MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strlemor1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem strlemor1 15265
Description: Add one element to the end of a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strlemor.f  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... I
) )
strlemor.i  |-  I  e. 
NN0
strlemor.o  |-  I  < 
J
strlemor.j  |-  J  e.  NN
strlemor.a  |-  A  =  J
strlemor1.g  |-  G  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. } )
Assertion
Ref Expression
strlemor1  |-  ( Fun  `' `' G  /\  dom  G  C_  ( 1 ... J
) )

Proof of Theorem strlemor1
StepHypRef Expression
1 strlemor.f . . . . . 6  |-  ( Fun  `' `' F  /\  dom  F  C_  ( 1 ... I
) )
21simpli 464 . . . . 5  |-  Fun  `' `' F
3 funcnvsn 5645 . . . . 5  |-  Fun  `' { <. X ,  J >. }
42, 3pm3.2i 461 . . . 4  |-  ( Fun  `' `' F  /\  Fun  `' { <. X ,  J >. } )
5 cnvcnvss 5308 . . . . . . 7  |-  `' `' F  C_  F
6 dmss 5052 . . . . . . 7  |-  ( `' `' F  C_  F  ->  dom  `' `' F  C_  dom  F
)
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  `' `' F  C_  dom  F
8 cnvcnvsn 5331 . . . . . . . . 9  |-  `' `' { <. J ,  X >. }  =  `' { <. X ,  J >. }
9 cnvcnvss 5308 . . . . . . . . 9  |-  `' `' { <. J ,  X >. }  C_  { <. J ,  X >. }
108, 9eqsstr3i 3474 . . . . . . . 8  |-  `' { <. X ,  J >. } 
C_  { <. J ,  X >. }
11 dmss 5052 . . . . . . . 8  |-  ( `' { <. X ,  J >. }  C_  { <. J ,  X >. }  ->  dom  `' { <. X ,  J >. }  C_  dom  { <. J ,  X >. } )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  dom  `' { <. X ,  J >. }  C_  dom  { <. J ,  X >. }
13 dmsnopss 5326 . . . . . . 7  |-  dom  { <. J ,  X >. } 
C_  { J }
1412, 13sstri 3452 . . . . . 6  |-  dom  `' { <. X ,  J >. }  C_  { J }
15 ss2in 3670 . . . . . 6  |-  ( ( dom  `' `' F  C_ 
dom  F  /\  dom  `' { <. X ,  J >. }  C_  { J } )  ->  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  C_  ( dom  F  i^i  { J } ) )
167, 14, 15mp2an 683 . . . . 5  |-  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  C_  ( dom  F  i^i  { J } )
17 strlemor.o . . . . . . . . 9  |-  I  < 
J
18 strlemor.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  e. 
NN0
1918nn0rei 10908 . . . . . . . . . 10  |-  I  e.  RR
20 strlemor.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  e.  NN
2120nnrei 10645 . . . . . . . . . 10  |-  J  e.  RR
2219, 21ltnlei 9780 . . . . . . . . 9  |-  ( I  <  J  <->  -.  J  <_  I )
2317, 22mpbi 213 . . . . . . . 8  |-  -.  J  <_  I
24 elfzle2 11831 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( 1 ... I )  ->  J  <_  I )
2523, 24mto 181 . . . . . . 7  |-  -.  J  e.  ( 1 ... I
)
261simpri 468 . . . . . . . 8  |-  dom  F  C_  ( 1 ... I
)
2726sseli 3439 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  dom  F  ->  J  e.  ( 1 ... I ) )
2825, 27mto 181 . . . . . 6  |-  -.  J  e.  dom  F
29 disjsn 4043 . . . . . 6  |-  ( ( dom  F  i^i  { J } )  =  (/)  <->  -.  J  e.  dom  F )
3028, 29mpbir 214 . . . . 5  |-  ( dom 
F  i^i  { J } )  =  (/)
31 sseq0 3777 . . . . 5  |-  ( ( ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } ) 
C_  ( dom  F  i^i  { J } )  /\  ( dom  F  i^i  { J } )  =  (/) )  ->  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  =  (/) )
3216, 30, 31mp2an 683 . . . 4  |-  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  =  (/)
33 funun 5642 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  `' `' F  /\  Fun  `' { <. X ,  J >. } )  /\  ( dom  `' `' F  i^i  dom  `' { <. X ,  J >. } )  =  (/) )  ->  Fun  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } ) )
344, 32, 33mp2an 683 . . 3  |-  Fun  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } )
35 strlemor1.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( F  u.  { <. A ,  X >. } )
36 strlemor.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  J
3736opeq1i 4182 . . . . . . . . . . 11  |-  <. A ,  X >.  =  <. J ,  X >.
