MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcid Structured version   Unicode version

Theorem subcid 14845
Description: The identity in a subcategory is the same as the original category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
subccat.1  |-  D  =  ( C  |`cat  J )
subccat.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (Subcat `  C ) )
subccatid.1  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( S  X.  S ) )
subccatid.2  |-  .1.  =  ( Id `  C )
subcid.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
Assertion
Ref Expression
subcid  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  X
)  =  ( ( Id `  D ) `
 X ) )

Proof of Theorem subcid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subccat.1 . . . . 5  |-  D  =  ( C  |`cat  J )
2 subccat.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (Subcat `  C ) )
3 subccatid.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( S  X.  S ) )
4 subccatid.2 . . . . 5  |-  .1.  =  ( Id `  C )
51, 2, 3, 4subccatid 14844 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  e.  Cat  /\  ( Id `  D
)  =  ( x  e.  S  |->  (  .1.  `  x ) ) ) )
65simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Id `  D
)  =  ( x  e.  S  |->  (  .1.  `  x ) ) )
7 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  x  =  X )
87fveq2d 5779 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  (  .1.  `  x )  =  (  .1.  `  X
) )
9 subcid.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
10 fvex 5785 . . . 4  |-  (  .1.  `  X )  e.  _V
1110a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  X
)  e.  _V )
126, 8, 9, 11fvmptd 5864 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Id `  D ) `  X
)  =  (  .1.  `  X ) )
1312eqcomd 2457 1  |-  ( ph  ->  (  .1.  `  X
)  =  ( ( Id `  D ) `
 X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757   _Vcvv 3054    |-> cmpt 4434    X. cxp 4922    Fn wfn 5497   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   Catccat 14690   Idccid 14691    |`cat cresc 14809  Subcatcsubc 14810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-er 7187  df-pm 7303  df-ixp 7350  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-hom 14350  df-cco 14351  df-cat 14694  df-cid 14695  df-homf 14696  df-ssc 14811  df-resc 14812  df-subc 14813
This theorem is referenced by:  subsubc  14851  funcres  14894  funcres2b  14895
  Copyright terms: Public domain W3C validator