Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strleun Structured version   Unicode version

Theorem strleun 14584
 Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strleun.f Struct
strleun.g Struct
strleun.l
Assertion
Ref Expression
strleun Struct

Proof of Theorem strleun
StepHypRef Expression
1 strleun.f . . . . . 6 Struct
2 isstruct 14499 . . . . . 6 Struct
31, 2mpbi 208 . . . . 5
43simp1i 1005 . . . 4
54simp1i 1005 . . 3
6 strleun.g . . . . . 6 Struct
7 isstruct 14499 . . . . . 6 Struct
86, 7mpbi 208 . . . . 5
98simp1i 1005 . . . 4
109simp2i 1006 . . 3
114simp3i 1007 . . . . 5
124simp2i 1006 . . . . . . 7
1312nnrei 10544 . . . . . 6
149simp1i 1005 . . . . . . 7
1514nnrei 10544 . . . . . 6
16 strleun.l . . . . . 6
1713, 15, 16ltleii 9706 . . . . 5
185nnrei 10544 . . . . . 6
1918, 13, 15letri 9712 . . . . 5
2011, 17, 19mp2an 672 . . . 4
219simp3i 1007 . . . 4
2210nnrei 10544 . . . . 5
2318, 15, 22letri 9712 . . . 4
2420, 21, 23mp2an 672 . . 3
255, 10, 243pm3.2i 1174 . 2
263simp2i 1006 . . . . 5
278simp2i 1006 . . . . 5
2826, 27pm3.2i 455 . . . 4
29 difss 3631 . . . . . . . 8
30 dmss 5201 . . . . . . . 8
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7
323simp3i 1007 . . . . . . 7
3331, 32sstri 3513 . . . . . 6
34 difss 3631 . . . . . . . 8
35 dmss 5201 . . . . . . . 8
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . 7
378simp3i 1007 . . . . . . 7
3836, 37sstri 3513 . . . . . 6
39 ss2in 3725 . . . . . 6
4033, 38, 39mp2an 672 . . . . 5
41 fzdisj 11711 . . . . . 6
4216, 41ax-mp 5 . . . . 5
43 sseq0 3817 . . . . 5
4440, 42, 43mp2an 672 . . . 4
45 funun 5629 . . . 4
4628, 44, 45mp2an 672 . . 3
47 difundir 3751 . . . 4
4847funeqi 5607 . . 3
4946, 48mpbir 209 . 2
50 dmun 5208 . . 3
5112nnzi 10887 . . . . . . 7
5210nnzi 10887 . . . . . . 7
5313, 15, 22letri 9712 . . . . . . . 8
5417, 21, 53mp2an 672 . . . . . . 7
55 eluz2 11087 . . . . . . 7
5651, 52, 54, 55mpbir3an 1178 . . . . . 6
57 fzss2 11722 . . . . . 6
5856, 57ax-mp 5 . . . . 5
5932, 58sstri 3513 . . . 4
605nnzi 10887 . . . . . . 7
6114nnzi 10887 . . . . . . 7
62 eluz2 11087 . . . . . . 7
6360, 61, 20, 62mpbir3an 1178 . . . . . 6
64 fzss1 11721 . . . . . 6
6563, 64ax-mp 5 . . . . 5
6637, 65sstri 3513 . . . 4
6759, 66unssi 3679 . . 3
6850, 67eqsstri 3534 . 2
69 isstruct 14499 . 2 Struct
7025, 49, 68, 69mpbir3an 1178 1 Struct
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   cdif 3473   cun 3474   cin 3475   wss 3476  c0 3785  csn 4027  cop 4033   class class class wbr 4447   cdm 4999   wfun 5581  cfv 5587  (class class class)co 6283   clt 9627   cle 9628  cn 10535  cz 10863  cuz 11081  cfz 11671   Struct cstr 14485 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-struct 14491 This theorem is referenced by:  strle2  14586  strle3  14587  srngfn  14609  lmodstr  14618  ipsstr  14625  phlstr  14635  odrngstr  14661  imasvalstr  14706  prdsvalstr  14707  ipostr  15639  psrvalstr  17799  cnfldstr  18209  eengstr  23975  algstr  30747
 Copyright terms: Public domain W3C validator