Theorem subbascn 20347

Description: The continuity predicate when the range is given by a subbasis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subbascn.1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
subbascn.2	|- ( ph -> B e. V )
subbascn.3	|- ( ph -> K = ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
subbascn.4	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )

Assertion

Ref	Expression
subbascn	|- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )

Distinct variable groups:   y, B   y, F   y, J   y, X   y, Y   y, K

Allowed substitution hints:   ph( y)   V( y)

Proof of Theorem subbascn

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subbascn.1	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		subbascn.3	. . 3 |- ( ph -> K = ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
3		subbascn.4	. . 3 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
4	1, 2, 3	tgcn 20345	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
5		subbascn.2	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. V )
6	5	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> B e. V )
7		ssfii 7951	. . . . 5 |- ( B e. V -> B C_ ( fi ` B ) )
8		ssralv 3479	. . . . 5 |- ( B C_ ( fi ` B ) -> ( A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . 4 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
10		vex 3034	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
11		elfi 7945	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ B e. V ) -> ( x e. ( fi ` B ) <-> E. z e. ( ~P B i^i Fin ) x = |^| z ) )
12	10, 6, 11	sylancr 676	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( x e. ( fi ` B ) <-> E. z e. ( ~P B i^i Fin ) x = |^| z ) )
13		simpr2 1037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> x = |^| z )
14	13	imaeq2d 5174	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( `' F " x ) = ( `' F " |^| z ) )
15		ffun 5742	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
16	15	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> Fun F )
17	13, 10	syl6eqelr 2558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> |^| z e. _V )
18		intex 4557	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z =/= (/) <-> |^| z e. _V )
19	17, 18	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z =/= (/) )
20		intpreima 6026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ z =/= (/) ) -> ( `' F " |^| z ) = |^|_ y e. z ( `' F " y ) )
21	16, 19, 20	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( `' F " |^| z ) = |^|_ y e. z ( `' F " y ) )
22	14, 21	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( `' F " x ) = |^|_ y e. z ( `' F " y ) )
23		topontop 20018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
24	1, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. Top )
25	24	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> J e. Top )
26		inss2 3644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P B i^i Fin ) C_ Fin
27		simpr1 1036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z e. ( ~P B i^i Fin ) )
28	26, 27	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z e. Fin )
29		inss1 3643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ~P B i^i Fin ) C_ ~P B
30	29, 27	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z e. ~P B )
31	30	elpwid 3952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z C_ B )
32		simpr3 1038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J )
33		ssralv 3479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z C_ B -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
34	31, 32, 33	sylc 61	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> A. y e. z ( `' F " y ) e. J )
35		iinopn 20009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( z e. Fin /\ z =/= (/) /\ A. y e. z ( `' F " y ) e. J ) ) -> |^|_ y e. z ( `' F " y ) e. J )
36	25, 28, 19, 34, 35	syl13anc 1294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> |^|_ y e. z ( `' F " y ) e. J )
37	22, 36	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( `' F " x ) e. J )
38	37	3exp2 1251	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( z e. ( ~P B i^i Fin ) -> ( x = |^| z -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) ) )
39	38	rexlimdv 2870	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( E. z e. ( ~P B i^i Fin ) x = |^| z -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
40	12, 39	sylbid 223	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( x e. ( fi ` B ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
41	40	com23 80	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( x e. ( fi ` B ) -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
42	41	ralrimdv 2811	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. x e. ( fi ` B ) ( `' F " x ) e. J ) )
43		imaeq2 5170	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( `' F " y ) = ( `' F " x ) )
44	43	eleq1d 2533	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( ( `' F " y ) e. J <-> ( `' F " x ) e. J ) )
45	44	cbvralv 3005	. . . . 5 |- ( A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J <-> A. x e. ( fi ` B ) ( `' F " x ) e. J )
46	42, 45	syl6ibr 235	. . . 4 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J ) )
47	9, 46	impbid 195	. . 3 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J <-> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
48	47	pm5.32da 653	. 2 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )
49	4, 48	bitrd 261	1 |- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   |^|cint 4226   |^|_ciin 4270   `'ccnv 4838   "cima 4842   Fun wfun 5583   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   ficfi 7942   topGenctg 15414   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   Cn ccn 20317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-fi 7943  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320

This theorem is referenced by:  xkoccn  20711  ptrescn  20731  xkoco1cn  20749  xkoco2cn  20750  xkococn  20752  xkoinjcn  20779  ordthmeolem  20893