Theorem strlem3a 11824

Description: Lemma for strong state theorem: the function S, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state.

Hypothesis

Ref	Expression
strlem3a.1	|- S = {<.x, y>. | (x e. CH /\ y = ((normh` ((proj` x)` u))^2))}

Assertion

Ref	Expression
strlem3a	|- ((u e. ~H /\ (normh` u) = 1) -> S e. States)

Distinct variable group:   x,u,y

Proof of Theorem strlem3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stel 11786	. 2 |- (S e. States <-> ((S:CH-->RR /\ A.z e. CH (0 <_ (S` z) /\ (S` z) <_ 1)) /\ ((S` ~H) = 1 /\ A.z e. CH A.w e. CH (z C_ (_|_` w) -> (S` (z vH w)) = ((S` z) + (S` w))))))
2		pjhcl 10876	. . . . . . . 8 |- ((x e. CH /\ u e. ~H) -> ((proj` x)` u) e. ~H)
3	2	adantrr 431	. . . . . . 7 |- ((x e. CH /\ (u e. ~H /\ (normh` u) = 1)) -> ((proj` x)` u) e. ~H)
4		normcl 10624	. . . . . . 7 |- (((proj` x)` u) e. ~H -> (normh` ((proj` x)` u)) e. RR)
5		resqcl 7866	. . . . . . 7 |- ((normh` ((proj` x)` u)) e. RR -> ((normh` ((proj` x)` u))^2) e. RR)
6	3, 4, 5	3syl 24	. . . . . 6 |- ((x e. CH /\ (u e. ~H /\ (normh` u) = 1)) -> ((normh` ((proj` x)` u))^2) e. RR)
7	6	expcom 403	. . . . 5 |- ((u e. ~H /\ (normh` u) = 1) -> (x e. CH -> ((normh` ((proj` x)` u))^2) e. RR))
8	7	r19.21aiv 2175	. . . 4 |- ((u e. ~H /\ (normh` u) = 1) -> A.x e. CH ((normh` ((proj` x)` u))^2) e. RR)
9		strlem3a.1	. . . . 5 |- S = {<.x, y>. | (x e. CH /\ y = ((normh` ((proj` x)` u))^2))}
10	9	fopab2 4796	. . . 4 |- (A.x e. CH ((normh` ((proj` x)` u))^2) e. RR <-> S:CH-->RR)
11	8, 10	sylib 215	. . 3 |- ((u e. ~H /\ (normh` u) = 1) -> S:CH-->RR)
12		pjhcl 10876	. . . . . . . . 9 |- ((z e. CH /\ u e. ~H) -> ((proj` z)` u) e. ~H)
13	12	adantrr 431	. . . . . . . 8 |- ((z e. CH /\ (u e. ~H /\ (normh` u) = 1)) -> ((proj` z)` u) e. ~H)
14		normcl 10624	. . . . . . . 8 |- (((proj` z)` u) e. ~H -> (normh` ((proj` z)` u)) e. RR)
15		sqge0 7878	. . . . . . . 8 |- ((normh` ((proj` z)` u)) e. RR -> 0 <_ ((normh` ((proj` z)` u))^2))
16	13, 14, 15	3syl 24	. . . . . . 7 |- ((z e. CH /\ (u e. ~H /\ (normh` u) = 1)) -> 0 <_ ((normh` ((proj` z)` u))^2))
17	9	strlem2 11823	. . . . . . . 8 |- (z e. CH -> (S` z) = ((normh` ((proj` z)` u))^2))
18	17	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((z e. CH /\ (u e. ~H /\ (normh` u) = 1)) -> (S` z) = ((normh` ((proj` z)` u))^2))
19	16, 18	breqtrrd 3363	. . . . . 6 |- ((z e. CH /\ (u e. ~H /\ (normh` u) = 1)) -> 0 <_ (S` z))
20		pjnorm 11304	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. CH /\ u e. ~H) -> (normh` ((proj` z)` u)) <_ (normh` u))
21	20	adantrr 431	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. CH /\ (u e. ~H /\ (normh` u) = 1)) -> (normh` ((proj` z)` u)) <_ (normh` u))
22		simprr 451	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. CH /\ (u e. ~H /\ (normh` u) = 1)) -> (normh` u) = 1)
23	21, 22	breqtrd 3361	. . . . . . . . 9 |- ((z e. CH /\ (u e. ~H /\ (normh` u) = 1)) -> (normh` ((proj` z)` u)) <_ 1)
24	13, 14	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. CH /\ (u e. ~H /\ (normh` u) = 1)) -> (normh` ((proj` z)` u)) e. RR)
25		normge0 10625	. . . . . . . . . . 11 |- (((proj` z)` u) e. ~H -> 0 <_ (normh` ((proj` z)` u)))
26	13, 25	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. CH /\ (u e. ~H /\ (normh` u) = 1)) -> 0 <_ (normh` ((proj` z)` u)))
27		1re 6598	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
28		0re 6603	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
29		lt01 6871	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
30	28, 27, 29	ltleii 6756	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 1
31		le2sq 7876	. . . . . . . . . . 11 |- ((((normh` ((proj` z)` u)) e. RR /\ 0 <_ (normh` ((proj` z)` u))) /\ (1 e. RR /\ 0 <_ 1)) -> ((normh` ((proj` z)` u)) <_ 1 <-> ((normh` ((proj` z)` u))^2) <_ (1^2)))
32	27, 30, 31	mpanr12 778	. . . . . . . . . 10 |- (((normh` ((proj` z)` u)) e. RR /\ 0 <_ (normh` ((proj` z)` u))) -> ((normh` ((proj` z)` u)) <_ 1 <-> ((normh` ((proj` z)` u))^2) <_ (1^2)))
33	24, 26, 32	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- ((z e. CH /\ (u e. ~H /\ (normh` u) = 1)) -> ((normh` ((proj` z)` u)) <_ 1 <-> ((normh` ((proj` z)` u))^2) <_ (1^2)))
34	23, 33	mpbid 212	. . . . . . . 8 |- ((z e. CH /\ (u e. ~H /\ (normh` u) = 1)) -> ((normh` ((proj` z)` u))^2) <_ (1^2))
35		sq1 7882	. . . . . . . 8 |- (1^2) = 1
36	34, 35	syl6breq 3376	. . . . . . 7 |- ((z e. CH /\ (u e. ~H /\ (normh` u) = 1)) -> ((normh` ((proj` z)` u))^2) <_ 1)
37	18, 36	eqbrtrd 3357	. . . . . 6 |- ((z e. CH /\ (u e. ~H /\ (normh` u) = 1)) -> (S` z) <_ 1)
38	19, 37	jca 310	. . . . 5 |- ((z e. CH /\ (u e. ~H /\ (normh` u) = 1)) -> (0 <_ (S` z) /\ (S` z) <_ 1))
39	38	expcom 403	. . . 4 |- ((u e. ~H /\ (normh` u) = 1) -> (z e. CH -> (0 <_ (S` z) /\ (S` z) <_ 1)))
40	39	r19.21aiv 2175	. . 3 |- ((u e. ~H /\ (normh` u) = 1) -> A.z e. CH (0 <_ (S` z) /\ (S` z) <_ 1))
41	11, 40	jca 310	. 2 |- ((u e. ~H /\ (normh` u) = 1) -> (S:CH-->RR /\ A.z e. CH (0 <_ (S` z) /\ (S` z) <_ 1)))
42		pjch1 11250	. . . . . . 7 |- (u e. ~H -> ((proj` ~H)` u) = u)
43	42	fveq2d 4685	. . . . . 6 |- (u e. ~H -> (normh` ((proj` ~H)` u)) = (normh` u))
44	43	opreq1d 4897	. . . . 5 |- (u e. ~H -> ((normh` ((proj` ~H)` u))^2) = ((normh` u)^2))
45		opreq1 4889	. . . . . 6 |- ((normh` u) = 1 -> ((normh` u)^2) = (1^2))
46	45, 35	syl6eq 1944	. . . . 5 |- ((normh` u) = 1 -> ((normh` u)^2) = 1)
47	44, 46	sylan9eq 1948	. . . 4 |- ((u e. ~H /\ (normh` u) = 1) -> ((normh` ((proj` ~H)` u))^2) = 1)
48		helch 10749	. . . . 5 |- ~H e. CH
49	9	strlem2 11823	. . . . 5 |- (~H e. CH -> (S` ~H) = ((normh` ((proj` ~H)` u))^2))
50	48, 49	ax-mp 7	. . . 4 |- (S` ~H) = ((normh` ((proj` ~H)` u))^2)
51	47, 50	syl5eq 1940	. . 3 |- ((u e. ~H /\ (normh` u) = 1) -> (S` ~H) = 1)
52		pjcjt2 11272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. ~H) -> (z C_ (_|_` w) -> ((proj` (z vH w))` u) = (((proj` z)` u) +h ((proj` w)` u))))
53	52	imp 377	. . . . . . . . . . . 12 |- (((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. ~H) /\ z C_ (_|_` w)) -> ((proj` (z vH w))` u) = (((proj` z)` u) +h ((proj` w)` u)))
54	53	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . 11 |- (((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. ~H) /\ z C_ (_|_` w)) -> (normh` ((proj` (z vH w))` u)) = (normh` (((proj` z)` u) +h ((proj` w)` u))))
55	54	opreq1d 4897	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. ~H) /\ z C_ (_|_` w)) -> ((normh` ((proj` (z vH w))` u))^2) = ((normh` (((proj` z)` u) +h ((proj` w)` u)))^2))
