MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strlemor1 Structured version   Unicode version

Theorem strlemor1 14581
Description: Add one element to the end of a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strlemor.f  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... I
) )
strlemor.i  |-  I  e. 
NN0
strlemor.o  |-  I  < 
J
strlemor.j  |-  J  e.  NN
strlemor.a  |-  A  =  J
strlemor1.g  |-  G  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. } )
Assertion
Ref Expression
strlemor1  |-  ( Fun  `' `' G  /\  dom  G  C_  ( 1 ... J
) )

Proof of Theorem strlemor1
StepHypRef Expression
1 strlemor.f . . . . . 6  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... I
) )
21simpli 458 . . . . 5  |-  Fun  `' `' F
3 funcnvsn 5632 . . . . 5  |-  Fun  `' { <. X ,  J >. }
42, 3pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( Fun  `' `' F  /\  Fun  `' { <. X ,  J >. } )
5 cnvcnvss 5460 . . . . . . 7  |-  `' `' F  C_  F
6 dmss 5201 . . . . . . 7  |-  ( `' `' F  C_  F  ->  dom  `' `' F  C_  dom  F
)
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  `' `' F  C_  dom  F
8 cnvcnvsn 5484 . . . . . . . . 9  |-  `' `' { <. J ,  X >. }  =  `' { <. X ,  J >. }
9 cnvcnvss 5460 . . . . . . . . 9  |-  `' `' { <. J ,  X >. }  C_  { <. J ,  X >. }
108, 9eqsstr3i 3535 . . . . . . . 8  |-  `' { <. X ,  J >. } 
C_  { <. J ,  X >. }
11 dmss 5201 . . . . . . . 8  |-  ( `' { <. X ,  J >. }  C_  { <. J ,  X >. }  ->  dom  `' { <. X ,  J >. }  C_  dom  { <. J ,  X >. } )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  dom  `' { <. X ,  J >. }  C_  dom  { <. J ,  X >. }
13 dmsnopss 5479 . . . . . . 7  |-  dom  { <. J ,  X >. } 
C_  { J }
1412, 13sstri 3513 . . . . . 6  |-  dom  `' { <. X ,  J >. }  C_  { J }
15 ss2in 3725 . . . . . 6  |-  ( ( dom  `' `' F  C_ 
dom  F  /\  dom  `' { <. X ,  J >. }  C_  { J } )  ->  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  C_  ( dom  F  i^i  { J } ) )
167, 14, 15mp2an 672 . . . . 5  |-  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  C_  ( dom  F  i^i  { J } )
17 strlemor.o . . . . . . . . 9  |-  I  < 
J
18 strlemor.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  e. 
NN0
1918nn0rei 10805 . . . . . . . . . 10  |-  I  e.  RR
20 strlemor.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  e.  NN
2120nnrei 10544 . . . . . . . . . 10  |-  J  e.  RR
2219, 21ltnlei 9704 . . . . . . . . 9  |-  ( I  <  J  <->  -.  J  <_  I )
2317, 22mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  -.  J  <_  I
24 elfzle2 11689 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( 1 ... I )  ->  J  <_  I )
2523, 24mto 176 . . . . . . 7  |-  -.  J  e.  ( 1 ... I
)
261simpri 462 . . . . . . . 8  |-  dom  F  C_  ( 1 ... I
)
2726sseli 3500 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  dom  F  ->  J  e.  ( 1 ... I ) )
2825, 27mto 176 . . . . . 6  |-  -.  J  e.  dom  F
29 disjsn 4088 . . . . . 6  |-  ( ( dom  F  i^i  { J } )  =  (/)  <->  -.  J  e.  dom  F )
3028, 29mpbir 209 . . . . 5  |-  ( dom 
F  i^i  { J } )  =  (/)
31 sseq0 3817 . . . . 5  |-  ( ( ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } ) 
C_  ( dom  F  i^i  { J } )  /\  ( dom  F  i^i  { J } )  =  (/) )  ->  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  =  (/) )
3216, 30, 31mp2an 672 . . . 4  |-  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  =  (/)
33 funun 5629 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  `' `' F  /\  Fun  `' { <. X ,  J >. } )  /\  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  =  (/) )  ->  Fun  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } ) )
344, 32, 33mp2an 672 . . 3  |-  Fun  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } )
35 strlemor1.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. } )
36 strlemor.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  J
3736opeq1i 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  <. A ,  X >.  =  <. J ,  X >.
