HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  strlem3a Structured version   Unicode version

Theorem strlem3a 27036
Description: Lemma for strong state theorem: the function  S, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 28-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
strlem3a.1  |-  S  =  ( x  e.  CH  |->  ( ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) ) ^ 2 ) )
Assertion
Ref Expression
strlem3a  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  S  e.  States )
Distinct variable group:    x, u
Allowed substitution hints:    S( x, u)

Proof of Theorem strlem3a
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CH  ->  x  e.  CH )
2 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  u  e.  ~H )
3 pjhcl 26184 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  ( ( proj h `  x ) `  u
)  e.  ~H )
41, 2, 3syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( proj h `  x ) `  u
)  e.  ~H )
5 normcl 25907 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj h `  x ) `  u
)  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  x ) `  u ) )  e.  RR )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) )  e.  RR )
76resqcld 12310 . . . 4  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) ) ^ 2 )  e.  RR )
86sqge0d 12311 . . . 4  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  0  <_  ( ( normh `  ( ( proj h `  x ) `  u ) ) ^
2 ) )
9 normge0 25908 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj h `  x ) `  u
)  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) ) )
104, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `  u
) ) )
11 pjnorm 26507 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) )  <_  ( normh `  u
) )
121, 2, 11syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) )  <_  ( normh `  u
) )
13 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( normh `  u )  =  1 )
1412, 13breqtrd 4457 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) )  <_  1 )
15 2nn0 10813 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
16 exple1 12199 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `  u
) )  /\  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `  u ) )  <_ 
1 )  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) ) ^ 2 )  <_ 
1 )
1715, 16mpan2 671 . . . . 5  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) )  /\  ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) )  <_  1
)  ->  ( ( normh `  ( ( proj h `  x ) `  u ) ) ^
2 )  <_  1
)
186, 10, 14, 17syl3anc 1227 . . . 4  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) ) ^ 2 )  <_  1 )
19 0re 9594 . . . . 5  |-  0  e.  RR
20 1re 9593 . . . . 5  |-  1  e.  RR
2119, 20elicc2i 11594 . . . 4  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) ) ^ 2 )  e.  ( 0 [,] 1
)  <->  ( ( (
normh `  ( ( proj h `  x ) `  u ) ) ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( normh `  ( ( proj h `  x ) `  u ) ) ^
2 )  /\  (
( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) ) ^ 2 )  <_ 
1 ) )
227, 8, 18, 21syl3anbrc 1179 . . 3  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) ) ^ 2 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
23 strlem3a.1 . . 3  |-  S  =  ( x  e.  CH  |->  ( ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) ) ^ 2 ) )
2422, 23fmptd 6036 . 2  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  S : CH --> ( 0 [,] 1 ) )
25 helch 26026 . . . 4  |-  ~H  e.  CH
2623strlem2 27035 . . . 4  |-  ( ~H  e.  CH  ->  ( S `  ~H )  =  ( ( normh `  ( ( proj h `  ~H ) `  u ) ) ^ 2 ) )
2725, 26ax-mp 5 . . 3  |-  ( S `
 ~H )  =  ( ( normh `  (
( proj h `  ~H ) `  u ) ) ^ 2 )
28 pjch1 26453 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
( proj h `  ~H ) `  u )  =  u )
2928fveq2d 5856 . . . . 5  |-  ( u  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  ~H ) `  u ) )  =  ( normh `  u )
)
3029oveq1d 6292 . . . 4  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  ~H ) `  u ) ) ^
2 )  =  ( ( normh `  u ) ^ 2 ) )
31 oveq1 6284 . . . . 5  |-  ( (
normh `  u )  =  1  ->  ( ( normh `  u ) ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
32 sq1 12236 . . . . 5  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
3331, 32syl6eq 2498 . . . 4  |-  ( (
normh `  u )  =  1  ->  ( ( normh `  u ) ^
2 )  =  1 )
3430, 33sylan9eq 2502 . . 3  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( ( normh `  (
( proj h `  ~H ) `  u ) ) ^ 2 )  =  1 )
3527, 34syl5eq 2494 . 2  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( S `  ~H )  =  1 )
36 pjcjt2 26475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  (
z  C_  ( _|_ `  w )  ->  (
( proj h `  ( z  vH  w
) ) `  u
)  =  ( ( ( proj h `  z ) `  u
)  +h  ( (
proj h `  w ) `
 u ) ) ) )
3736imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( proj h `  ( z  vH  w
) ) `  u
)  =  ( ( ( proj h `  z ) `  u
)  +h  ( (
proj h `  w ) `
 u ) ) )
3837fveq2d 5856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( normh `  ( ( proj h `  ( z  vH  w ) ) `
 u ) )  =  ( normh `  (
( ( proj h `  z ) `  u
)  +h  ( (
proj h `  w ) `
 u ) ) ) )
3938oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( normh `  (
( proj h `  ( z  vH  w
) ) `  u
) ) ^ 2 )  =  ( (
normh `  ( ( (
proj h `  z ) `
 u )  +h  ( ( proj h `  w ) `  u
) ) ) ^
2 ) )
40 pjopyth 26503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  (
