MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strleun Structured version   Unicode version

Theorem strleun 14584
Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strleun.f  |-  F Struct  <. A ,  B >.
strleun.g  |-  G Struct  <. C ,  D >.
strleun.l  |-  B  < 
C
Assertion
Ref Expression
strleun  |-  ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >.

Proof of Theorem strleun
StepHypRef Expression
1 strleun.f . . . . . 6  |-  F Struct  <. A ,  B >.
2 isstruct 14499 . . . . . 6  |-  ( F Struct  <. A ,  B >.  <->  (
( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )  /\  Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  dom  F 
C_  ( A ... B ) ) )
31, 2mpbi 208 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )  /\  Fun  ( F  \  { (/) } )  /\  dom  F  C_  ( A ... B
) )
43simp1i 1005 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )
54simp1i 1005 . . 3  |-  A  e.  NN
6 strleun.g . . . . . 6  |-  G Struct  <. C ,  D >.
7 isstruct 14499 . . . . . 6  |-  ( G Struct  <. C ,  D >.  <->  (
( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )  /\  Fun  ( G  \  { (/)
} )  /\  dom  G 
C_  ( C ... D ) ) )
86, 7mpbi 208 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )  /\  Fun  ( G  \  { (/) } )  /\  dom  G  C_  ( C ... D
) )
98simp1i 1005 . . . 4  |-  ( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )
109simp2i 1006 . . 3  |-  D  e.  NN
114simp3i 1007 . . . . 5  |-  A  <_  B
124simp2i 1006 . . . . . . 7  |-  B  e.  NN
1312nnrei 10544 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
149simp1i 1005 . . . . . . 7  |-  C  e.  NN
1514nnrei 10544 . . . . . 6  |-  C  e.  RR
16 strleun.l . . . . . 6  |-  B  < 
C
1713, 15, 16ltleii 9706 . . . . 5  |-  B  <_  C
185nnrei 10544 . . . . . 6  |-  A  e.  RR
1918, 13, 15letri 9712 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C )
2011, 17, 19mp2an 672 . . . 4  |-  A  <_  C
219simp3i 1007 . . . 4  |-  C  <_  D
2210nnrei 10544 . . . . 5  |-  D  e.  RR
2318, 15, 22letri 9712 . . . 4  |-  ( ( A  <_  C  /\  C  <_  D )  ->  A  <_  D )
2420, 21, 23mp2an 672 . . 3  |-  A  <_  D
255, 10, 243pm3.2i 1174 . 2  |-  ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  A  <_  D )
263simp2i 1006 . . . . 5  |-  Fun  ( F  \  { (/) } )
278simp2i 1006 . . . . 5  |-  Fun  ( G  \  { (/) } )
2826, 27pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )
29 difss 3631 . . . . . . . 8  |-  ( F 
\  { (/) } ) 
C_  F
30 dmss 5201 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  \  { (/) } )  C_  F  ->  dom  ( F  \  { (/)
} )  C_  dom  F )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  dom  ( F  \  { (/) } ) 
C_  dom  F
323simp3i 1007 . . . . . . 7  |-  dom  F  C_  ( A ... B
)
3331, 32sstri 3513 . . . . . 6  |-  dom  ( F  \  { (/) } ) 
C_  ( A ... B )
34 difss 3631 . . . . . . . 8  |-  ( G 
\  { (/) } ) 
C_  G
35 dmss 5201 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  \  { (/) } )  C_  G  ->  dom  ( G  \  { (/)
} )  C_  dom  G )
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  dom  ( G  \  { (/) } ) 
C_  dom  G
378simp3i 1007 . . . . . . 7  |-  dom  G  C_  ( C ... D
)
3836, 37sstri 3513 . . . . . 6  |-  dom  ( G  \  { (/) } ) 
C_  ( C ... D )
39 ss2in 3725 . . . . . 6  |-  ( ( dom  ( F  \  { (/) } )  C_  ( A ... B )  /\  dom  ( G 
\  { (/) } ) 
C_  ( C ... D ) )  -> 
( dom  ( F  \  { (/) } )  i^i 
dom  ( G  \  { (/) } ) ) 
C_  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D
) ) )
4033, 38, 39mp2an 672 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  C_  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )
41 fzdisj 11711 . . . . . 6  |-  ( B  <  C  ->  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )  =  (/) )
4216, 41ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D ) )  =  (/)
43 sseq0 3817 . . . . 5  |-  ( ( ( dom  ( F 
\  { (/) } )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) ) 
C_  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D
) )  /\  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )  =  (/) )  ->  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/) )
4440, 42, 43mp2an 672 . . . 4  |-  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/)
45 funun 5629 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  ( F 
\  { (/) } )  /\  Fun  ( G 
\  { (/) } ) )  /\  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/) )  ->  Fun  ( ( F  \  { (/) } )  u.  ( G  \  { (/) } ) ) )
4628, 44, 45mp2an 672 . . 3  |-  Fun  (
( F  \  { (/)
} )  u.  ( G  \  { (/) } ) )
47 difundir 3751 . . . 4  |-  ( ( F  u.  G ) 
\  { (/) } )  =  ( ( F 
\  { (/) } )  u.  ( G  \  { (/) } ) )
4847funeqi 5607 . . 3  |-  ( Fun  ( ( F  u.  G )  \  { (/)
} )  <->  Fun  ( ( F  \  { (/) } )  u.  ( G 
\  { (/) } ) ) )
4946, 48mpbir 209 . 2  |-  Fun  (
( F  u.  G
)  \  { (/) } )
50 dmun 5208 . . 3  |-  dom  ( F  u.  G )  =  ( dom  F  u.  dom  G )
5112nnzi 10887 . . . . . . 7  |-  B  e.  ZZ
5210nnzi 10887 . . . . . . 7  |-  D  e.  ZZ
5313, 15, 22letri 9712 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  D )  ->  B  <_  D )
5417, 21, 53mp2an 672 . . . . . . 7  |-  B  <_  D
55 eluz2 11087 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  B
)  <->  ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  B  <_  D ) )
5651, 52, 54, 55mpbir3an 1178 . . . . . 6  |-  D  e.  ( ZZ>= `  B )
57 fzss2 11722 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  ( A ... B )  C_  ( A ... D ) )
5856, 57ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A ... B )  C_  ( A ... D )
5932, 58sstri 3513 . . . 4  |-  dom  F  C_  ( A ... D
)
605nnzi 10887 . . . . . . 7  |-  A  e.  ZZ
6114nnzi 10887 . . . . . . 7  |-  C  e.  ZZ
62 eluz2 11087 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )
6360, 61, 20, 62mpbir3an 1178 . . . . . 6  |-  C  e.  ( ZZ>= `  A )
64 fzss1 11721 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( C ... D )  C_  ( A ... D ) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( C ... D )  C_  ( A ... D )
6637, 65sstri 3513 . . . 4  |-  dom  G  C_  ( A ... D
)
6759, 66unssi 3679 . . 3  |-  ( dom 
F  u.  dom  G
)  C_  ( A ... D )
6850, 67eqsstri 3534 . 2  |-  dom  ( F  u.  G )  C_  ( A ... D
)
69 isstruct 14499 . 2  |-  ( ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >.  <->  (
( A  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  A  <_  D )  /\  Fun  ( ( F  u.  G )  \  { (/)
} )  /\  dom  ( F  u.  G
)  C_  ( A ... D ) ) )
7025, 49, 68, 69mpbir3an 1178 1  |-  ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   <.cop 4033   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   Fun wfun 5581   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    < clt 9627    <_ cle 9628   NNcn 10535   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081   ...cfz 11671   Struct cstr 14485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-struct 14491
This theorem is referenced by:  strle2  14586  strle3  14587  srngfn  14609  lmodstr  14618  ipsstr  14625  phlstr  14635  odrngstr  14661  imasvalstr  14706  prdsvalstr  14707  ipostr  15639  psrvalstr  17799  cnfldstr  18209  eengstr  23975  algstr  30747
  Copyright terms: Public domain W3C validator