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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > subbascn | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The continuity predicate when the range is given by a subbasis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
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subbascn.1 |
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subbascn.2 |
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subbascn.3 |
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subbascn.4 |
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Ref | Expression |
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subbascn |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | subbascn.1 |
. . 3
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2 | subbascn.3 |
. . 3
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3 | subbascn.4 |
. . 3
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4 | 1, 2, 3 | tgcn 20261 |
. 2
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5 | subbascn.2 |
. . . . . 6
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6 | 5 | adantr 467 |
. . . . 5
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7 | ssfii 7930 |
. . . . 5
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8 | ssralv 3492 |
. . . . 5
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9 | 6, 7, 8 | 3syl 18 |
. . . 4
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10 | vex 3047 |
. . . . . . . . 9
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11 | elfi 7924 |
. . . . . . . . 9
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12 | 10, 6, 11 | sylancr 668 |
. . . . . . . 8
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13 | simpr2 1014 |
. . . . . . . . . . . . 13
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14 | 13 | imaeq2d 5167 |
. . . . . . . . . . . 12
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15 | ffun 5729 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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16 | 15 | ad2antlr 732 |
. . . . . . . . . . . . 13
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17 | 13, 10 | syl6eqelr 2537 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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18 | intex 4558 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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19 | 17, 18 | sylibr 216 |
. . . . . . . . . . . . 13
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20 | intpreima 6009 |
. . . . . . . . . . . . 13
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21 | 16, 19, 20 | syl2anc 666 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | 14, 21 | eqtrd 2484 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | topontop 19934 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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24 | 1, 23 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
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25 | 24 | ad2antrr 731 |
. . . . . . . . . . . 12
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26 | inss2 3652 |
. . . . . . . . . . . . 13
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27 | simpr1 1013 |
. . . . . . . . . . . . 13
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28 | 26, 27 | sseldi 3429 |
. . . . . . . . . . . 12
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29 | inss1 3651 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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30 | 29, 27 | sseldi 3429 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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31 | 30 | elpwid 3960 |
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32 | simpr3 1015 |
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33 | ssralv 3492 |
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34 | 31, 32, 33 | sylc 62 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | iinopn 19925 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 25, 28, 19, 34, 35 | syl13anc 1269 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 22, 36 | eqeltrd 2528 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 37 | 3exp2 1226 |
. . . . . . . . 9
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39 | 38 | rexlimdv 2876 |
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40 | 12, 39 | sylbid 219 |
. . . . . . 7
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41 | 40 | com23 81 |
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42 | 41 | ralrimdv 2803 |
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43 | imaeq2 5163 |
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44 | 43 | eleq1d 2512 |
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45 | 44 | cbvralv 3018 |
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46 | 42, 45 | syl6ibr 231 |
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47 | 9, 46 | impbid 194 |
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48 | 47 | pm5.32da 646 |
. 2
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49 | 4, 48 | bitrd 257 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1668 ax-4 1681 ax-5 1757 ax-6 1804 ax-7 1850 ax-8 1888 ax-9 1895 ax-10 1914 ax-11 1919 ax-12 1932 ax-13 2090 ax-ext 2430 ax-sep 4524 ax-nul 4533 ax-pow 4580 ax-pr 4638 ax-un 6580 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 985 df-3an 986 df-tru 1446 df-ex 1663 df-nf 1667 df-sb 1797 df-eu 2302 df-mo 2303 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2580 df-ne 2623 df-ral 2741 df-rex 2742 df-reu 2743 df-rab 2745 df-v 3046 df-sbc 3267 df-csb 3363 df-dif 3406 df-un 3408 df-in 3410 df-ss 3417 df-pss 3419 df-nul 3731 df-if 3881 df-pw 3952 df-sn 3968 df-pr 3970 df-tp 3972 df-op 3974 df-uni 4198 df-int 4234 df-iun 4279 df-iin 4280 df-br 4402 df-opab 4461 df-mpt 4462 df-tr 4497 df-eprel 4744 df-id 4748 df-po 4754 df-so 4755 df-fr 4792 df-we 4794 df-xp 4839 df-rel 4840 df-cnv 4841 df-co 4842 df-dm 4843 df-rn 4844 df-res 4845 df-ima 4846 df-pred 5379 df-ord 5425 df-on 5426 df-lim 5427 df-suc 5428 df-iota 5545 df-fun 5583 df-fn 5584 df-f 5585 df-f1 5586 df-fo 5587 df-f1o 5588 df-fv 5589 df-ov 6291 df-oprab 6292 df-mpt2 6293 df-om 6690 df-1st 6790 df-2nd 6791 df-wrecs 7025 df-recs 7087 df-rdg 7125 df-1o 7179 df-oadd 7183 df-er 7360 df-map 7471 df-en 7567 df-dom 7568 df-fin 7570 df-fi 7922 df-topgen 15335 df-top 19914 df-bases 19915 df-topon 19916 df-cn 20236 |
This theorem is referenced by: xkoccn 20627 ptrescn 20647 xkoco1cn 20665 xkoco2cn 20666 xkococn 20668 xkoinjcn 20695 ordthmeolem 20809 |
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