MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcl Structured version   Unicode version

Theorem subcl 9605
Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
subcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem subcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subval 9597 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  =  ( iota_ x  e.  CC  ( B  +  x )  =  A ) )
2 negeu 9596 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  E! x  e.  CC  ( B  +  x
)  =  A )
32ancoms 450 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  E! x  e.  CC  ( B  +  x
)  =  A )
4 riotacl 6065 . . 3  |-  ( E! x  e.  CC  ( B  +  x )  =  A  ->  ( iota_ x  e.  CC  ( B  +  x )  =  A )  e.  CC )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( iota_ x  e.  CC  ( B  +  x
)  =  A )  e.  CC )
61, 5eqeltrd 2515 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   E!wreu 2715   iota_crio 6048  (class class class)co 6090   CCcc 9276    + caddc 9281    - cmin 9591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-ltxr 9419  df-sub 9593
This theorem is referenced by:  negcl  9606  subf  9608  pncan3  9614  npcan  9615  addsubass  9616  addsub  9617  addsub12  9619  addsubeq4  9621  npncan  9626  nppcan  9627  nnpcan  9628  nppcan3  9629  subcan2  9630  subsub2  9633  subsub4  9638  nnncan  9640  nnncan1  9641  nnncan2  9642  npncan3  9643  addsub4  9648  subadd4  9649  subcli  9680  subcld  9715  subeqrev  9767  subdi  9774  subdir  9775  mulsub2  9784  recextlem1  9962  recex  9964  mulcan1g  9985  div2sub  10152  cju  10314  halfaddsubcl  10553  halfaddsub  10554  elnnnn0  10619  uzindOLD  10732  iccf1o  11425  sersub  11845  sqsubswap  11923  subsq  11969  subsq2  11970  bcn2  12091  swrdccatin12lem2b  12373  swrdccatin12lem2  12376  shftval2  12560  2shfti  12565  sqabssub  12768  abssub  12810  abs3dif  12815  abs2dif  12816  abs2difabs  12818  climuni  13026  cjcn2  13073  recn2  13074  imcn2  13075  o1sub  13089  climsub  13107  caucvgr  13149  iseralt  13158  fsum0diag2  13246  arisum2  13319  geoserg  13324  geolim  13326  geolim2  13327  georeclim  13328  geo2sum  13329  geoisum1c  13336  tanadd  13447  addsin  13450  fzocongeq  13583  odd2np1  13588  divalglem9  13601  phiprm  13848  pythagtriplem4  13882  pythagtriplem12  13889  pythagtriplem14  13891  pythagtriplem16  13893  fldivp1  13955  4sqlem19  14020  vdwapun  14031  vdwlem6  14043  xrsdsreclb  17760  cnmet  20251  icccvx  20422  reparphti  20469  pcorevlem  20498  cncmet  20733  dveflem  21351  dvef  21352  dv11cn  21373  coeeulem  21635  geolim3  21748  abelthlem2  21840  abelthlem7  21846  efimpi  21896  ptolemy  21901  tangtx  21910  abssinper  21923  cosne0  21929  tanregt0  21938  eflogeq  21993  logneg2  22007  advlogexp  22043  logtayl  22048  logtayl2  22050  ang180lem1  22148  ang180lem2  22149  ang180lem3  22150  lawcos  22155  pythag  22156  isosctrlem1  22159  isosctrlem2  22160  asinlem  22206  asinlem2  22207  asinlem3a  22208  asinlem3  22209  asinf  22210  acosf  22212  atanf  22218  asinneg  22224  efiasin  22226  sinasin  22227  asinsin  22230  acoscos  22231  asinbnd  22237  cosasin  22242  atanneg  22245  atancj  22248  efiatan  22250  atanlogaddlem  22251  atanlogadd  22252  atanlogsublem  22253  atanlogsub  22254  efiatan2  22255  2efiatan  22256  cosatan  22259  atantan  22261  atanbndlem  22263  atans2  22269  dvatan  22273  atantayl  22275  atantayl2  22276  birthdaylem2  22289  scvxcvx  22322  basellem8  22368  1sgm2ppw  22482  logfacbnd3  22505  logfacrlim  22506  perfect1  22510  dchrsum2  22550  sumdchr2  22552  bposlem9  22574  lgsquad2  22642  rplogsumlem1  22676  dchrmusum2  22686  log2sumbnd  22736  pntrsumo1  22757  brbtwn2  23070  colinearalg  23075  axcgrid  23081  axsegconlem1  23082  ax5seglem1  23093  ax5seglem2  23094  ax5seglem3  23096  ax5seglem5  23098  ax5seglem9  23102  axbtwnid  23104  axeuclidlem  23127  axcontlem2  23130  axcontlem4  23132  axcontlem7  23135  axcontlem8  23136  hvmulcan2  24394  subfacp1lem6  26987  cvxscon  27046  rescon  27049  sinccvglem  27230  fallfacval2  27427  fallfacval3  27428  fallfaccl  27432  risefallfac  27440  fallfacp1  27446  0fallfac  27453  binomfallfaclem2  27456  bpoly2  28113  bpoly3  28114  fsumcube  28116  sin2h  28331  tan2h  28333  itg2addnclem3  28354  ftc1anclem4  28379  ftc1anclem5  28380  ftc1anclem6  28381  ftc1anclem7  28382  ftc1anc  28384  dvasin  28389  dvacos  28390  rmspecsqrnq  29156  jm2.17a  29212  acongeq  29235  jm2.27c  29265  lhe4.4ex1a  29512  dvconstbi  29517  cnm1cn  30076  cnambpcma  30077
  Copyright terms: Public domain W3C validator