Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strleun Structured version   Unicode version

Theorem strleun 15163
 Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strleun.f Struct
strleun.g Struct
strleun.l
Assertion
Ref Expression
strleun Struct

Proof of Theorem strleun
StepHypRef Expression
1 strleun.f . . . . . 6 Struct
2 isstruct 15074 . . . . . 6 Struct
31, 2mpbi 211 . . . . 5
43simp1i 1014 . . . 4
54simp1i 1014 . . 3
6 strleun.g . . . . . 6 Struct
7 isstruct 15074 . . . . . 6 Struct
86, 7mpbi 211 . . . . 5
98simp1i 1014 . . . 4
109simp2i 1015 . . 3
114simp3i 1016 . . . . 5
124simp2i 1015 . . . . . . 7
1312nnrei 10569 . . . . . 6
149simp1i 1014 . . . . . . 7
1514nnrei 10569 . . . . . 6
16 strleun.l . . . . . 6
1713, 15, 16ltleii 9708 . . . . 5
185nnrei 10569 . . . . . 6
1918, 13, 15letri 9714 . . . . 5
2011, 17, 19mp2an 676 . . . 4
219simp3i 1016 . . . 4
2210nnrei 10569 . . . . 5
2318, 15, 22letri 9714 . . . 4
2420, 21, 23mp2an 676 . . 3
255, 10, 243pm3.2i 1183 . 2
263simp2i 1015 . . . . 5
278simp2i 1015 . . . . 5
2826, 27pm3.2i 456 . . . 4
29 difss 3535 . . . . . . . 8
30 dmss 4996 . . . . . . . 8
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . 7
323simp3i 1016 . . . . . . 7
3331, 32sstri 3416 . . . . . 6
34 difss 3535 . . . . . . . 8
35 dmss 4996 . . . . . . . 8
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . 7
378simp3i 1016 . . . . . . 7
3836, 37sstri 3416 . . . . . 6
39 ss2in 3632 . . . . . 6
4033, 38, 39mp2an 676 . . . . 5
41 fzdisj 11777 . . . . . 6
4216, 41ax-mp 5 . . . . 5
43 sseq0 3739 . . . . 5
4440, 42, 43mp2an 676 . . . 4
45 funun 5586 . . . 4
4628, 44, 45mp2an 676 . . 3
47 difundir 3669 . . . 4
4847funeqi 5564 . . 3
4946, 48mpbir 212 . 2
50 dmun 5003 . . 3
5112nnzi 10912 . . . . . . 7
5210nnzi 10912 . . . . . . 7
5313, 15, 22letri 9714 . . . . . . . 8
5417, 21, 53mp2an 676 . . . . . . 7
55 eluz2 11116 . . . . . . 7
5651, 52, 54, 55mpbir3an 1187 . . . . . 6
57 fzss2 11789 . . . . . 6
5856, 57ax-mp 5 . . . . 5
5932, 58sstri 3416 . . . 4
605nnzi 10912 . . . . . . 7
6114nnzi 10912 . . . . . . 7
62 eluz2 11116 . . . . . . 7
6360, 61, 20, 62mpbir3an 1187 . . . . . 6
64 fzss1 11788 . . . . . 6
6563, 64ax-mp 5 . . . . 5
6637, 65sstri 3416 . . . 4
6759, 66unssi 3584 . . 3
6850, 67eqsstri 3437 . 2
69 isstruct 15074 . 2 Struct
7025, 49, 68, 69mpbir3an 1187 1 Struct
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872   cdif 3376   cun 3377   cin 3378   wss 3379  c0 3704  csn 3941  cop 3947   class class class wbr 4366   cdm 4796   wfun 5538  cfv 5544  (class class class)co 6249   clt 9626   cle 9627  cn 10560  cz 10888  cuz 11110  cfz 11735   Struct cstr 15060 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-struct 15066 This theorem is referenced by:  strle2  15165  strle3  15166  srngfn  15195  lmodstr  15204  ipsstr  15211  phlstr  15221  odrngstr  15247  imasvalstr  15293  prdsvalstr  15294  ipostr  16342  psrvalstr  18530  cnfldstr  18915  eengstr  24952  algstr  35956
 Copyright terms: Public domain W3C validator