Theorem subbascn 20263

Description: The continuity predicate when the range is given by a subbasis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subbascn.1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
subbascn.2	|- ( ph -> B e. V )
subbascn.3	|- ( ph -> K = ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
subbascn.4	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )

Assertion

Ref	Expression
subbascn	|- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )

Distinct variable groups:   y, B   y, F   y, J   y, X   y, Y   y, K

Allowed substitution hints:   ph( y)   V( y)

Proof of Theorem subbascn

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subbascn.1	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		subbascn.3	. . 3 |- ( ph -> K = ( topGen ` ( fi ` B ) ) )
3		subbascn.4	. . 3 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
4	1, 2, 3	tgcn 20261	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J ) ) )
5		subbascn.2	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. V )
6	5	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> B e. V )
7		ssfii 7930	. . . . 5 |- ( B e. V -> B C_ ( fi ` B ) )
8		ssralv 3492	. . . . 5 |- ( B C_ ( fi ` B ) -> ( A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . 4 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
10		vex 3047	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
11		elfi 7924	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ B e. V ) -> ( x e. ( fi ` B ) <-> E. z e. ( ~P B i^i Fin ) x = |^| z ) )
12	10, 6, 11	sylancr 668	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( x e. ( fi ` B ) <-> E. z e. ( ~P B i^i Fin ) x = |^| z ) )
13		simpr2 1014	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> x = |^| z )
14	13	imaeq2d 5167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( `' F " x ) = ( `' F " |^| z ) )
15		ffun 5729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : X --> Y -> Fun F )
16	15	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> Fun F )
17	13, 10	syl6eqelr 2537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> |^| z e. _V )
18		intex 4558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z =/= (/) <-> |^| z e. _V )
19	17, 18	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z =/= (/) )
20		intpreima 6009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun F /\ z =/= (/) ) -> ( `' F " |^| z ) = |^|_ y e. z ( `' F " y ) )
21	16, 19, 20	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( `' F " |^| z ) = |^|_ y e. z ( `' F " y ) )
22	14, 21	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( `' F " x ) = |^|_ y e. z ( `' F " y ) )
23		topontop 19934	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
24	1, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. Top )
25	24	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> J e. Top )
26		inss2 3652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P B i^i Fin ) C_ Fin
27		simpr1 1013	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z e. ( ~P B i^i Fin ) )
28	26, 27	sseldi 3429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z e. Fin )
29		inss1 3651	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ~P B i^i Fin ) C_ ~P B
30	29, 27	sseldi 3429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z e. ~P B )
31	30	elpwid 3960	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> z C_ B )
32		simpr3 1015	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J )
33		ssralv 3492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z C_ B -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
34	31, 32, 33	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> A. y e. z ( `' F " y ) e. J )
35		iinopn 19925	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( z e. Fin /\ z =/= (/) /\ A. y e. z ( `' F " y ) e. J ) ) -> |^|_ y e. z ( `' F " y ) e. J )
36	25, 28, 19, 34, 35	syl13anc 1269	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> |^|_ y e. z ( `' F " y ) e. J )
37	22, 36	eqeltrd 2528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ F : X --> Y ) /\ ( z e. ( ~P B i^i Fin ) /\ x = |^| z /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) -> ( `' F " x ) e. J )
38	37	3exp2 1226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( z e. ( ~P B i^i Fin ) -> ( x = |^| z -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) ) )
39	38	rexlimdv 2876	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( E. z e. ( ~P B i^i Fin ) x = |^| z -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
40	12, 39	sylbid 219	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( x e. ( fi ` B ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
41	40	com23 81	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( x e. ( fi ` B ) -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
42	41	ralrimdv 2803	. . . . 5 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. x e. ( fi ` B ) ( `' F " x ) e. J ) )
43		imaeq2 5163	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( `' F " y ) = ( `' F " x ) )
44	43	eleq1d 2512	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( ( `' F " y ) e. J <-> ( `' F " x ) e. J ) )
45	44	cbvralv 3018	. . . . 5 |- ( A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J <-> A. x e. ( fi ` B ) ( `' F " x ) e. J )
46	42, 45	syl6ibr 231	. . . 4 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J ) )
47	9, 46	impbid 194	. . 3 |- ( ( ph /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J <-> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
48	47	pm5.32da 646	. 2 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. ( fi ` B ) ( `' F " y ) e. J ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )
49	4, 48	bitrd 257	1 |- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044   i^i cin 3402   C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   |^|cint 4233   |^|_ciin 4278   `'ccnv 4832   "cima 4836   Fun wfun 5575   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   ficfi 7921   topGenctg 15329   Topctop 19910  TopOnctopon 19911   Cn ccn 20233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-fin 7570  df-fi 7922  df-topgen 15335  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cn 20236

This theorem is referenced by:  xkoccn  20627  ptrescn  20647  xkoco1cn  20665  xkoco2cn  20666  xkococn  20668  xkoinjcn  20695  ordthmeolem  20809