MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strleun Structured version   Unicode version

Theorem strleun 14742
Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strleun.f  |-  F Struct  <. A ,  B >.
strleun.g  |-  G Struct  <. C ,  D >.
strleun.l  |-  B  < 
C
Assertion
Ref Expression
strleun  |-  ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >.

Proof of Theorem strleun
StepHypRef Expression
1 strleun.f . . . . . 6  |-  F Struct  <. A ,  B >.
2 isstruct 14654 . . . . . 6  |-  ( F Struct  <. A ,  B >.  <->  (
( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )  /\  Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  dom  F 
C_  ( A ... B ) ) )
31, 2mpbi 208 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )  /\  Fun  ( F  \  { (/) } )  /\  dom  F  C_  ( A ... B
) )
43simp1i 1005 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )
54simp1i 1005 . . 3  |-  A  e.  NN
6 strleun.g . . . . . 6  |-  G Struct  <. C ,  D >.
7 isstruct 14654 . . . . . 6  |-  ( G Struct  <. C ,  D >.  <->  (
( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )  /\  Fun  ( G  \  { (/)
} )  /\  dom  G 
C_  ( C ... D ) ) )
86, 7mpbi 208 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )  /\  Fun  ( G  \  { (/) } )  /\  dom  G  C_  ( C ... D
) )
98simp1i 1005 . . . 4  |-  ( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )
109simp2i 1006 . . 3  |-  D  e.  NN
114simp3i 1007 . . . . 5  |-  A  <_  B
124simp2i 1006 . . . . . . 7  |-  B  e.  NN
1312nnrei 10565 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
149simp1i 1005 . . . . . . 7  |-  C  e.  NN
1514nnrei 10565 . . . . . 6  |-  C  e.  RR
16 strleun.l . . . . . 6  |-  B  < 
C
1713, 15, 16ltleii 9724 . . . . 5  |-  B  <_  C
185nnrei 10565 . . . . . 6  |-  A  e.  RR
1918, 13, 15letri 9730 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C )
2011, 17, 19mp2an 672 . . . 4  |-  A  <_  C
219simp3i 1007 . . . 4  |-  C  <_  D
2210nnrei 10565 . . . . 5  |-  D  e.  RR
2318, 15, 22letri 9730 . . . 4  |-  ( ( A  <_  C  /\  C  <_  D )  ->  A  <_  D )
2420, 21, 23mp2an 672 . . 3  |-  A  <_  D
255, 10, 243pm3.2i 1174 . 2  |-  ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  A  <_  D )
263simp2i 1006 . . . . 5  |-  Fun  ( F  \  { (/) } )
278simp2i 1006 . . . . 5  |-  Fun  ( G  \  { (/) } )
2826, 27pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )
29 difss 3627 . . . . . . . 8  |-  ( F 
\  { (/) } ) 
C_  F
30 dmss 5212 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  \  { (/) } )  C_  F  ->  dom  ( F  \  { (/)
} )  C_  dom  F )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  dom  ( F  \  { (/) } ) 
C_  dom  F
323simp3i 1007 . . . . . . 7  |-  dom  F  C_  ( A ... B
)
3331, 32sstri 3508 . . . . . 6  |-  dom  ( F  \  { (/) } ) 
C_  ( A ... B )
34 difss 3627 . . . . . . . 8  |-  ( G 
\  { (/) } ) 
C_  G
35 dmss 5212 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  \  { (/) } )  C_  G  ->  dom  ( G  \  { (/)
} )  C_  dom  G )
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  dom  ( G  \  { (/) } ) 
C_  dom  G
378simp3i 1007 . . . . . . 7  |-  dom  G  C_  ( C ... D
)
3836, 37sstri 3508 . . . . . 6  |-  dom  ( G  \  { (/) } ) 
C_  ( C ... D )
39 ss2in 3721 . . . . . 6  |-  ( ( dom  ( F  \  { (/) } )  C_  ( A ... B )  /\  dom  ( G 
\  { (/) } ) 
C_  ( C ... D ) )  -> 
( dom  ( F  \  { (/) } )  i^i 
dom  ( G  \  { (/) } ) ) 
C_  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D
) ) )
4033, 38, 39mp2an 672 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  C_  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )
