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Theorem subbascn 18833
Description: The continuity predicate when the range is given by a subbasis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subbascn.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
subbascn.2  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
subbascn.3  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  ( fi `  B
) ) )
subbascn.4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
Assertion
Ref Expression
subbascn  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
Distinct variable groups:    y, B    y, F    y, J    y, X    y, Y    y, K
Allowed substitution hints:    ph( y)    V( y)

Proof of Theorem subbascn
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subbascn.1 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 subbascn.3 . . 3  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  ( fi `  B
) ) )
3 subbascn.4 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
41, 2, 3tgcn 18831 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  ( fi `  B
) ( `' F " y )  e.  J
) ) )
5 subbascn.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  B  e.  V )
7 ssfii 7661 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( fi `  B
) )
8 ssralv 3411 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ( fi `  B )  ->  ( A. y  e.  ( fi `  B ) ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
96, 7, 83syl 20 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  ( fi `  B ) ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
10 vex 2970 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
11 elfi 7655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( x  e.  ( fi `  B )  <->  E. z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
x  =  |^| z
) )
1210, 6, 11sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( fi
`  B )  <->  E. z  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) x  =  |^| z ) )
13 simpr2 995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  x  =  |^| z )
1413imaeq2d 5164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F "
|^| z ) )
15 ffun 5556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
1615ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  Fun  F )
1713, 10syl6eqelr 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  |^| z  e.  _V )
18 intex 4443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =/=  (/)  <->  |^| z  e.  _V )
1917, 18sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  z  =/=  (/) )
20 intpreima 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  z  =/=  (/) )  ->  ( `' F " |^| z
)  =  |^|_ y  e.  z  ( `' F " y ) )
2116, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  ( `' F " |^| z
)  =  |^|_ y  e.  z  ( `' F " y ) )
2214, 21eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  ( `' F " x )  =  |^|_ y  e.  z  ( `' F "
y ) )
23 topontop 18506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
241, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  J  e.  Top )
26 inss2 3566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P B  i^i  Fin )  C_ 
Fin
27 simpr1 994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  z  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
2826, 27sseldi 3349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  z  e.  Fin )
29 inss1 3565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P B  i^i  Fin )  C_ 
~P B
3029, 27sseldi 3349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  z  e.  ~P B )
3130elpwid 3865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  z  C_  B )
32 simpr3 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J )
33 ssralv 3411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z 
C_  B  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J ) )
3431, 32, 33sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J )
35 iinopn 18490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( z  e.  Fin  /\  z  =/=  (/)  /\  A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J ) )  ->  |^|_ y  e.  z  ( `' F "
y )  e.  J
)
3625, 28, 19, 34, 35syl13anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  |^|_ y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J )
3722, 36eqeltrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  x  =  |^| z  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) )  ->  ( `' F " x )  e.  J )
38373exp2 1205 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  (
z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  ->  ( x  =  |^| z  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F " x )  e.  J ) ) ) )
3938rexlimdv 2835 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( E. z  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
x  =  |^| z  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F "
x )  e.  J
) ) )
4012, 39sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( fi
`  B )  -> 
( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F "
x )  e.  J
) ) )
4140com23 78 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  (
x  e.  ( fi
`  B )  -> 
( `' F "
x )  e.  J
) ) )
4241ralrimdv 2800 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. x  e.  ( fi `  B
) ( `' F " x )  e.  J
) )
43 imaeq2 5160 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( `' F " y )  =  ( `' F " x ) )
4443eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( `' F "
y )  e.  J  <->  ( `' F " x )  e.  J ) )
4544cbvralv 2942 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  ( fi `  B ) ( `' F " y )  e.  J  <->  A. x  e.  ( fi `  B
) ( `' F " x )  e.  J
)
4642, 45syl6ibr 227 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  ( fi `  B
) ( `' F " y )  e.  J
) )
479, 46impbid 191 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. y  e.  ( fi `  B ) ( `' F " y )  e.  J  <->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
4847pm5.32da 641 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  ( fi `  B
) ( `' F " y )  e.  J
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
494, 48bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   _Vcvv 2967    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   |^|cint 4123   |^|_ciin 4167   `'ccnv 4834   "cima 4838   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   ficfi 7652   topGenctg 14368   Topctop 18473  TopOnctopon 18474    Cn ccn 18803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-fin 7306  df-fi 7653  df-topgen 14374  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-cn 18806
This theorem is referenced by:  xkoccn  19167  ptrescn  19187  xkoco1cn  19205  xkoco2cn  19206  xkococn  19208  xkoinjcn  19235  ordthmeolem  19349
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