Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subccatid Structured version   Unicode version

Theorem subccatid 14876
 Description: A subcategory is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
subccat.1 cat
subccat.j Subcat
subccatid.1
subccatid.2
Assertion
Ref Expression
subccatid
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem subccatid
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subccat.1 . . 3 cat
2 eqid 2454 . . 3
3 subccat.j . . . 4 Subcat
4 subcrcl 14849 . . . 4 Subcat
53, 4syl 16 . . 3
6 subccatid.1 . . 3
73, 6, 2subcss1 14872 . . 3
81, 2, 5, 6, 7rescbas 14862 . 2
91, 2, 5, 6, 7reschom 14863 . 2
10 eqid 2454 . . 3 comp comp
111, 2, 5, 6, 7, 10rescco 14865 . 2 comp comp
12 ovex 6226 . . . 4 cat
131, 12eqeltri 2538 . . 3
1413a1i 11 . 2
15 biid 236 . 2
163adantr 465 . . 3 Subcat
176adantr 465 . . 3
18 simpr 461 . . 3
19 subccatid.2 . . 3
2016, 17, 18, 19subcidcl 14874 . 2
21 eqid 2454 . . 3
225adantr 465 . . 3
237adantr 465 . . . 4
24 simpr1l 1045 . . . 4
2523, 24sseldd 3466 . . 3
26 simpr1r 1046 . . . 4
2723, 26sseldd 3466 . . 3
283adantr 465 . . . . 5 Subcat
296adantr 465 . . . . 5
3028, 29, 21, 24, 26subcss2 14873 . . . 4
31 simpr31 1078 . . . 4
3230, 31sseldd 3466 . . 3
332, 21, 19, 22, 25, 10, 27, 32catlid 14741 . 2 comp
34 simpr2l 1047 . . . 4
3523, 34sseldd 3466 . . 3
3628, 29, 21, 26, 34subcss2 14873 . . . 4
37 simpr32 1079 . . . 4
3836, 37sseldd 3466 . . 3
392, 21, 19, 22, 27, 10, 35, 38catrid 14742 . 2 comp
4028, 29, 24, 10, 26, 34, 31, 37subccocl 14875 . 2 comp
41 simpr2r 1048 . . . 4
4223, 41sseldd 3466 . . 3
4328, 29, 21, 34, 41subcss2 14873 . . . 4
44 simpr33 1080 . . . 4
4543, 44sseldd 3466 . . 3
462, 21, 10, 22, 25, 27, 35, 32, 38, 42, 45catass 14744 . 2 comp comp comp comp
478, 9, 11, 14, 15, 20, 33, 39, 40, 46iscatd2 14739 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758  cvv 3078   wss 3437   cmpt 4459   cxp 4947   wfn 5522  cfv 5527  (class class class)co 6201  cbs 14293   chom 14369  compcco 14370  ccat 14722  ccid 14723   cat cresc 14841  Subcatcsubc 14842 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-pm 7328  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-hom 14382  df-cco 14383  df-cat 14726  df-cid 14727  df-homf 14728  df-ssc 14843  df-resc 14844  df-subc 14845 This theorem is referenced by:  subcid  14877  subccat  14878
 Copyright terms: Public domain W3C validator