41 fzdisj 11737 . . . . . 6  |-  ( B  <  C  ->  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )  =  (/) )
4216, 41ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D ) )  =  (/)
43 sseq0 3826 . . . . 5  |-  ( ( ( dom  ( F 
\  { (/) } )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) ) 
C_  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D
) )  /\  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )  =  (/) )  ->  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/) )
4440, 42, 43mp2an 672 . . . 4  |-  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/)
45 funun 5636 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  ( F 
\  { (/) } )  /\  Fun  ( G 
\  { (/) } ) )  /\  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/) )  ->  Fun  ( ( F  \  { (/) } )  u.  ( G  \  { (/) } ) ) )
4628, 44, 45mp2an 672 . . 3  |-  Fun  (
( F  \  { (/)
} )  u.  ( G  \  { (/) } ) )
47 difundir 3758 . . . 4  |-  ( ( F  u.  G ) 
\  { (/) } )  =  ( ( F 
\  { (/) } )  u.  ( G  \  { (/) } ) )
4847funeqi 5614 . . 3  |-  ( Fun  ( ( F  u.  G )  \  { (/)
} )  <->  Fun  ( ( F  \  { (/) } )  u.  ( G 
\  { (/) } ) ) )
4946, 48mpbir 209 . 2  |-  Fun  (
( F  u.  G
)  \  { (/) } )
50 dmun 5219 . . 3  |-  dom  ( F  u.  G )  =  ( dom  F  u.  dom  G )
5112nnzi 10909 . . . . . . 7  |-  B  e.  ZZ
5210nnzi 10909 . . . . . . 7  |-  D  e.  ZZ
5313, 15, 22letri 9730 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  D )  ->  B  <_  D )
5417, 21, 53mp2an 672 . . . . . . 7  |-  B  <_  D
55 eluz2 11112 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  B
)  <->  ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  B  <_  D ) )
5651, 52, 54, 55mpbir3an 1178 . . . . . 6  |-  D  e.  ( ZZ>= `  B )
57 fzss2 11749 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  ( A ... B )  C_  ( A ... D ) )
5856, 57ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A ... B )  C_  ( A ... D )
5932, 58sstri 3508 . . . 4  |-  dom  F  C_  ( A ... D
)
605nnzi 10909 . . . . . . 7  |-  A  e.  ZZ
6114nnzi 10909 . . . . . . 7  |-  C  e.  ZZ
62 eluz2 11112 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )
6360, 61, 20, 62mpbir3an 1178 . . . . . 6  |-  C  e.  ( ZZ>= `  A )
64 fzss1 11748 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( C ... D )  C_  ( A ... D ) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( C ... D )  C_  ( A ... D )
6637, 65sstri 3508 . . . 4  |-  dom  G  C_  ( A ... D
)
6759, 66unssi 3675 . . 3  |-  ( dom 
F  u.  dom  G
)  C_  ( A ... D )
6850, 67eqsstri 3529 . 2  |-  dom  ( F  u.  G )  C_  ( A ... D
)
69 isstruct 14654 . 2  |-  ( ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >.  <->  (
( A  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  A  <_  D )  /\  Fun  ( ( F  u.  G )  \  { (/)
} )  /\  dom  ( F  u.  G
)  C_  ( A ... D ) ) )
7025, 49, 68, 69mpbir3an 1178 1  |-  ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   <.cop 4038   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   Fun wfun 5588   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    < clt 9645    <_ cle 9646   NNcn 10556   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   Struct cstr 14640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646
This theorem is referenced by:  strle2  14744  strle3  14745  srngfn  14771  lmodstr  14780  ipsstr  14787  phlstr  14797  odrngstr  14823  imasvalstr  14869  prdsvalstr  14870  ipostr  15910  psrvalstr  18139  cnfldstr  18549  eengstr  24410  algstr  31309
  Copyright terms: Public domain W3C validator