3837sneqi 3990 . . . . . . . . . 10  |-  { <. A ,  X >. }  =  { <. J ,  X >. }
3938uneq2i 3596 . . . . . . . . 9  |-  ( F  u.  { <. A ,  X >. } )  =  ( F  u.  { <. J ,  X >. } )
4035, 39eqtri 2483 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( F  u.  { <. J ,  X >. } )
4140cnveqi 5027 . . . . . . 7  |-  `' G  =  `' ( F  u.  {
<. J ,  X >. } )
42 cnvun 5259 . . . . . . 7  |-  `' ( F  u.  { <. J ,  X >. } )  =  ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )
4341, 42eqtri 2483 . . . . . 6  |-  `' G  =  ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )
4443cnveqi 5027 . . . . 5  |-  `' `' G  =  `' ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )
45 cnvun 5259 . . . . . 6  |-  `' ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )  =  ( `' `' F  u.  `' `' { <. J ,  X >. } )
468uneq2i 3596 . . . . . 6  |-  ( `' `' F  u.  `' `' { <. J ,  X >. } )  =  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } )
4745, 46eqtri 2483 . . . . 5  |-  `' ( `' F  u.  `' { <. J ,  X >. } )  =  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } )
4844, 47eqtri 2483 . . . 4  |-  `' `' G  =  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } )
4948funeqi 5620 . . 3  |-  ( Fun  `' `' G  <->  Fun  ( `' `' F  u.  `' { <. X ,  J >. } ) )
5034, 49mpbir 214 . 2  |-  Fun  `' `' G
5140dmeqi 5054 . . . 4  |-  dom  G  =  dom  ( F  u.  {
<. J ,  X >. } )
52 dmun 5059 . . . 4  |-  dom  ( F  u.  { <. J ,  X >. } )  =  ( dom  F  u.  dom  { <. J ,  X >. } )
5351, 52eqtri 2483 . . 3  |-  dom  G  =  ( dom  F  u.  dom  { <. J ,  X >. } )
5418nn0zi 10990 . . . . . . 7  |-  I  e.  ZZ
5520nnzi 10989 . . . . . . 7  |-  J  e.  ZZ
5619, 21, 17ltleii 9782 . . . . . . 7  |-  I  <_  J
57 eluz2 11193 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  I
)  <->  ( I  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  I  <_  J ) )
5854, 55, 56, 57mpbir3an 1196 . . . . . 6  |-  J  e.  ( ZZ>= `  I )
59 fzss2 11866 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  I
)  ->  ( 1 ... I )  C_  ( 1 ... J
) )
6058, 59ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 1 ... I )  C_  ( 1 ... J
)
6126, 60sstri 3452 . . . 4  |-  dom  F  C_  ( 1 ... J
)
62 elfz1end 11857 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  NN  <->  J  e.  ( 1 ... J
) )
6320, 62mpbi 213 . . . . . 6  |-  J  e.  ( 1 ... J
)
64 snssi 4128 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ( 1 ... J )  ->  { J }  C_  ( 1 ... J ) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . 5  |-  { J }  C_  ( 1 ... J )
6613, 65sstri 3452 . . . 4  |-  dom  { <. J ,  X >. } 
C_  ( 1 ... J )
6761, 66unssi 3620 . . 3  |-  ( dom 
F  u.  dom  { <. J ,  X >. } )  C_  ( 1 ... J )
6853, 67eqsstri 3473 . 2  |-  dom  G  C_  ( 1 ... J
)
6950, 68pm3.2i 461 1  |-  ( Fun  `' `' G  /\  dom  G  C_  ( 1 ... J
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897    u. cun 3413    i^i cin 3414    C_ wss 3415   (/)c0 3742   {csn 3979   <.cop 3985   class class class wbr 4415   `'ccnv 4851   dom cdm 4852   Fun wfun 5594   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   1c1 9565    < clt 9700    <_ cle 9701   NNcn 10636   NN0cn0 10897   ZZcz 10965   ZZ>=cuz 11187   ...cfz 11812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813
This theorem is referenced by:  strlemor2  15266  strlemor3  15267
  Copyright terms: Public domain W3C validator