Theorem subcl 6524

Description: Closure law for subtraction.

Assertion

Ref	Expression
subcl	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A - B) e. CC)

Proof of Theorem subcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4889	. . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A - B) = (if(A e. CC, A, 0) - B))
2	1	eleq1d 1963	. 2 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((A - B) e. CC <-> (if(A e. CC, A, 0) - B) e. CC))
3		opreq2 4890	. . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (if(A e. CC, A, 0) - B) = (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0)))
4	3	eleq1d 1963	. 2 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((if(A e. CC, A, 0) - B) e. CC <-> (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0)) e. CC))
5		0cn 6481	. . . 4 |- 0 e. CC
6	5	elimel 3025	. . 3 |- if(A e. CC, A, 0) e. CC
7	5	elimel 3025	. . 3 |- if(B e. CC, B, 0) e. CC
8	6, 7	subcli 6523	. 2 |- (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0)) e. CC
9	2, 4, 8	dedth2h 3015	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A - B) e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  ifcif 2982  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386   - cmin 6445

This theorem is referenced by:  negcl 6525  subopr 6527  pncan3 6534  addsub 6542  addsubOLD 6543  addsub12 6545  npncan 6560  nppcan 6561  subdi 6590  subdir 6591  subsub2 6626  subsub4 6629  nnncan 6631  nnncan1 6632  nnncan1OLD 6633  nnncan2 6634  subadd4 6642  pnpcan 6645  recextlem1 6874  recex 6876  muleqadd 6889  halfaddsubcl 7226  halfaddsub 7227  elnnnn0 7381  uzindOLD 7420  shftval2 7760  2shfti 7765  shftcan2 7766  seq1seq02 7786  seqzp1 7791  seq0p1 7794  seqzval2 7796  subsq 7888  subsq2 7889  cjcl 8014  sqabssub 8100  abs3dif 8151  abs2dif 8154  abs2difabs 8155  caubndi 8178  caurei 8179  cauimi 8180  ser1absdiflem 8181  fsumconst 8298  clm4lei 8341  2climnn 8362  2climnn0 8363  climrecl 8370  climaddlem3 8376  climmullem3 8382  climmullem4 8383  climmullem5 8384  climabslem 8408  climcji 8410  climrei 8411  climimi 8412  climcaui 8416  serzf0i 8429  cvgcmp3ci 8447  georeclim 8502  geoisumr 8505  geoisum1c 8507  abscncflem 8536  recncf 8538  imcncf 8539  cjcncf 8540  mulc1cncf 8541  efaddlem16 8615  sincl 8696  sinneg 8707  efival 8712  addsin 8722  subcos 8725  cnmet 9182  ioo2bl 9190  subcn 9265  sm1cnilem 9686  ipval2 9696  4ipval2 9697  4ipval3 9701  ipcj 9706  sinco 10016  efimpi 10047  abssinper 10062  sineq0re 10067  hvmulcan2 10573  occllem6 10811  pjthlem8 10859  lnfnconi 11627  divalglem9 13704  mslb1 15007  2wsms 15008  lvsovso 15038  addsubeq4 15778  mettrifi2 15848  lincmb01cmp 15878  lincmb01icc 15879  sub1cncf 15885  sub2cncf 15886  recms 16010  rrnmet 16016  rrntotbndlem2 16021  reparpht 16065  pcorevlem 16086  pcorev 16087

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511

Copyright terms: Public domain