56		pjopyth 11300	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. ~H) -> (z C_ (_|_` w) -> ((normh` (((proj` z)` u) +h ((proj` w)` u)))^2) = (((normh` ((proj` z)` u))^2) + ((normh` ((proj` w)` u))^2))))
57	56	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. ~H) /\ z C_ (_|_` w)) -> ((normh` (((proj` z)` u) +h ((proj` w)` u)))^2) = (((normh` ((proj` z)` u))^2) + ((normh` ((proj` w)` u))^2)))
58	55, 57	eqtrd 1925	. . . . . . . . 9 |- (((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. ~H) /\ z C_ (_|_` w)) -> ((normh` ((proj` (z vH w))` u))^2) = (((normh` ((proj` z)` u))^2) + ((normh` ((proj` w)` u))^2)))
59		chjcl 10962	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. CH /\ w e. CH) -> (z vH w) e. CH)
60	59	3adant3 896	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. ~H) -> (z vH w) e. CH)
61	60	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. ~H) /\ z C_ (_|_` w)) -> (z vH w) e. CH)
62	9	strlem2 11823	. . . . . . . . . 10 |- ((z vH w) e. CH -> (S` (z vH w)) = ((normh` ((proj` (z vH w))` u))^2))
63	61, 62	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. ~H) /\ z C_ (_|_` w)) -> (S` (z vH w)) = ((normh` ((proj` (z vH w))` u))^2))
64		3simpa 872	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. ~H) -> (z e. CH /\ w e. CH))
65	64	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. ~H) /\ z C_ (_|_` w)) -> (z e. CH /\ w e. CH))
66	9	strlem2 11823	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. CH -> (S` w) = ((normh` ((proj` w)` u))^2))
67	17, 66	opreqan12d 4902	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. CH /\ w e. CH) -> ((S` z) + (S` w)) = (((normh` ((proj` z)` u))^2) + ((normh` ((proj` w)` u))^2)))
68	65, 67	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. ~H) /\ z C_ (_|_` w)) -> ((S` z) + (S` w)) = (((normh` ((proj` z)` u))^2) + ((normh` ((proj` w)` u))^2)))
69	58, 63, 68	3eqtr4d 1937	. . . . . . . 8 |- (((z e. CH /\ w e. CH /\ u e. ~H) /\ z C_ (_|_` w)) -> (S` (z vH w)) = ((S` z) + (S` w)))
70	69	3exp1 1084	. . . . . . 7 |- (z e. CH -> (w e. CH -> (u e. ~H -> (z C_ (_|_` w) -> (S` (z vH w)) = ((S` z) + (S` w))))))
71	70	com3r 39	. . . . . 6 |- (u e. ~H -> (z e. CH -> (w e. CH -> (z C_ (_|_` w) -> (S` (z vH w)) = ((S` z) + (S` w))))))
72	71	adantr 425	. . . . 5 |- ((u e. ~H /\ (normh` u) = 1) -> (z e. CH -> (w e. CH -> (z C_ (_|_` w) -> (S` (z vH w)) = ((S` z) + (S` w))))))
73	72	r19.21adv 2181	. . . 4 |- ((u e. ~H /\ (normh` u) = 1) -> (z e. CH -> A.w e. CH (z C_ (_|_` w) -> (S` (z vH w)) = ((S` z) + (S` w)))))
74	73	r19.21aiv 2175	. . 3 |- ((u e. ~H /\ (normh` u) = 1) -> A.z e. CH A.w e. CH (z C_ (_|_` w) -> (S` (z vH w)) = ((S` z) + (S` w))))
75	51, 74	jca 310	. 2 |- ((u e. ~H /\ (normh` u) = 1) -> ((S` ~H) = 1 /\ A.z e. CH A.w e. CH (z C_ (_|_` w) -> (S` (z vH w)) = ((S` z) + (S` w)))))
76	1, 41, 75	sylanbrc 527	1 |- ((u e. ~H /\ (normh` u) = 1) -> S e. States)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  {copab 3395  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  2c2 7145  ^cexp 7811  ~Hchil 10420   +h cva 10421  normhcno 10426  CHcch 10430  _|_cort 10431   vH chj 10434  projcpj 10438  Statescst 10463

This theorem is referenced by:  strlem3 11825

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-shsum 10906  df-chj 10908  df-st 11784

Copyright terms: Public domain