Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subbascn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem subbascn 20263
 Description: The continuity predicate when the range is given by a subbasis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subbascn.1 TopOn
subbascn.2
subbascn.3
subbascn.4 TopOn
Assertion
Ref Expression
subbascn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem subbascn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subbascn.1 . . 3 TopOn
2 subbascn.3 . . 3
3 subbascn.4 . . 3 TopOn
41, 2, 3tgcn 20261 . 2
5 subbascn.2 . . . . . 6
65adantr 467 . . . . 5
7 ssfii 7930 . . . . 5
8 ssralv 3492 . . . . 5
96, 7, 83syl 18 . . . 4
10 vex 3047 . . . . . . . . 9
11 elfi 7924 . . . . . . . . 9
1210, 6, 11sylancr 668 . . . . . . . 8
13 simpr2 1014 . . . . . . . . . . . . 13
1413imaeq2d 5167 . . . . . . . . . . . 12
15 ffun 5729 . . . . . . . . . . . . . 14
1615ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . 13
1713, 10syl6eqelr 2537 . . . . . . . . . . . . . 14
18 intex 4558 . . . . . . . . . . . . . 14
1917, 18sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13
20 intpreima 6009 . . . . . . . . . . . . 13
2116, 19, 20syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12
2214, 21eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11
23 topontop 19934 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
241, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
2524ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12
26 inss2 3652 . . . . . . . . . . . . 13
27 simpr1 1013 . . . . . . . . . . . . 13
2826, 27sseldi 3429 . . . . . . . . . . . 12
29 inss1 3651 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029, 27sseldi 3429 . . . . . . . . . . . . . 14
3130elpwid 3960 . . . . . . . . . . . . 13
32 simpr3 1015 . . . . . . . . . . . . 13
33 ssralv 3492 . . . . . . . . . . . . 13
3431, 32, 33sylc 62 . . . . . . . . . . . 12
35 iinopn 19925 . . . . . . . . . . . 12
3625, 28, 19, 34, 35syl13anc 1269 . . . . . . . . . . 11
3722, 36eqeltrd 2528 . . . . . . . . . 10
38373exp2 1226 . . . . . . . . 9
3938rexlimdv 2876 . . . . . . . 8
4012, 39sylbid 219 . . . . . . 7
4140com23 81 . . . . . 6
4241ralrimdv 2803 . . . . 5
43 imaeq2 5163 . . . . . . 7
4443eleq1d 2512 . . . . . 6
4544cbvralv 3018 . . . . 5
4642, 45syl6ibr 231 . . . 4
479, 46impbid 194 . . 3
4847pm5.32da 646 . 2
494, 48bitrd 257 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 984   wceq 1443   wcel 1886   wne 2621  wral 2736  wrex 2737  cvv 3044   cin 3402   wss 3403  c0 3730  cpw 3950  cint 4233  ciin 4278  ccnv 4832  cima 4836   wfun 5575  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6288  cfn 7566  cfi 7921  ctg 15329  ctop 19910  TopOnctopon 19911   ccn 20233 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-fin 7570  df-fi 7922  df-topgen 15335  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cn 20236 This theorem is referenced by:  xkoccn  20627  ptrescn  20647  xkoco1cn  20665  xkoco2cn  20666  xkococn  20668  xkoinjcn  20695  ordthmeolem  20809
 Copyright terms: Public domain W3C validator