Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subccatid Structured version   Unicode version

Theorem subccatid 15261
 Description: A subcategory is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
subccat.1 cat
subccat.j Subcat
subccatid.1
subccatid.2
Assertion
Ref Expression
subccatid
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem subccatid
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subccat.1 . . 3 cat
2 eqid 2457 . . 3
3 subccat.j . . . 4 Subcat
4 subcrcl 15231 . . . 4 Subcat
53, 4syl 16 . . 3
6 subccatid.1 . . 3
73, 6, 2subcss1 15257 . . 3
81, 2, 5, 6, 7rescbas 15244 . 2
91, 2, 5, 6, 7reschom 15245 . 2
10 eqid 2457 . . 3 comp comp
111, 2, 5, 6, 7, 10rescco 15247 . 2 comp comp
12 ovex 6324 . . . 4 cat
131, 12eqeltri 2541 . . 3
1413a1i 11 . 2
15 biid 236 . 2
163adantr 465 . . 3 Subcat
18 simpr 461 . . 3
19 subccatid.2 . . 3
2016, 17, 18, 19subcidcl 15259 . 2
21 eqid 2457 . . 3
237adantr 465 . . . 4
24 simpr1l 1053 . . . 4
2523, 24sseldd 3500 . . 3
26 simpr1r 1054 . . . 4
2723, 26sseldd 3500 . . 3
283adantr 465 . . . . 5 Subcat
296adantr 465 . . . . 5
3028, 29, 21, 24, 26subcss2 15258 . . . 4
31 simpr31 1086 . . . 4
3230, 31sseldd 3500 . . 3
332, 21, 19, 22, 25, 10, 27, 32catlid 15099 . 2 comp
34 simpr2l 1055 . . . 4
3523, 34sseldd 3500 . . 3
3628, 29, 21, 26, 34subcss2 15258 . . . 4
37 simpr32 1087 . . . 4
3836, 37sseldd 3500 . . 3
392, 21, 19, 22, 27, 10, 35, 38catrid 15100 . 2 comp
4028, 29, 24, 10, 26, 34, 31, 37subccocl 15260 . 2 comp
41 simpr2r 1056 . . . 4
4223, 41sseldd 3500 . . 3
4328, 29, 21, 34, 41subcss2 15258 . . . 4
44 simpr33 1088 . . . 4
4543, 44sseldd 3500 . . 3
462, 21, 10, 22, 25, 27, 35, 32, 38, 42, 45catass 15102 . 2 comp comp comp comp
478, 9, 11, 14, 15, 20, 33, 39, 40, 46iscatd2 15097 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  cvv 3109   wss 3471   cmpt 4515   cxp 5006   wfn 5589  cfv 5594  (class class class)co 6296  cbs 14643   chom 14722  compcco 14723  ccat 15080  ccid 15081   cat cresc 15223  Subcatcsubc 15224 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-hom 14735  df-cco 14736  df-cat 15084  df-cid 15085  df-homf 15086  df-ssc 15225  df-resc 15226  df-subc 15227 This theorem is referenced by:  subcid  15262  subccat  15263
 Copyright terms: Public domain W3C validator