MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structfn Structured version   Unicode version

Theorem structfn 14520
Description: Convert between two kinds of structure closure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
structfn.1  |-  F Struct  <. M ,  N >.
Assertion
Ref Expression
structfn  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... N
) )

Proof of Theorem structfn
StepHypRef Expression
1 structfn.1 . . 3  |-  F Struct  <. M ,  N >.
21structfun 14519 . 2  |-  Fun  `' `' F
3 isstruct 14517 . . . . 5  |-  ( F Struct  <. M ,  N >.  <->  (
( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N )  /\  Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  dom  F 
C_  ( M ... N ) ) )
41, 3mpbi 208 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N )  /\  Fun  ( F  \  { (/) } )  /\  dom  F  C_  ( M ... N
) )
54simp3i 1007 . . 3  |-  dom  F  C_  ( M ... N
)
64simp1i 1005 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N )
76simp1i 1005 . . . . 5  |-  M  e.  NN
8 elnnuz 11130 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
97, 8mpbi 208 . . . 4  |-  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
10 fzss1 11734 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( M ... N )  C_  (
1 ... N ) )
119, 10ax-mp 5 . . 3  |-  ( M ... N )  C_  ( 1 ... N
)
125, 11sstri 3518 . 2  |-  dom  F  C_  ( 1 ... N
)
132, 12pm3.2i 455 1  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767    \ cdif 3478    C_ wss 3481   (/)c0 3790   {csn 4033   <.cop 4039   class class class wbr 4453   `'ccnv 5004   dom cdm 5005   Fun wfun 5588   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1c1 9505    <_ cle 9641   NNcn 10548   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684   Struct cstr 14503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator