MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcld Structured version   Unicode version

Theorem subcld 9985
Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subcld  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem subcld
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subcl 9873 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
41, 2, 3syl2anc 665 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1870  (class class class)co 6305   CCcc 9536    - cmin 9859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-ltxr 9679  df-sub 9861
This theorem is referenced by:  pnpncand  10040  muleqadd  10255  hashfz  12594  hashfzo  12596  hashf1lem2  12614  hashf1  12615  ccatswrd  12797  crre  13156  remim  13159  remullem  13170  abs3lem  13380  caubnd2  13399  rlimuni  13592  climuni  13594  rlimcld2  13620  rlimrege0  13621  rlimrecl  13622  mulcn2  13637  reccn2  13638  cn1lem  13639  o1sub  13657  rlimo1  13658  o1dif  13671  rlimsqzlem  13690  caucvgrlem2  13718  iseralt  13729  fsumparts  13844  cvgcmpce  13856  incexclem  13872  arisum2  13897  geoserg  13902  geo2sum2  13908  fallfacfwd  14067  binomfallfaclem2  14071  bpolycl  14083  bpoly3  14089  bpoly4  14090  fsumcube  14091  sinf  14156  tanval2  14165  tanval3  14166  sinneg  14178  efival  14184  sinhval  14186  bitsinv1lem  14389  bitsres  14421  pythagtriplem1  14729  pythagtriplem14  14741  pythagtriplem17  14744  4sqlem5  14849  mul4sqlem  14860  4sqlem17OLD  14868  4sqlem17  14874  vdwlem5  14898  vdwlem6  14899  vdwlem8  14901  blcvx  21727  recld2  21743  addcnlem  21792  cnllycmp  21880  ipcnlem2  22108  rrxmval  22252  rrxmetlem  22254  pjthlem1  22272  ovollb2lem  22319  itgcnlem  22624  dvlem  22728  dvconst  22748  dvid  22749  dvcnp2  22751  dvaddbr  22769  dvmulbr  22770  dvcobr  22777  dvcjbr  22780  dvrec  22786  dvmptim  22801  dvcnvlem  22805  dveflem  22808  dvsincos  22810  cmvth  22820  dvlip  22822  dvlipcn  22823  c1liplem1  22825  dveq0  22829  dv11cn  22830  dvle  22836  lhop1lem  22842  dvfsumabs  22852  dvfsumlem1  22855  dvfsumlem2  22856  dvfsumrlim  22860  dvfsumrlim2  22861  ftc1lem4  22868  ftc1lem5  22869  ftc2  22873  dgrcolem2  23096  plydiveu  23119  aaliou2b  23162  taylfvallem1  23177  taylply2  23188  dvtaylp  23190  dvntaylp  23191  taylthlem1  23193  taylthlem2  23194  ulmbdd  23218  ulmcn  23219  ulmdvlem1  23220  mtest  23224  iblulm  23227  itgulm  23228  abelthlem9  23260  ptolemy  23316  tangtx  23325  sineq0  23341  efeq1  23343  efif1olem4  23359  tanarg  23433  logcnlem3  23454  logcnlem4  23455  advlogexp  23465  efopn  23468  cxpcn3lem  23552  cxpeq  23562  ang180lem4  23606  ang180lem5  23607  ang180  23608  isosctrlem2  23613  isosctrlem3  23614  isosctr  23615  ssscongptld  23616  affineequiv  23617  affineequiv2  23618  angpieqvdlem  23619  angpieqvdlem2  23620  angpined  23621  angpieqvd  23622  chordthmlem  23623  chordthmlem2  23624  chordthmlem3  23625  chordthmlem4  23626  chordthmlem5  23627  heron  23629  quad2  23630  quad  23631  dcubic1lem  23634  dcubic  23637  mcubic  23638  cubic2  23639  cubic  23640  dquartlem1  23642  dquartlem2  23643  dquart  23644  quart1cl  23645  quart1lem  23646  quart1  23647  quartlem2  23649  quartlem4  23651  quart  23652  atanf  23671  sinasin  23680  asinsin  23683  atanneg  23698  atancj  23701  efiatan  23703  atanlogsub  23707  efiatan2  23708  2efiatan  23709  atanbndlem  23716  dvatan  23726  atantayl  23728  lgamgulmlem2  23820  lgamgulmlem3  23821  lgamgulmlem5  23823  lgamgulmlem6  23824  lgamgulm2  23826  lgamucov  23828  lgamcvg2  23845  gamcvg  23846  gamcvg2lem  23849  ftalem2  23863  logfacrlim  24015  logexprlim  24016  lgsdirprm  24120  vmadivsum  24183  rpvmasumlem  