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Theorem subbascn 18993
Description: The continuity predicate when the range is given by a subbasis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subbascn.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
subbascn.2  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
subbascn.3  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  ( fi `  B
) ) )
subbascn.4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
Assertion
Ref Expression
subbascn  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
Distinct variable groups:    y, B    y, F    y, J    y, X    y, Y    y, K
Allowed substitution hints:    ph( y)    V( y)

Proof of Theorem subbascn
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subbascn.1 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 subbascn.3 . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  ( fi `  B
) ) )
3 subbascn.4 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
41, 2, 3tgcn 18991 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( fi `  B
) ( `' F " y )  e.  J
) ) )
5 subbascn.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  B  e.  V )
7 ssfii 7783 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( fi `  B
) )
8 ssralv 3527 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ( fi `  B )  ->  ( A. y  e.  ( fi `  B ) ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
96, 7, 83syl 20 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  ( fi `  B ) ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
10 vex 3081 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
11 elfi 7777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( x  e.  ( fi `  B )  <->  E. z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
x  =  |^| z
) )
1210, 6, 11sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( fi
`  B )  <->  E. z  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) x  =  |^| z ) )
13 simpr2 995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  x  =  |^| z )
1413imaeq2d 5280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F "
|^| z ) )
15 ffun 5672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
1615ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  Fun  F )
1713, 10syl6eqelr 2551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  |^| z  e.  _V )
18 intex 4559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =/=  (/)  <->  |^| z  e.  _V )
1917, 18sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  z  =/=  (/) )
20 intpreima 5946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  z  =/=  (/) )  ->  ( `' F " |^| z
)  =  |^|_ y  e.  z  ( `' F " y ) )
2116, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  ( `' F " |^| z
)  =  |^|_ y  e.  z  ( `' F " y ) )
2214, 21eqtrd 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  ( `' F " x )  =  |^|_ y  e.  z  ( `' F "
y ) )
23 topontop 18666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
241, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  J  e.  Top )
26 inss2 3682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P B  i^i  Fin )  C_ 
Fin
27 simpr1 994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  z  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
2826, 27sseldi 3465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  z  e.  Fin )
29 inss1 3681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P B  i^i  Fin )  C_ 
~P B
3029, 27sseldi 3465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  z  e.  ~P B )
3130elpwid 3981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  z  C_  B )
32 simpr3 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J )
33 ssralv 3527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z 
C_  B  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J ) )
3431, 32, 33sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J )
35 iinopn 18650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( z  e.  Fin  /\  z  =/=  (/)  /\  A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  |^|_ y  e.  z  ( `' F "
y )  e.  J
)
3625, 28, 19, 34, 35syl13anc 1221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  |^|_ y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J )
3722, 36eqeltrd 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  ( `' F " x )  e.  J )
38373exp2 1206 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  (
z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  ( x  =  |^| z  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F " x )  e.  J ) ) ) )
3938rexlimdv 2946 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( E. z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
x  =  |^| z  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F "
x )  e.  J
) ) )
4012, 39sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( fi
`  B )  -> 
( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F "
x )  e.  J
) ) )
4140com23 78 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  (
x  e.  ( fi
`  B )  -> 
( `' F "
x )  e.  J
) ) )
4241ralrimdv 2911 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. x  e.  ( fi `  B
) ( `' F " x )  e.  J
) )
43 imaeq2 5276 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( `' F " y )  =  ( `' F " x ) )
4443eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( `' F "
y )  e.  J  <->  ( `' F " x )  e.  J ) )
4544cbvralv 3053 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  ( fi `  B ) ( `' F " y )  e.  J  <->  A. x  e.  ( fi `  B
) ( `' F " x )  e.  J
)
4642, 45syl6ibr 227 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  ( fi `  B
) ( `' F " y )  e.  J
) )
479, 46impbid 191 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  ( fi `  B ) ( `' F " y )  e.  J  <->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
4847pm5.32da 641 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  ( fi `  B
) ( `' F " y )  e.  J
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
494, 48bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078    i^i cin 3438    C_ wss 3439   (/)c0 3748   ~Pcpw 3971   |^|cint 4239   |^|_ciin 4283   `'ccnv 4950   "cima 4954   Fun wfun 5523   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Fincfn 7423   ficfi 7774   topGenctg 14498   Topctop 18633  TopOnctopon 18634    Cn ccn 18963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-fin 7427  df-fi 7775  df-topgen 14504  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-cn 18966
This theorem is referenced by:  xkoccn  19327  ptrescn  19347  xkoco1cn  19365  xkoco2cn  19366  xkococn  19368  xkoinjcn  19395  ordthmeolem  19509
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