Theorem subbascn 19537

Description: The continuity predicate when the range is given by a subbasis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subbascn.1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
subbascn.2	|- ( ph -> B e. V )
subbascn.3	|- ( ph -> K = ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
subbascn.4	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )

Assertion

Ref	Expression
subbascn	|- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )

Distinct variable groups:   y, B   y, F   y, J   y, X   y, Y   y, K

Allowed substitution hints:   ph( y)   V( y)

Proof of Theorem subbascn

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subbascn.1	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		subbascn.3	. . 3 |- ( ph -> K = ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
3		subbascn.4	. . 3 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
4	1, 2, 3	tgcn 19535	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
5		subbascn.2	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. V )
6	5	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> B e. V )
7		ssfii 7878	. . . . 5 |- ( B e. V -> B C_ ( fi ` B ) )
8		ssralv 3564	. . . . 5 |- ( B C_ ( fi ` B ) -> ( A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
9	6, 7, 8	3syl 20	. . . 4 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
10		vex 3116	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
11		elfi 7872	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ B e. V ) -> ( x e. ( fi ` B ) <-> E. z e. ( ~P B i^i Fin ) x = |^| z ) )
12	10, 6, 11	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( x e. ( fi ` B ) <-> E. z e. ( ~P B i^i Fin ) x = |^| z ) )
13		simpr2 1003	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> x = |^| z )
14	13	imaeq2d 5336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( `' F " x ) = ( `' F " |^| z ) )
15		ffun 5732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
16	15	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> Fun F )
17	13, 10	syl6eqelr 2564	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> |^| z e. _V )
18		intex 4603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z =/= (/) <-> |^| z e. _V )
19	17, 18	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z =/= (/) )
20		intpreima 6011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ z =/= (/) ) -> ( `' F " |^| z ) = |^|_ y e. z ( `' F " y ) )
21	16, 19, 20	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( `' F " |^| z ) = |^|_ y e. z ( `' F " y ) )
22	14, 21	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( `' F " x ) = |^|_ y e. z ( `' F " y ) )
23		topontop 19210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
24	1, 23	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. Top )
25	24	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> J e. Top )
26		inss2 3719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P B i^i Fin ) C_ Fin
27		simpr1 1002	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z e. ( ~P B i^i Fin ) )
28	26, 27	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z e. Fin )
29		inss1 3718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ~P B i^i Fin ) C_ ~P B
30	29, 27	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z e. ~P B )
31	30	elpwid 4020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z C_ B )
32		simpr3 1004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J )
33		ssralv 3564	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z C_ B -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
34	31, 32, 33	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> A. y e. z ( `' F " y ) e. J )
35		iinopn 19194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( z e. Fin /\ z =/= (/) /\ A. y e. z ( `' F " y ) e. J ) ) -> |^|_ y e. z ( `' F " y ) e. J )
36	25, 28, 19, 34, 35	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> |^|_ y e. z ( `' F " y ) e. J )
37	22, 36	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( `' F " x ) e. J )
38	37	3exp2 1214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( z e. ( ~P B i^i Fin ) -> ( x = |^| z -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) ) )
39	38	rexlimdv 2953	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( E. z e. ( ~P B i^i Fin ) x = |^| z -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
40	12, 39	sylbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( x e. ( fi ` B ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
41	40	com23 78	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( x e. ( fi ` B ) -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
42	41	ralrimdv 2880	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. x e. ( fi ` B ) ( `' F " x ) e. J ) )
43		imaeq2 5332	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( `' F " y ) = ( `' F " x ) )
44	43	eleq1d 2536	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( ( `' F " y ) e. J <-> ( `' F " x ) e. J ) )
45	44	cbvralv 3088	. . . . 5 |- ( A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J <-> A. x e. ( fi ` B ) ( `' F " x ) e. J )
46	42, 45	syl6ibr 227	. . . 4 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J ) )
47	9, 46	impbid 191	. . 3 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J <-> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
48	47	pm5.32da 641	. 2 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )
49	4, 48	bitrd 253	1 |- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   |^|cint 4282   |^|_ciin 4326   `'ccnv 4998   "cima 5002   Fun wfun 5581   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Fincfn 7516   ficfi 7869   topGenctg 14692   Topctop 19177  TopOnctopon 19178   Cn ccn 19507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-fin 7520  df-fi 7870  df-topgen 14698  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-cn 19510

This theorem is referenced by:  xkoccn  19871  ptrescn  19891  xkoco1cn  19909  xkoco2cn  19910  xkococn  19912  xkoinjcn  19939  ordthmeolem  20053