Theorem subaddd 9949

Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )
subaddd.3	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subaddd	|- ( ph -> ( ( A - B ) = C <-> ( B + C ) = A ) )

Proof of Theorem subaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subaddd.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		subadd 9823	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - B ) = C <-> ( B + C ) = A ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1227	1 |- ( ph -> ( ( A - B ) = C <-> ( B + C ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   = wceq 1381   e. wcel 1802  (class class class)co 6277   CCcc 9488   + caddc 9493   - cmin 9805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-ltxr 9631  df-sub 9807

This theorem is referenced by:  subdi  9991  zneo  10946  flpmodeq  11975  cvgcmpce  13606  sin01bnd  13792  cos01bnd  13793  phiprmpw  14178  fldivp1  14288  pcfac  14290  sylow2a  16508  dveflem  22246  aaliou3lem7  22610  mtest  22664  efiarg  22857  quad2  23035  dcubic  23042  quart  23057  efiatan2  23113  m1lgs  23502  logdivbnd  23606  colinearalglem2  24075  axeuclidlem  24130  ballotlemic  28311  signslema  28385  signsvtn  28407  dmgmaddn0  28431  lgamgulmlem3  28439  subfaclim  28498  bpolysum  29783  mblfinlem3  30021  mblfinlem4  30022  pell1qrge1  30774  rmxluc  30840  itgsinexp  31639  fourierdlem19  31793  fourierdlem35  31809  fourierdlem41  31815  fourierdlem51  31825  fourierdlem79  31853