MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sub32d Structured version   Unicode version

Theorem sub32d 9963
Description: Swap the second and third terms in a double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subaddd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
sub32d  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  -  C
)  =  ( ( A  -  C )  -  B ) )

Proof of Theorem sub32d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subaddd.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 sub32 9854 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  -  C )  =  ( ( A  -  C )  -  B ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  -  C
)  =  ( ( A  -  C )  -  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6285   CCcc 9491    - cmin 9806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-ltxr 9634  df-sub 9808
This theorem is referenced by:  hashfzo  12453  lswccatn0lsw  12573  revccat  12706  repswrevw  12724  isercolllem1  13453  iseralt  13473  prmdiv  14177  fldivp1  14278  efgredleme  16576  dvexp3  22206  dvfsumlem2  22255  isosctrlem2  22978  harmonicbnd4  23165  logfacrlim  23324  logexprlim  23325  lgsquadlem1  23454  rpvmasumlem  23497  dchrisumlem1  23499  mulog2sumlem3  23546  vmalogdivsum  23549  selberg2lem  23560  selberg2  23561  selberg4  23571  brbtwn2  23981  colinearalglem2  23983  colinearalglem4  23985  ipval2  25390  jm3.1lem1  30790  jm3.1lem2  30791  fourierdlem42  31676  fourierdlem89  31723  fourierdlem90  31724  fourierdlem91  31725  sigarperm  31771  bj-bary1lem  33968
  Copyright terms: Public domain W3C validator