z  C_  ( _|_ `  w )  ->  (
( normh `  ( (
( proj h `  z ) `  u
)  +h  ( (
proj h `  w ) `
 u ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normh `  ( ( proj h `  z ) `  u ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj h `  w ) `
 u ) ) ^ 2 ) ) ) )
4140imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( normh `  (
( ( proj h `  z ) `  u
)  +h  ( (
proj h `  w ) `
 u ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normh `  ( ( proj h `  z ) `  u ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj h `  w ) `
 u ) ) ^ 2 ) ) )
4239, 41eqtrd 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( normh `  (
( proj h `  ( z  vH  w
) ) `  u
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  z ) `
 u ) ) ^ 2 )  +  ( ( normh `  (
( proj h `  w ) `  u
) ) ^ 2 ) ) )
43 chjcl 26140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH )  ->  ( z  vH  w
)  e.  CH )
44433adant3 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  (
z  vH  w )  e.  CH )
4544adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( z  vH  w
)  e.  CH )
4623strlem2 27035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  vH  w )  e.  CH  ->  ( S `  ( z  vH  w ) )  =  ( ( normh `  (
( proj h `  ( z  vH  w
) ) `  u
) ) ^ 2 ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( (
normh `  ( ( proj h `  ( z  vH  w ) ) `  u ) ) ^
2 ) )
48 3simpa 992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  (
z  e.  CH  /\  w  e.  CH )
)
4948adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( z  e.  CH  /\  w  e.  CH )
)
5023strlem2 27035 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  CH  ->  ( S `  z )  =  ( ( normh `  ( ( proj h `  z ) `  u
) ) ^ 2 ) )
5123strlem2 27035 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  CH  ->  ( S `  w )  =  ( ( normh `  ( ( proj h `  w ) `  u
) ) ^ 2 ) )
5250, 51oveqan12d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH )  ->  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  z ) `
 u ) ) ^ 2 )  +  ( ( normh `  (
( proj h `  w ) `  u
) ) ^ 2 ) ) )
5349, 52syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( S `  z )  +  ( S `  w ) )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  z ) `
 u ) ) ^ 2 )  +  ( ( normh `  (
( proj h `  w ) `  u
) ) ^ 2 ) ) )
5442, 47, 533eqtr4d 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) ) )
55543exp1 1211 . . . . . 6  |-  ( z  e.  CH  ->  (
w  e.  CH  ->  ( u  e.  ~H  ->  ( z  C_  ( _|_ `  w )  ->  ( S `  ( z  vH  w ) )  =  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) ) ) ) ) )
5655com3r 79 . . . . 5  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
z  e.  CH  ->  ( w  e.  CH  ->  ( z  C_  ( _|_ `  w )  ->  ( S `  ( z  vH  w ) )  =  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) ) ) ) ) )
5756adantr 465 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( z  e.  CH  ->  ( w  e.  CH  ->  ( z  C_  ( _|_ `  w )  -> 
( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) ) ) ) ) )
5857ralrimdv 2857 . . 3  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( z  e.  CH  ->  A. w  e.  CH  ( z  C_  ( _|_ `  w )  -> 
( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) ) ) ) )
5958ralrimiv 2853 . 2  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  A. z  e.  CH  A. w  e.  CH  ( z 
C_  ( _|_ `  w
)  ->  ( S `  ( z  vH  w
) )  =  ( ( S `  z
)  +  ( S `
 w ) ) ) )
60 isst 26997 . 2  |-  ( S  e.  States 
<->  ( S : CH --> ( 0 [,] 1
)  /\  ( S `  ~H )  =  1  /\  A. z  e. 
CH  A. w  e.  CH  ( z  C_  ( _|_ `  w )  -> 
( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) ) ) ) )
6124, 35, 59, 60syl3anbrc 1179 1  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  S  e.  States )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791    C_ wss 3458   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    <_ cle 9627   2c2 10586   NN0cn0 10796   [,]cicc 11536   ^cexp 12140   ~Hchil 25701    +h cva 25702   normhcno 25705   CHcch 25711   _|_cort 25712    vH chj 25715   proj hcpjh 25719   Statescst 25744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cc 8813  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570  ax-hilex 25781  ax-hfvadd 25782  ax-hvcom 25783  ax-hvass 25784  ax-hv0cl 25785  ax-hvaddid 25786  ax-hfvmul 25787  ax-hvmulid 25788  ax-hvmulass 25789  ax-hvdistr1 25790  ax-hvdistr2 25791  ax-hvmul0 25792  ax-hfi 25861  ax-his1 25864  ax-his2 25865  ax-his3 25866  ax-his4 25867  ax-hcompl 25984
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-omul 7133  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-acn 8321  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-ico 11539  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-lm 19596  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cfil 21560  df-cau 21561  df-cmet 21562  df-grpo 25058  df-gid 25059  df-ginv 25060  df-gdiv 25061  df-ablo 25149  df-subgo 25169  df-vc 25304  df-nv 25350  df-va 25353  df-ba 25354  df-sm 25355  df-0v 25356  df-vs 25357  df-nmcv 25358  df-ims 25359  df-dip 25476  df-ssp 25500  df-ph 25593  df-cbn 25644  df-hnorm 25750  df-hba 25751  df-hvsub 25753  df-hlim 25754  df-hcau 25755  df-sh 25989  df-ch 26004  df-oc 26035  df-ch0 26036  df-shs 26091  df-chj 26093  df-pjh 26178  df-st 26995
This theorem is referenced by:  strlem3  27037
  Copyright terms: Public domain W3C validator