MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcld Unicode version

Theorem subcld 9367
Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subcld  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem subcld
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subcl 9261 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   CCcc 8944    - cmin 9247
This theorem is referenced by:  muleqadd  9622  hashfz  11647  hashfzo  11649  hashf1lem2  11660  hashf1  11661  ccatswrd  11728  crre  11874  remim  11877  remullem  11888  abs3lem  12097  caubnd2  12116  rlimuni  12299  climuni  12301  rlimcld2  12327  rlimrege0  12328  rlimrecl  12329  mulcn2  12344  reccn2  12345  cn1lem  12346  o1sub  12364  rlimo1  12365  o1dif  12378  rlimsqzlem  12397  caucvgrlem2  12423  iseralt  12433  fsumparts  12540  cvgcmpce  12552  incexclem  12571  arisum2  12595  geoserg  12600  geo2sum2  12606  sinf  12680  tanval2  12689  tanval3  12690  sinneg  12702  efival  12708  sinhval  12710  bitsinv1lem  12908  bitsres  12940  pythagtriplem1  13145  pythagtriplem14  13157  pythagtriplem17  13160  4sqlem5  13265  mul4sqlem  13276  4sqlem17  13284  vdwlem5  13308  vdwlem6  13309  vdwlem8  13311  blcvx  18782  recld2  18798  addcnlem  18847  cnllycmp  18934  ipcnlem2  19151  pjthlem1  19291  ovollb2lem  19337  itgcnlem  19634  dvlem  19736  dvconst  19756  dvid  19757  dvcnp2  19759  dvaddbr  19777  dvmulbr  19778  dvcobr  19785  dvcjbr  19788  dvrec  19794  dvmptim  19809  dvcnvlem  19813  dveflem  19816  dvsincos  19818  cmvth  19828  dvlip  19830  dvlipcn  19831  c1liplem1  19833  dveq0  19837  dv11cn  19838  dvle  19844  lhop1lem  19850  dvfsumabs  19860  dvfsumlem1  19863  dvfsumlem2  19864  dvfsumrlim  19868  dvfsumrlim2  19869  ftc1lem4  19876  ftc1lem5  19877  ftc2  19881  dgrcolem2  20145  plydiveu  20168  aaliou2b  20211  taylfvallem1  20226  taylply2  20237  dvtaylp  20239  dvntaylp  20240  taylthlem1  20242  taylthlem2  20243  ulmbdd  20267  ulmcn  20268  ulmdvlem1  20269  mtest  20273  iblulm  20276  itgulm  20277  abelthlem9  20309  ptolemy  20357  tangtx  20366  sineq0  20382  efeq1  20384  efif1olem4  20400  tanarg  20467  logcnlem3  20488  logcnlem4  20489  advlogexp  20499  efopn  20502  cxpcn3lem  20584  cxpeq  20594  ang180lem4  20607  ang180lem5  20608  ang180  20609  isosctrlem2  20616  isosctrlem3  20617  isosctr  20618  ssscongptld  20619  affineequiv  20620  affineequiv2  20621  angpieqvdlem  20622  angpieqvdlem2  20623  angpined  20624  angpieqvd  20625  chordthmlem  20626  chordthmlem2  20627  chordthmlem3  20628  chordthmlem4  20629  chordthmlem5  20630  quad2  20632  quad  20633  dcubic1lem  20636  dcubic  20639  mcubic  20640  cubic2  20641  cubic  20642  dquartlem1  20644  dquartlem2  20645  dquart  20646  quart1cl  20647  quart1lem  20648  quart1  20649  quartlem2  20651  quartlem4  20653  quart  20654  atanf  20673  sinasin  20682  asinsin  20685  atanneg  20700  atancj  20703  efiatan  20705  atanlogsub  20709  efiatan2  20710  2efiatan  20711  atanbndlem  20718  dvatan  20728  atantayl  20730  ftalem2  20809  logfacrlim  20961  logexprlim  20962  lgsdirprm  21066  vmadivsum  21129  rpvmasumlem  21134  dchrisumlem2  21137  dchrisumlem3  21138  dchrmusum2  21141  dchrvmasumlem2  21145  dchrvmasumlem3  21146  dchrvmasumiflem1  21148  rpvmasum2  21159  dchrisum0lem1b  21162  dchrisum0lem1  21163  dchrisum0lem2a  21164  rplogsum  21174  mudivsum  21177  mulogsumlem  21178  mulogsum  21179  mulog2sumlem1  21181  mulog2sumlem2  21182  mulog2sumlem3  21183  vmalogdivsum2  21185  vmalogdivsum  21186  2vmadivsumlem  21187  selberglem1  21192  selberglem2  21193  selberg2lem  21197  selberg2  21198  selberg3lem1  21204  selberg4lem1  21207  selberg4  21208  pntrsumo1  21212  selberg3r  21216  selberg34r  21218  pntrlog2bndlem1  21224  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem3  21226  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem5  21228  pntibndlem2  21238  pntlemf  21252  pntlemo  21254  cusgrasizeinds  21438  smcnlem  22146  ipval2  22156  4ipval2  22157  4ipval3  22161  dipcj  22166  pjhthlem1  22846  lt2addrd  24068  bcm1n  24104  sqsscirc2  24260  lgamgulmlem2  24767  lgamgulmlem3  24768  lgamgulmlem5  24770  lgamgulmlem6  24771  lgamgulm2  24773  lgamucov  24775  lgamcvg2  24792  gamcvg  24793  gamcvg2lem  24796  subfaclim  24827  pnpncand  25160  divcnvlin  25165  iprodgam  25272  fallfacfac  25302  fallfacfwd  25303  binomfallfaclem2  25307  brbtwn2  25748  colinearalglem1  25749  colinearalglem2  25750  colinearalg  25753  axsegconlem1  25760  ax5seglem2  25772  ax5seglem6  25777  ax5seglem9  25780  axlowdimlem17  25801  axcontlem7  25813  axcontlem8  25814  bpolycl  26002  bpoly3  26008  bpoly4  26009  fsumcube  26010  ftc1cnnclem  26177  dvreasin  26179  dvreacos  26180  areacirclem2  26181  areacirclem3  26182  areacirclem5  26185  areacirc  26187  cntotbnd  26395  rencldnfilem  26771  pellexlem2  26783  pellexlem6  26787  pell1234qrne0  26806  pell1234qrmulcl  26808  rmyluc  26890  jm2.18  26949  jm2.19  26954  lhe4.4ex1a  27414  stoweidlem1  27617  stoweidlem11  27627  stoweidlem13  27629  stoweidlem26  27642  stoweid  27679  wallispi  27686  wallispi2lem1  27687  wallispi2lem2  27688  wallispi2  27689  stirlinglem1  27690  stirlinglem4  27693  stirlinglem5  27694  stirlinglem7  27696  stirlinglem11  27700  sigarmf  27711  sigarms  27713  sigarexp  27716  sigardiv  27718  sigarcol  27721  sharhght  27722  sigaradd  27723  cevathlem2  27725  cevath  27726  kcnktkm1cn  27969  swrdccatin12lem3b  28022  frghash2spot  28166  usgreghash2spotv  28169  frgregordn0  28173  sinhpcosh  28197
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249
  Copyright terms: Public domain W3C validator