Theorem subbascn 18833

Description: The continuity predicate when the range is given by a subbasis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subbascn.1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
subbascn.2	|- ( ph -> B e. V )
subbascn.3	|- ( ph -> K = ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
subbascn.4	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )

Assertion

Ref	Expression
subbascn	|- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )

Distinct variable groups:   y, B   y, F   y, J   y, X   y, Y   y, K

Allowed substitution hints:   ph( y)   V( y)

Proof of Theorem subbascn

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subbascn.1	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		subbascn.3	. . 3 |- ( ph -> K = ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
3		subbascn.4	. . 3 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
4	1, 2, 3	tgcn 18831	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
5		subbascn.2	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. V )
6	5	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> B e. V )
7		ssfii 7661	. . . . 5 |- ( B e. V -> B C_ ( fi ` B ) )
8		ssralv 3411	. . . . 5 |- ( B C_ ( fi ` B ) -> ( A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
9	6, 7, 8	3syl 20	. . . 4 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
10		vex 2970	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
11		elfi 7655	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ B e. V ) -> ( x e. ( fi ` B ) <-> E. z e. ( ~P B i^i Fin ) x = |^| z ) )
12	10, 6, 11	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( x e. ( fi ` B ) <-> E. z e. ( ~P B i^i Fin ) x = |^| z ) )
13		simpr2 995	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> x = |^| z )
14	13	imaeq2d 5164	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( `' F " x ) = ( `' F " |^| z ) )
15		ffun 5556	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
16	15	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> Fun F )
17	13, 10	syl6eqelr 2527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> |^| z e. _V )
18		intex 4443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z =/= (/) <-> |^| z e. _V )
19	17, 18	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z =/= (/) )
20		intpreima 5829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ z =/= (/) ) -> ( `' F " |^| z ) = |^|_ y e. z ( `' F " y ) )
21	16, 19, 20	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( `' F " |^| z ) = |^|_ y e. z ( `' F " y ) )
22	14, 21	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( `' F " x ) = |^|_ y e. z ( `' F " y ) )
23		topontop 18506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
24	1, 23	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. Top )
25	24	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> J e. Top )
26		inss2 3566	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P B i^i Fin ) C_ Fin
27		simpr1 994	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z e. ( ~P B i^i Fin ) )
28	26, 27	sseldi 3349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z e. Fin )
29		inss1 3565	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ~P B i^i Fin ) C_ ~P B
30	29, 27	sseldi 3349	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z e. ~P B )
31	30	elpwid 3865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z C_ B )
32		simpr3 996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J )
33		ssralv 3411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z C_ B -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
34	31, 32, 33	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> A. y e. z ( `' F " y ) e. J )
35		iinopn 18490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( z e. Fin /\ z =/= (/) /\ A. y e. z ( `' F " y ) e. J ) ) -> |^|_ y e. z ( `' F " y ) e. J )
36	25, 28, 19, 34, 35	syl13anc 1220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> |^|_ y e. z ( `' F " y ) e. J )
37	22, 36	eqeltrd 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( `' F " x ) e. J )
38	37	3exp2 1205	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( z e. ( ~P B i^i Fin ) -> ( x = |^| z -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) ) )
39	38	rexlimdv 2835	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( E. z e. ( ~P B i^i Fin ) x = |^| z -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
40	12, 39	sylbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( x e. ( fi ` B ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
41	40	com23 78	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( x e. ( fi ` B ) -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
42	41	ralrimdv 2800	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. x e. ( fi ` B ) ( `' F " x ) e. J ) )
43		imaeq2 5160	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( `' F " y ) = ( `' F " x ) )
44	43	eleq1d 2504	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( ( `' F " y ) e. J <-> ( `' F " x ) e. J ) )
45	44	cbvralv 2942	. . . . 5 |- ( A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J <-> A. x e. ( fi ` B ) ( `' F " x ) e. J )
46	42, 45	syl6ibr 227	. . . 4 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J ) )
47	9, 46	impbid 191	. . 3 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J <-> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
48	47	pm5.32da 641	. 2 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )
49	4, 48	bitrd 253	1 |- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   _Vcvv 2967   i^i cin 3322   C_ wss 3323   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   |^|cint 4123   |^|_ciin 4167   `'ccnv 4834   "cima 4838   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   ficfi 7652   topGenctg 14368   Topctop 18473  TopOnctopon 18474   Cn ccn 18803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-fin 7306  df-fi 7653  df-topgen 14374  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-cn 18806

This theorem is referenced by:  xkoccn  19167  ptrescn  19187  xkoco1cn  19205  xkoco2cn  19206  xkococn  19208  xkoinjcn  19235  ordthmeolem  19349