MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcl Structured version   Unicode version

Theorem subcl 9819
Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
subcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem subcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subval 9811 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  =  ( iota_ x  e.  CC  ( B  +  x )  =  A ) )
2 negeu 9810 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  E! x  e.  CC  ( B  +  x
)  =  A )
32ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  E! x  e.  CC  ( B  +  x
)  =  A )
4 riotacl 6260 . . 3  |-  ( E! x  e.  CC  ( B  +  x )  =  A  ->  ( iota_ x  e.  CC  ( B  +  x )  =  A )  e.  CC )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( iota_ x  e.  CC  ( B  +  x
)  =  A )  e.  CC )
61, 5eqeltrd 2555 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E!wreu 2816   iota_crio 6244  (class class class)co 6284   CCcc 9490    + caddc 9495    - cmin 9805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-ltxr 9633  df-sub 9807
This theorem is referenced by:  negcl  9820  subf  9822  pncan3  9828  npcan  9829  addsubass  9830  addsub  9831  addsub12  9833  addsubeq4  9835  npncan  9840  nppcan  9841  nnpcan  9842  nppcan3  9843  subcan2  9844  subsub2  9847  subsub4  9852  nnncan  9854  nnncan1  9855  nnncan2  9856  npncan3  9857  addsub4  9862  subadd4  9863  peano2cnm  9885  subcli  9895  subcld  9930  subeqrev  9982  subdi  9990  subdir  9991  mulsub2  10000  recextlem1  10179  recex  10181  mulcan1g  10202  div2sub  10369  cju  10532  halfaddsubcl  10771  halfaddsub  10772  elnnnn0  10839  uzindOLD  10955  iccf1o  11664  sersub  12118  sqsubswap  12197  subsq  12243  subsq2  12244  bcn2  12365  swrdccatin12lem2b  12674  swrdccatin12lem2  12677  shftval2  12871  2shfti  12876  sqabssub  13079  abssub  13122  abs3dif  13127  abs2dif  13128  abs2difabs  13130  climuni  13338  cjcn2  13385  recn2  13386  imcn2  13387  o1sub  13401  climsub  13419  caucvgr  13461  iseralt  13470  fsum0diag2  13561  arisum2  13635  geoserg  13640  geolim  13642  geolim2  13643  georeclim  13644  geo2sum  13645  geoisum1c  13652  tanadd  13763  addsin  13766  fzocongeq  13899  odd2np1  13905  divalglem9  13918  phiprm  14166  pythagtriplem4  14202  pythagtriplem12  14209  pythagtriplem14  14211  pythagtriplem16  14213  fldivp1  14275  4sqlem19  14340  vdwapun  14351  vdwlem6  14363  xrsdsreclb  18261  cnmet  21042  icccvx  21213  reparphti  21260  pcorevlem  21289  cncmet  21524  dveflem  22143  dvef  22144  dv11cn  22165  coeeulem  22384  geolim3  22497  abelthlem2  22589  abelthlem7  22595  efimpi  22645  ptolemy  22650  tangtx  22659  abssinper  22672  cosne0  22678  tanregt0  22687  eflogeq  22742  logneg2  22756  advlogexp  22792  logtayl  22797  logtayl2  22799  ang180lem1  22897  ang180lem2  22898  ang180lem3  22899  lawcos  22904  pythag  22905  isosctrlem1  22908  isosctrlem2  22909  asinlem  22955  asinlem2  22956  asinlem3a  22957  asinlem3  22958  asinf  22959  acosf  22961  atanf  22967  asinneg  22973  efiasin  22975  sinasin  22976  asinsin  22979  acoscos  22980  asinbnd  22986  cosasin  22991  atanneg  22994  atancj  22997  efiatan  22999  atanlogaddlem  23000  atanlogadd  23001  atanlogsublem  23002  atanlogsub  23003  efiatan2  23004  2efiatan  23005  cosatan  23008  atantan  23010  atanbndlem  23012  atans2  23018  dvatan  23022  atantayl  23024  atantayl2  23025  birthdaylem2  23038  scvxcvx  23071  basellem8  23117  1sgm2ppw  23231  logfacbnd3  23254  logfacrlim  23255  perfect1  23259  dchrsum2  23299  sumdchr2  23301  bposlem9  23323  lgsquad2  23391  rplogsumlem1  23425  dchrmusum2  23435  log2sumbnd  23485  pntrsumo1  23506  brbtwn2  23912  colinearalg  23917  axcgrid  23923  axsegconlem1  23924  ax5seglem1  23935  ax5seglem2  23936  ax5seglem3  23938  ax5seglem5  23940  ax5seglem9  23944  axbtwnid  23946  axeuclidlem  23969  axcontlem2  23972  axcontlem4  23974  axcontlem7  23977  axcontlem8  23978  hvmulcan2  25694  subfacp1lem6  28297  cvxscon  28356  rescon  28359  sinccvglem  28541  fallfacval2  28738  fallfacval3  28739  fallfaccl  28743  risefallfac  28751  fallfacp1  28757  0fallfac  28764  binomfallfaclem2  28767  bpoly2  29424  bpoly3  29425  fsumcube  29427  sin2h  29650  tan2h  29652  itg2addnclem3  29673  ftc1anclem4  29698  ftc1anclem5  29699  ftc1anclem6  29700  ftc1anclem7  29701  ftc1anc  29703  dvasin  29708  dvacos  29709  rmspecsqrtnq  30474  jm2.17a  30530  acongeq  30553  jm2.27c  30581  lhe4.4ex1a  30862  dvconstbi  30867  abssubrp  31062  dvdivbd  31281  dirkertrigeqlem2  31427  fourierdlem42  31477  fourierdlem65  31500  cnambpcma  31810
  Copyright terms: Public domain W3C validator