Theorem sub2cncf 15886

Description: Subtraction from a constant is a continuous function.

Hypothesis

Ref	Expression
sub2cncf.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (A - x))}

Assertion

Ref	Expression
sub2cncf	|- (A e. CC -> F e. (CC-cn->CC))

Distinct variable group:   x,A,y

Proof of Theorem sub2cncf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 2634	. 2 |- CC C_ CC
2		subcl 6524	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ x e. CC) -> (A - x) e. CC)
3	2	r19.21aiva 2176	. . . 4 |- (A e. CC -> A.x e. CC (A - x) e. CC)
4		sub2cncf.1	. . . . 5 |- F = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (A - x))}
5	4	fopab2 4796	. . . 4 |- (A.x e. CC (A - x) e. CC <-> F:CC-->CC)
6	3, 5	sylib 215	. . 3 |- (A e. CC -> F:CC-->CC)
7		simpr 350	. . . 4 |- ((u e. CC /\ w e. RR+) -> w e. RR+)
8	7	a1i 8	. . 3 |- (A e. CC -> ((u e. CC /\ w e. RR+) -> w e. RR+))
9		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = u -> (A - x) = (A - u))
10		oprex 4907	. . . . . . . . . . . 12 |- (A - u) e. _V
11	9, 4, 10	fvopab4 4743	. . . . . . . . . . 11 |- (u e. CC -> (F` u) = (A - u))
12	11	ad2antrl 442	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ (u e. CC /\ v e. CC)) -> (F` u) = (A - u))
13		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = v -> (A - x) = (A - v))
14		oprex 4907	. . . . . . . . . . . 12 |- (A - v) e. _V
15	13, 4, 14	fvopab4 4743	. . . . . . . . . . 11 |- (v e. CC -> (F` v) = (A - v))
16	15	ad2antll 443	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ (u e. CC /\ v e. CC)) -> (F` v) = (A - v))
17	12, 16	opreq12d 4900	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (u e. CC /\ v e. CC)) -> ((F` u) - (F` v)) = ((A - u) - (A - v)))
18		nnncan1 6632	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ u e. CC /\ v e. CC) -> ((A - u) - (A - v)) = (v - u))
19	18	3expb 1068	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (u e. CC /\ v e. CC)) -> ((A - u) - (A - v)) = (v - u))
20	17, 19	eqtrd 1925	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ (u e. CC /\ v e. CC)) -> ((F` u) - (F` v)) = (v - u))
21	20	fveq2d 4685	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ (u e. CC /\ v e. CC)) -> (abs` ((F` u) - (F` v))) = (abs` (v - u)))
22		abssub 8146	. . . . . . . . 9 |- ((v e. CC /\ u e. CC) -> (abs` (v - u)) = (abs` (u - v)))
23	22	ancoms 484	. . . . . . . 8 |- ((u e. CC /\ v e. CC) -> (abs` (v - u)) = (abs` (u - v)))
24	23	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ (u e. CC /\ v e. CC)) -> (abs` (v - u)) = (abs` (u - v)))
25	21, 24	eqtrd 1925	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ (u e. CC /\ v e. CC)) -> (abs` ((F` u) - (F` v))) = (abs` (u - v)))
26	25	adantrr 431	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ ((u e. CC /\ v e. CC) /\ w e. RR+)) -> (abs` ((F` u) - (F` v))) = (abs` (u - v)))
27	26	breq1d 3348	. . . 4 |- ((A e. CC /\ ((u e. CC /\ v e. CC) /\ w e. RR+)) -> ((abs` ((F` u) - (F` v))) < w <-> (abs` (u - v)) < w))
28	27	exbiri 421	. . 3 |- (A e. CC -> (((u e. CC /\ v e. CC) /\ w e. RR+) -> ((abs` (u - v)) < w -> (abs` ((F` u) - (F` v))) < w)))
29	6, 8, 28	elcncf1di 8532	. 2 |- (A e. CC -> ((CC C_ CC /\ CC C_ CC) -> F e. (CC-cn->CC)))
30	1, 1, 29	mp2ani 764	1 |- (A e. CC -> F e. (CC-cn->CC))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  {copab 3395  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384   - cmin 6445  RR+crp 6453   < clt 6653  abscabs 8000  -cn->ccncf 8524

This theorem is referenced by:  phtpycom 16050  reparphtlem2 16064  pcorevlem 16086  pcorev 16087  pi1gp 16095

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-cncf 8525

Copyright terms: Public domain