HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  strlem5 Structured version   Unicode version

Theorem strlem5 27600
Description: Lemma for strong state theorem. (Contributed by NM, 2-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
strlem3.1  |-  S  =  ( x  e.  CH  |->  ( ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) ) ^ 2 ) )
strlem3.2  |-  ( ph  <->  ( u  e.  ( A 
\  B )  /\  ( normh `  u )  =  1 ) )
strlem3.3  |-  A  e. 
CH
strlem3.4  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
strlem5  |-  ( ph  ->  ( S `  B
)  <  1 )
Distinct variable groups:    ph, x    x, u    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( u)    A( u)    B( u)    S( x, u)

Proof of Theorem strlem5
StepHypRef Expression
1 strlem3.2 . 2  |-  ( ph  <->  ( u  e.  ( A 
\  B )  /\  ( normh `  u )  =  1 ) )
2 strlem3.4 . . . . 5  |-  B  e. 
CH
3 strlem3.1 . . . . . 6  |-  S  =  ( x  e.  CH  |->  ( ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) ) ^ 2 ) )
43strlem2 27596 . . . . 5  |-  ( B  e.  CH  ->  ( S `  B )  =  ( ( normh `  ( ( proj h `  B ) `  u
) ) ^ 2 ) )
52, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  ( S `
 B )  =  ( ( normh `  (
( proj h `  B ) `  u
) ) ^ 2 )
6 eldif 3426 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( A  \  B )  <->  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  B ) )
7 strlem3.3 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
CH
87cheli 26577 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  A  ->  u  e.  ~H )
9 pjnel 27071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  ( -.  u  e.  B  <->  ( normh `  (
( proj h `  B ) `  u
) )  <  ( normh `  u ) ) )
102, 9mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ~H  ->  ( -.  u  e.  B  <->  (
normh `  ( ( proj h `  B ) `  u ) )  < 
( normh `  u )
) )
1110biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  -.  u  e.  B
)  ->  ( normh `  ( ( proj h `  B ) `  u
) )  <  ( normh `  u ) )
128, 11sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  B
)  ->  ( normh `  ( ( proj h `  B ) `  u
) )  <  ( normh `  u ) )
136, 12sylbi 197 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( A  \  B )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  B ) `  u ) )  < 
( normh `  u )
)
14 breq2 4401 . . . . . . 7  |-  ( (
normh `  u )  =  1  ->  ( ( normh `  ( ( proj h `  B ) `  u ) )  < 
( normh `  u )  <->  (
normh `  ( ( proj h `  B ) `  u ) )  <  1 ) )
1513, 14syl5ib 221 . . . . . 6  |-  ( (
normh `  u )  =  1  ->  ( u  e.  ( A  \  B
)  ->  ( normh `  ( ( proj h `  B ) `  u
) )  <  1
) )
1615impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( A 
\  B )  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( normh `  ( ( proj h `  B ) `
 u ) )  <  1 )
17 eldifi 3567 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( A  \  B )  ->  u  e.  A )
182pjhcli 26763 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
( proj h `  B ) `  u
)  e.  ~H )
19 normcl 26469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( proj h `  B ) `  u
)  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  B ) `  u ) )  e.  RR )
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  B ) `  u ) )  e.  RR )
21 normge0 26470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( proj h `  B ) `  u
)  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  (
( proj h `  B ) `  u
) ) )
2218, 21syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  B ) `
 u ) ) )
23 1re 9627 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
24 0le1 10118 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
25 lt2sq 12288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( normh `  (
( proj h `  B ) `  u
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  B ) `  u
) ) )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )  ->  ( ( normh `  ( ( proj h `  B ) `  u ) )  <  1  <->  ( ( normh `  ( ( proj h `  B ) `  u
) ) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 ) ) )
2623, 24, 25mpanr12 685 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  B ) `
 u ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  B ) `
 u ) ) )  ->  ( ( normh `  ( ( proj h `  B ) `  u ) )  <  1  <->  ( ( normh `  ( ( proj h `  B ) `  u
) ) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 ) ) )
2720, 22, 26syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  B ) `
 u ) )  <  1  <->  ( ( normh `  ( ( proj h `  B ) `  u ) ) ^
2 )  <  (
1 ^ 2 ) ) )
2817, 8, 273syl 18 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ( A  \  B )  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  B ) `
 u ) )  <  1  <->  ( ( normh `  ( ( proj h `  B ) `  u ) ) ^
2 )  <  (
1 ^ 2 ) ) )
2928adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( A 
\  B )  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( ( normh `  (
( proj h `  B ) `  u
) )  <  1  <->  ( ( normh `  ( ( proj h `  B ) `
 u ) ) ^ 2 )  < 
( 1 ^ 2 ) ) )
3016, 29mpbid 212 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ( A 
\  B )  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( ( normh `  (
( proj h `  B ) `  u
) ) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 ) )
315, 30syl5eqbr 4430 . . 3  |-  ( ( u  e.  ( A 
\  B )  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( S `  B
)  <  ( 1 ^ 2 ) )
32 sq1 12309 . . 3  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
3331, 32syl6breq 4436 . 2  |-  ( ( u  e.  ( A 
\  B )  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( S `  B
)  <  1 )
341, 33sylbi 197 1  |-  ( ph  ->  ( S `  B
)  <  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    \ cdif 3413   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525    < clt 9660    <_ cle 9661   2c2 10628   ^cexp 12212   ~Hchil 26263   normhcno 26267   CHcch 26273   proj hcpjh 26281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cc 8849  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604  ax-hilex 26343  ax-hfvadd 26344  ax-hvcom 26345  ax-hvass 26346  ax-hv0cl 26347  ax-hvaddid 26348  ax-hfvmul 26349  ax-hvmulid 26350  ax-hvmulass 26351  ax-hvdistr1 26352  ax-hvdistr2 26353  ax-hvmul0 26354  ax-hfi 26423  ax-his1 26426  ax-his2 26427  ax-his3 26428  ax-his4 26429  ax-hcompl 26546
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-omul 7174  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-acn 8357  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-mulg 16386  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-lm 20025  df-haus 20111  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-cfil 21988  df-cau 21989  df-cmet 21990  df-grpo 25620  df-gid 25621  df-ginv 25622  df-gdiv 25623  df-ablo 25711  df-subgo 25731  df-vc 25866  df-nv 25912  df-va 25915  df-ba 25916  df-sm 25917  df-0v 25918  df-vs 25919  df-nmcv 25920  df-ims 25921  df-dip 26038  df-ssp 26062  df-ph 26155  df-cbn 26206  df-hnorm 26312  df-hba 26313  df-hvsub 26315  df-hlim 26316  df-hcau 26317  df-sh 26551  df-ch 26566  df-oc 26597  df-ch0 26598  df-shs 26653  df-pjh 26740
This theorem is referenced by:  strlem6  27601
  Copyright terms: Public domain W3C validator