Theorem subbascn 19882

Description: The continuity predicate when the range is given by a subbasis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subbascn.1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
subbascn.2	|- ( ph -> B e. V )
subbascn.3	|- ( ph -> K = ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
subbascn.4	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )

Assertion

Ref	Expression
subbascn	|- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )

Distinct variable groups:   y, B   y, F   y, J   y, X   y, Y   y, K

Allowed substitution hints:   ph( y)   V( y)

Proof of Theorem subbascn

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subbascn.1	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		subbascn.3	. . 3 |- ( ph -> K = ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
3		subbascn.4	. . 3 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
4	1, 2, 3	tgcn 19880	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
5		subbascn.2	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. V )
6	5	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> B e. V )
7		ssfii 7897	. . . . 5 |- ( B e. V -> B C_ ( fi ` B ) )
8		ssralv 3560	. . . . 5 |- ( B C_ ( fi ` B ) -> ( A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
9	6, 7, 8	3syl 20	. . . 4 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
10		vex 3112	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
11		elfi 7891	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ B e. V ) -> ( x e. ( fi ` B ) <-> E. z e. ( ~P B i^i Fin ) x = |^| z ) )
12	10, 6, 11	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( x e. ( fi ` B ) <-> E. z e. ( ~P B i^i Fin ) x = |^| z ) )
13		simpr2 1003	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> x = |^| z )
14	13	imaeq2d 5347	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( `' F " x ) = ( `' F " |^| z ) )
15		ffun 5739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
16	15	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> Fun F )
17	13, 10	syl6eqelr 2554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> |^| z e. _V )
18		intex 4612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z =/= (/) <-> |^| z e. _V )
19	17, 18	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z =/= (/) )
20		intpreima 6019	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ z =/= (/) ) -> ( `' F " |^| z ) = |^|_ y e. z ( `' F " y ) )
21	16, 19, 20	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( `' F " |^| z ) = |^|_ y e. z ( `' F " y ) )
22	14, 21	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( `' F " x ) = |^|_ y e. z ( `' F " y ) )
23		topontop 19554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
24	1, 23	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. Top )
25	24	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> J e. Top )
26		inss2 3715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P B i^i Fin ) C_ Fin
27		simpr1 1002	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z e. ( ~P B i^i Fin ) )
28	26, 27	sseldi 3497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z e. Fin )
29		inss1 3714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ~P B i^i Fin ) C_ ~P B
30	29, 27	sseldi 3497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z e. ~P B )
31	30	elpwid 4025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z C_ B )
32		simpr3 1004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J )
33		ssralv 3560	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z C_ B -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
34	31, 32, 33	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> A. y e. z ( `' F " y ) e. J )
35		iinopn 19538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( z e. Fin /\ z =/= (/) /\ A. y e. z ( `' F " y ) e. J ) ) -> |^|_ y e. z ( `' F " y ) e. J )
36	25, 28, 19, 34, 35	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> |^|_ y e. z ( `' F " y ) e. J )
37	22, 36	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( `' F " x ) e. J )
38	37	3exp2 1214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( z e. ( ~P B i^i Fin ) -> ( x = |^| z -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) ) )
39	38	rexlimdv 2947	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( E. z e. ( ~P B i^i Fin ) x = |^| z -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
40	12, 39	sylbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( x e. ( fi ` B ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
41	40	com23 78	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( x e. ( fi ` B ) -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
42	41	ralrimdv 2873	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. x e. ( fi ` B ) ( `' F " x ) e. J ) )
43		imaeq2 5343	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( `' F " y ) = ( `' F " x ) )
44	43	eleq1d 2526	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( ( `' F " y ) e. J <-> ( `' F " x ) e. J ) )
45	44	cbvralv 3084	. . . . 5 |- ( A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J <-> A. x e. ( fi ` B ) ( `' F " x ) e. J )
46	42, 45	syl6ibr 227	. . . 4 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J ) )
47	9, 46	impbid 191	. . 3 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J <-> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
48	47	pm5.32da 641	. 2 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )
49	4, 48	bitrd 253	1 |- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   |^|cint 4288   |^|_ciin 4333   `'ccnv 5007   "cima 5011   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   ficfi 7888   topGenctg 14855   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   Cn ccn 19852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-fin 7539  df-fi 7889  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cn 19855

This theorem is referenced by:  xkoccn  20246  ptrescn  20266  xkoco1cn  20284  xkoco2cn  20285  xkococn  20287  xkoinjcn  20314  ordthmeolem  20428