MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subbascn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem subbascn 20263
Description: The continuity predicate when the range is given by a subbasis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subbascn.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
subbascn.2  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
subbascn.3  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  ( fi `  B
) ) )
subbascn.4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
Assertion
Ref Expression
subbascn  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
Distinct variable groups:    y, B    y, F    y, J    y, X    y, Y    y, K
Allowed substitution hints:    ph( y)    V( y)

Proof of Theorem subbascn
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subbascn.1 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 subbascn.3 . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  ( fi `  B
) ) )
3 subbascn.4 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
41, 2, 3tgcn 20261 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( fi `  B
) ( `' F " y )  e.  J
) ) )
5 subbascn.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
65adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  B  e.  V )
7 ssfii 7930 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( fi `  B
) )
8 ssralv 3492 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ( fi `  B )  ->  ( A. y  e.  ( fi `  B ) ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
96, 7, 83syl 18 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  ( fi `  B ) ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
10 vex 3047 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
11 elfi 7924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( x  e.  ( fi `  B )  <->  E. z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
x  =  |^| z
) )
1210, 6, 11sylancr 668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( fi
`  B )  <->  E. z  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) x  =  |^| z ) )
13 simpr2 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  x  =  |^| z )
1413imaeq2d 5167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F "
|^| z ) )
15 ffun 5729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
1615ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  Fun  F )
1713, 10syl6eqelr 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  |^| z  e.  _V )
18 intex 4558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =/=  (/)  <->  |^| z  e.  _V )
1917, 18sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  z  =/=  (/) )
20 intpreima 6009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  z  =/=  (/) )  ->  ( `' F " |^| z
)  =  |^|_ y  e.  z  ( `' F " y ) )
2116, 19, 20syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  ( `' F " |^| z
)  =  |^|_ y  e.  z  ( `' F " y ) )
2214, 21eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  ( `' F " x )  =  |^|_ y  e.  z  ( `' F "
y ) )
23 topontop 19934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
241, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
2524ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  J  e.  Top )
26 inss2 3652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P B  i^i  Fin )  C_ 
Fin
27 simpr1 1013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  z  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
2826, 27sseldi 3429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  z  e.  Fin )
29 inss1 3651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P B  i^i  Fin )  C_ 
~P B
3029, 27sseldi 3429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  z  e.  ~P B )
3130elpwid 3960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  z  C_  B )
32 simpr3 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J )
33 ssralv 3492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z 
C_  B  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J ) )
3431, 32, 33sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J )
35 iinopn 19925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( z  e.  Fin  /\  z  =/=  (/)  /\  A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  |^|_ y  e.  z  ( `' F "
y )  e.  J
)
3625, 28, 19, 34, 35syl13anc 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  |^|_ y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J )
3722, 36eqeltrd 2528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  ( `' F " x )  e.  J )
38373exp2 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  (
z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  ( x  =  |^| z  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F " x )  e.  J ) ) ) )
3938rexlimdv 2876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( E. z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
x  =  |^| z  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F "
x )  e.  J
) ) )
4012, 39sylbid 219 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( fi
`  B )  -> 
( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F "
x )  e.  J
) ) )
4140com23 81 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  (
x  e.  ( fi
`  B )  -> 
( `' F "
x )  e.  J
) ) )
4241ralrimdv 2803 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. x  e.  ( fi `  B
) ( `' F " x )  e.  J
) )
43 imaeq2 5163 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( `' F " y )  =  ( `' F " x ) )
4443eleq1d 2512 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( `' F "
y )  e.  J  <->  ( `' F " x )  e.  J ) )
4544cbvralv 3018 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  ( fi `  B ) ( `' F " y )  e.  J  <->  A. x  e.  ( fi `  B
) ( `' F " x )  e.  J
)
4642, 45syl6ibr 231 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  ( fi `  B
) ( `' F " y )  e.  J
) )
479, 46impbid 194 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  ( fi `  B ) ( `' F " y )  e.  J  <->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
4847pm5.32da 646 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  ( fi `  B
) ( `' F " y )  e.  J
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
494, 48bitrd 257 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   |^|cint 4233   |^|_ciin 4278   `'ccnv 4832   "cima 4836   Fun wfun 5575   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   ficfi 7921   topGenctg 15329   Topctop 19910  TopOnctopon 19911    Cn ccn 20233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-fin 7570  df-fi 7922  df-topgen 15335  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cn 20236
This theorem is referenced by:  xkoccn  20627  ptrescn  20647  xkoco1cn  20665  xkoco2cn  20666  xkococn  20668  xkoinjcn  20695  ordthmeolem  20809
  Copyright terms: Public domain W3C validator