Theorem subaddd 10009

Description: Relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )
subaddd.3	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subaddd	|- ( ph -> ( ( A - B ) = C <-> ( B + C ) = A ) )

Proof of Theorem subaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subaddd.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		subadd 9883	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A - B ) = C <-> ( B + C ) = A ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1269	1 |- ( ph -> ( ( A - B ) = C <-> ( B + C ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   = wceq 1446   e. wcel 1889  (class class class)co 6295   CCcc 9542   + caddc 9547   - cmin 9865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-ltxr 9685  df-sub 9867

This theorem is referenced by:  addid0  10046  subdi  10059  zneo  11025  flpmodeq  12108  cvgcmpce  13890  bpolysum  14118  sin01bnd  14251  cos01bnd  14252  phiprmpw  14736  fldivp1  14854  pcfac  14856  sylow2a  17283  dveflem  22943  aaliou3lem7  23317  mtest  23371  efiarg  23568  quad2  23777  dcubic  23784  quart  23799  efiatan2  23855  dmgmaddn0  23960  lgamgulmlem3  23968  m1lgs  24302  logdivbnd  24406  colinearalglem2  24949  axeuclidlem  25004  ballotlemic  29351  ballotlemicOLD  29389  signslema  29463  signsvtn  29485  subfaclim  29923  mblfinlem3  31991  mblfinlem4  31992  pell1qrge1  35728  rmxluc  35796  itgsinexp  37841  fourierdlem19  37998  fourierdlem35  38015  fourierdlem41  38021  fourierdlem51  38031  fourierdlem79  38059  nnpw2pmod  40498