24188  dchrisumlem2  24191  dchrisumlem3  24192  dchrmusum2  24195  dchrvmasumlem2  24199  dchrvmasumlem3  24200  dchrvmasumiflem1  24202  rpvmasum2  24213  dchrisum0lem1b  24216  dchrisum0lem1  24217  dchrisum0lem2a  24218  rplogsum  24228  mudivsum  24231  mulogsumlem  24232  mulogsum  24233  mulog2sumlem1  24235  mulog2sumlem2  24236  mulog2sumlem3  24237  vmalogdivsum2  24239  vmalogdivsum  24240  2vmadivsumlem  24241  selberglem1  24246  selberglem2  24247  selberg2lem  24251  selberg2  24252  selberg3lem1  24258  selberg4lem1  24261  selberg4  24262  pntrsumo1  24266  selberg3r  24270  selberg34r  24272  pntrlog2bndlem1  24278  pntrlog2bndlem2  24279  pntrlog2bndlem3  24280  pntrlog2bndlem4  24281  pntrlog2bndlem5  24282  pntibndlem2  24292  pntlemf  24306  pntlemo  24308  ttgcontlem1  24761  brbtwn2  24781  colinearalglem1  24782  colinearalglem2  24783  colinearalg  24786  axsegconlem1  24793  ax5seglem2  24805  ax5seglem6  24810  ax5seglem9  24813  axlowdimlem17  24834  axcontlem7  24846  axcontlem8  24847  cusgrasizeinds  25049  clwlkisclwwlk  25362  frghash2spot  25636  usgreghash2spotv  25639  frgregordn0  25643  numclwlk3lem3  25646  numclwlk1lem2fo  25668  smcnlem  26178  ipval2  26188  4ipval2  26189  4ipval3  26193  dipcj  26198  pjhthlem1  26879  lt2addrd  28169  bcm1n  28207  bhmafibid2  28244  2sqmod  28247  sqsscirc2  28554  signslema  29239  subfaclim  29699  divcnvlin  30154  iprodgam  30165  bj-lineq  31458  bj-bary1lem  31460  bj-bary1lem1  31461  bj-bary1  31462  ftc1cnnclem  31719  ftc1anclem7  31727  ftc1anclem8  31728  ftc1anc  31729  ftc2nc  31730  areacirclem1  31736  areacirclem4  31739  areacirc  31741  cntotbnd  31832  rencldnfilem  35372  pellexlem2  35384  pellexlem6  35388  pell1234qrne0  35407  pell1234qrmulcl  35409  rmyluc  35491  jm2.18  35549  jm2.19  35554  areaquad  35800  lhe4.4ex1a  36315  bcc0  36326  bccp1k  36327  bccm1k  36328  binomcxplemwb  36334  binomcxplemnn0  36335  binomcxplemrat  36336  binomcxplemfrat  36337  binomcxplemdvbinom  36339  binomcxplemnotnn0  36342  isosctrlem1ALT  36971  sineq0ALT  36974  oddfl  37096  dstregt0  37100  subadd4b  37101  sub31  37113  fzisoeu  37127  absnpncan2d  37129  absnpncan3d  37134  subdir2d  37138  supxrgelem  37169  mullimc  37268  ellimcabssub0  37269  mullimcf  37275  limcrecl  37281  lptre2pt  37292  limcleqr  37297  neglimc  37300  addlimc  37301  0ellimcdiv  37302  limclner  37304  reclimc  37306  fperdvper  37362  dvdivbd  37367  dvbdfbdioolem2  37373  ioodvbdlimc1lem1  37375  volioc  37418  stoweidlem1  37430  stoweidlem11  37440  stoweidlem13  37442  stoweidlem26  37455  stoweid  37494  wallispi  37501  wallispi2lem1  37502  wallispi2lem2  37503  wallispi2  37504  stirlinglem1  37505  stirlinglem4  37508  stirlinglem5  37509  stirlinglem7  37511  stirlinglem11  37515  dirkertrigeqlem2  37530  fourierdlem4  37542  fourierdlem26  37564  fourierdlem30  37568  fourierdlem42  37580  fourierdlem63  37601  fourierdlem65  37603  fourierdlem72  37610  fourierdlem74  37612  fourierdlem75  37613  fourierdlem76  37614  fourierdlem80  37618  fourierdlem81  37619  fourierdlem89  37627  fourierdlem90  37628  fourierdlem91  37629  fourierdlem107  37645  fourierdlem109  37647  fouriersw  37663  etransclem1  37667  etransclem4  37670  etransclem8  37674  etransclem18  37684  etransclem20  37686  etransclem21  37687  etransclem23  37689  etransclem35  37701  etransclem46  37712  sigarmf  37863  sigarms  37865  sigarexp  37868  sigardiv  37870  sigarcol  37873  sharhght  37874  sigaradd  37875  cevathlem2  37877  cevath  37878  pfxccatin12lem2  38355  fldivmod  39082  dignn0flhalflem2  39188  sinhpcosh  39221  i2linesd  39279
  Copyright terms: Public domain W3C validator