3837sneqi 4038 . . . . . . . . . 10  |-  { <. A ,  X >. }  =  { <. J ,  X >. }
3938uneq2i 3655 . . . . . . . . 9  |-  ( F  u.  { <. A ,  X >. } )  =  ( F  u.  { <. J ,  X >. } )
4035, 39eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( F  u.  { <. J ,  X >. } )
4140cnveqi 5176 . . . . . . 7  |-  `' G  =  `' ( F  u.  {
<. J ,  X >. } )
42 cnvun 5410 . . . . . . 7  |-  `' ( F  u.  { <. J ,  X >. } )  =  ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )
4341, 42eqtri 2496 . . . . . 6  |-  `' G  =  ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )
4443cnveqi 5176 . . . . 5  |-  `' `' G  =  `' ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )
45 cnvun 5410 . . . . . 6  |-  `' ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )  =  ( `' `' F  u.  `' `' { <. J ,  X >. } )
468uneq2i 3655 . . . . . 6  |-  ( `' `' F  u.  `' `' { <. J ,  X >. } )  =  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } )
4745, 46eqtri 2496 . . . . 5  |-  `' ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )  =  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } )
4844, 47eqtri 2496 . . . 4  |-  `' `' G  =  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } )
4948funeqi 5607 . . 3  |-  ( Fun  `' `' G  <->  Fun  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } ) )
5034, 49mpbir 209 . 2  |-  Fun  `' `' G
5140dmeqi 5203 . . . 4  |-  dom  G  =  dom  ( F  u.  {
<. J ,  X >. } )
52 dmun 5208 . . . 4  |-  dom  ( F  u.  { <. J ,  X >. } )  =  ( dom  F  u.  dom  { <. J ,  X >. } )
5351, 52eqtri 2496 . . 3  |-  dom  G  =  ( dom  F  u.  dom  { <. J ,  X >. } )
5418nn0zi 10888 . . . . . . 7  |-  I  e.  ZZ
5520nnzi 10887 . . . . . . 7  |-  J  e.  ZZ
5619, 21, 17ltleii 9706 . . . . . . 7  |-  I  <_  J
57 eluz2 11087 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  I
)  <->  ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  I  <_  J ) )
5854, 55, 56, 57mpbir3an 1178 . . . . . 6  |-  J  e.  ( ZZ>= `  I )
59 fzss2 11722 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  I
)  ->  ( 1 ... I )  C_  ( 1 ... J
) )
6058, 59ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 1 ... I )  C_  ( 1 ... J
)
6126, 60sstri 3513 . . . 4  |-  dom  F  C_  ( 1 ... J
)
62 elfz1end 11714 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  NN  <->  J  e.  ( 1 ... J
) )
6320, 62mpbi 208 . . . . . 6  |-  J  e.  ( 1 ... J
)
64 snssi 4171 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ( 1 ... J )  ->  { J }  C_  ( 1 ... J ) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . 5  |-  { J }  C_  ( 1 ... J )
6613, 65sstri 3513 . . . 4  |-  dom  { <. J ,  X >. } 
C_  ( 1 ... J )
6761, 66unssi 3679 . . 3  |-  ( dom 
F  u.  dom  { <. J ,  X >. } )  C_  ( 1 ... J )
6853, 67eqsstri 3534 . 2  |-  dom  G  C_  ( 1 ... J
)
6950, 68pm3.2i 455 1  |-  ( Fun  `' `' G  /\  dom  G  C_  ( 1 ... J
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   <.cop 4033   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   Fun wfun 5581   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   1c1 9492    < clt 9627    <_ cle 9628   NNcn 10535   NN0cn0 10794   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081   ...cfz 11671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672
This theorem is referenced by:  strlemor2  14582  strlemor3  14583
  Copyright terms: Public domain W3C validator