalem2  22296  logfacrlim  22448  logexprlim  22449  lgsdirprm  22553  vmadivsum  22616  rpvmasumlem  22621  dchrisumlem2  22624  dchrisumlem3  22625  dchrmusum2  22628  dchrvmasumlem2  22632  dchrvmasumlem3  22633  dchrvmasumiflem1  22635  rpvmasum2  22646  dchrisum0lem1b  22649  dchrisum0lem1  22650  dchrisum0lem2a  22651  rplogsum  22661  mudivsum  22664  mulogsumlem  22665  mulogsum  22666  mulog2sumlem1  22668  mulog2sumlem2  22669  mulog2sumlem3  22670  vmalogdivsum2  22672  vmalogdivsum  22673  2vmadivsumlem  22674  selberglem1  22679  selberglem2  22680  selberg2lem  22684  selberg2  22685  selberg3lem1  22691  selberg4lem1  22694  selberg4  22695  pntrsumo1  22699  selberg3r  22703  selberg34r  22705  pntrlog2bndlem1  22711  pntrlog2bndlem2  22712  pntrlog2bndlem3  22713  pntrlog2bndlem4  22714  pntrlog2bndlem5  22715  pntibndlem2  22725  pntlemf  22739  pntlemo  22741  ttgcontlem1  22954  brbtwn2  22974  colinearalglem1  22975  colinearalglem2  22976  colinearalg  22979  axsegconlem1  22986  ax5seglem2  22998  ax5seglem6  23003  ax5seglem9  23006  axlowdimlem17  23027  axcontlem7  23039  axcontlem8  23040  cusgrasizeinds  23207  smcnlem  23915  ipval2  23925  4ipval2  23926  4ipval3  23930  dipcj  23935  pjhthlem1  24617  lt2addrd  25861  bcm1n  25902  sqsscirc2  26193  signslema  26811  lgamgulmlem2  26864  lgamgulmlem3  26865  lgamgulmlem5  26867  lgamgulmlem6  26868  lgamgulm2  26870  lgamucov  26872  lgamcvg2  26889  gamcvg  26890  gamcvg2lem  26893  subfaclim  26924  pnpncand  27241  divcnvlin  27246  iprodgam  27353  fallfacfwd  27386  binomfallfaclem2  27390  bpolycl  28042  bpoly3  28048  bpoly4  28049  fsumcube  28050  ftc1cnnclem  28309  ftc1anclem7  28317  ftc1anclem8  28318  ftc1anc  28319  ftc2nc  28320  areacirclem1  28328  areacirclem4  28331  areacirc  28333  cntotbnd  28539  rencldnfilem  29004  pellexlem2  29016  pellexlem6  29020  pell1234qrne0  29039  pell1234qrmulcl  29041  rmyluc  29123  jm2.18  29182  jm2.19  29187  areaquad  29437  lhe4.4ex1a  29448  stoweidlem1  29642  stoweidlem11  29652  stoweidlem13  29654  stoweidlem26  29667  stoweid  29704  wallispi  29711  wallispi2lem1  29712  wallispi2lem2  29713  wallispi2  29714  stirlinglem1  29715  stirlinglem4  29718  stirlinglem5  29719  stirlinglem7  29721  stirlinglem11  29725  sigarmf  29736  sigarms  29738  sigarexp  29741  sigardiv  29743  sigarcol  29746  sharhght  29747  sigaradd  29748  cevathlem2  29750  cevath  29751  kcnktkm1cn  30016  clwlkisclwwlk  30297  frghash2spot  30502  usgreghash2spotv  30505  frgregordn0  30509  numclwlk3lem3  30512  numclwlk1lem2fo  30534  sinhpcosh  30784  i2linesd  30838  isosctrlem1ALT  31372  sineq0ALT  31375  bj-lineq  32172  bj-bary1lem  32174  bj-bary1lem1  32175  bj-bary1  32176
  Copyright terms: Public domain W3C validator