Theorem subaddd 9841

Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )
subaddd.3	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subaddd	|- ( ph -> ( ( A - B ) = C <-> ( B + C ) = A ) )

Proof of Theorem subaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subaddd.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		subadd 9717	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - B ) = C <-> ( B + C ) = A ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1219	1 |- ( ph -> ( ( A - B ) = C <-> ( B + C ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   = wceq 1370   e. wcel 1758  (class class class)co 6193   CCcc 9384   + caddc 9389   - cmin 9699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-ltxr 9527  df-sub 9701

This theorem is referenced by:  subdi  9882  zneo  10828  flpmodeq  11823  cvgcmpce  13392  sin01bnd  13580  cos01bnd  13581  phiprmpw  13962  fldivp1  14070  pcfac  14072  sylow2a  16231  dveflem  21577  aaliou3lem7  21941  mtest  21995  efiarg  22182  quad2  22360  dcubic  22367  quart  22382  efiatan2  22438  m1lgs  22827  logdivbnd  22931  colinearalglem2  23298  axeuclidlem  23353  ballotlemic  27026  signslema  27100  signsvtn  27122  dmgmaddn0  27146  lgamgulmlem3  27154  subfaclim  27213  bpolysum  28333  mblfinlem3  28571  mblfinlem4  28572  pell1qrge1  29352  rmxluc  29418  itgsinexp  29936