HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  strlem3a Structured version   Unicode version

Theorem strlem3a 26833
Description: Lemma for strong state theorem: the function  S, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 28-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
strlem3a.1  |-  S  =  ( x  e.  CH  |->  ( ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) ) ^ 2 ) )
Assertion
Ref Expression
strlem3a  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  S  e.  States )
Distinct variable group:    x, u
Allowed substitution hints:    S( x, u)

Proof of Theorem strlem3a
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CH  ->  x  e.  CH )
2 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  u  e.  ~H )
3 pjhcl 25981 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  ( ( proj h `  x ) `  u
)  e.  ~H )
41, 2, 3syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( proj h `  x ) `  u
)  e.  ~H )
5 normcl 25704 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj h `  x ) `  u
)  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  x ) `  u ) )  e.  RR )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) )  e.  RR )
76resqcld 12291 . . . 4  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) ) ^ 2 )  e.  RR )
86sqge0d 12292 . . . 4  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  0  <_  ( ( normh `  ( ( proj h `  x ) `  u ) ) ^
2 ) )
9 normge0 25705 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj h `  x ) `  u
)  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) ) )
104, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `  u
) ) )
11 pjnorm 26304 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) )  <_  ( normh `  u
) )
121, 2, 11syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) )  <_  ( normh `  u
) )
13 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( normh `  u )  =  1 )
1412, 13breqtrd 4464 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) )  <_  1 )
15 2nn0 10801 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
16 exple1 12180 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `  u
) )  /\  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `  u ) )  <_ 
1 )  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) ) ^ 2 )  <_ 
1 )
1715, 16mpan2 671 . . . . 5  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) )  /\  ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) )  <_  1
)  ->  ( ( normh `  ( ( proj h `  x ) `  u ) ) ^
2 )  <_  1
)
186, 10, 14, 17syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) ) ^ 2 )  <_  1 )
19 0re 9585 . . . . 5  |-  0  e.  RR
20 1re 9584 . . . . 5  |-  1  e.  RR
2119, 20elicc2i 11579 . . . 4  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) ) ^ 2 )  e.  ( 0 [,] 1
)  <->  ( ( (
normh `  ( ( proj h `  x ) `  u ) ) ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( normh `  ( ( proj h `  x ) `  u ) ) ^
2 )  /\  (
( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) ) ^ 2 )  <_ 
1 ) )
227, 8, 18, 21syl3anbrc 1175 . . 3  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) ) ^ 2 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
23 strlem3a.1 . . 3  |-  S  =  ( x  e.  CH  |->  ( ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) ) ^ 2 ) )
2422, 23fmptd 6036 . 2  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  S : CH --> ( 0 [,] 1 ) )
25 helch 25823 . . . 4  |-  ~H  e.  CH
2623strlem2 26832 . . . 4  |-  ( ~H  e.  CH  ->  ( S `  ~H )  =  ( ( normh `  ( ( proj h `  ~H ) `  u ) ) ^ 2 ) )
2725, 26ax-mp 5 . . 3  |-  ( S `
 ~H )  =  ( ( normh `  (
( proj h `  ~H ) `  u ) ) ^ 2 )
28 pjch1 26250 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
( proj h `  ~H ) `  u )  =  u )
2928fveq2d 5861 . . . . 5  |-  ( u  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  ~H ) `  u ) )  =  ( normh `  u )
)
3029oveq1d 6290 . . . 4  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  ~H ) `  u ) ) ^
2 )  =  ( ( normh `  u ) ^ 2 ) )
31 oveq1 6282 . . . . 5  |-  ( (
normh `  u )  =  1  ->  ( ( normh `  u ) ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
32 sq1 12217 . . . . 5  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
3331, 32syl6eq 2517 . . . 4  |-  ( (
normh `  u )  =  1  ->  ( ( normh `  u ) ^
2 )  =  1 )
3430, 33sylan9eq 2521 . . 3  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( ( normh `  (
( proj h `  ~H ) `  u ) ) ^ 2 )  =  1 )
3527, 34syl5eq 2513 . 2  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( S `  ~H )  =  1 )
36 pjcjt2 26272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  (
z  C_  ( _|_ `  w )  ->  (
( proj h `  ( z  vH  w
) ) `  u
)  =  ( ( ( proj h `  z ) `  u
)  +h  ( (
proj h `  w ) `
 u ) ) ) )
3736imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( proj h `  ( z  vH  w
) ) `  u
)  =  ( ( ( proj h `  z ) `  u
)  +h  ( (
proj h `  w ) `
 u ) ) )
3837fveq2d 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( normh `  ( ( proj h `  ( z  vH  w ) ) `
 u ) )  =  ( normh `  (
( ( proj h `  z ) `  u
)  +h  ( (
proj h `  w ) `
 u ) ) ) )
3938oveq1d 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( normh `  (
( proj h `  ( z  vH  w
) ) `  u
) ) ^ 2 )  =  ( (
normh `  ( ( (
proj h `  z ) `
 u )  +h  ( ( proj h `  w ) `  u
) ) ) ^
2 ) )
40 pjopyth 26300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  (
z  C_  ( _|_ `  w )  ->  (
( normh `  ( (
( proj h `  z ) `  u
)  +h  ( (
proj h `  w ) `
 u ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normh `  ( ( proj h `  z ) `  u ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj h `  w ) `
 u ) ) ^ 2 ) ) ) )
4140imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( normh `  (
( ( proj h `  z ) `  u
)  +h  ( (
proj h `  w ) `
 u ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normh `  ( ( proj h `  z ) `  u ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj h `  w ) `
 u ) ) ^ 2 ) ) )
4239, 41eqtrd 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( normh `  (
( proj h `  ( z  vH  w
) ) `  u
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  z ) `
 u ) ) ^ 2 )  +  ( ( normh `  (
( proj h `  w ) `  u
) ) ^ 2 ) ) )
43 chjcl 25937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH )  ->  ( z  vH  w
)  e.  CH )
44433adant3 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  (
z  vH  w )  e.  CH )
4544adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( z  vH  w
)  e.  CH )
4623strlem2 26832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  vH  w )  e.  CH  ->  ( S `  ( z  vH  w ) )  =  ( ( normh `  (
( proj h `  ( z  vH  w
) ) `  u
) ) ^ 2 ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( (
normh `  ( ( proj h `  ( z  vH  w ) ) `  u ) ) ^
2 ) )
48 3simpa 988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  (
z  e.  CH  /\  w  e.  CH )
)
4948adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( z  e.  CH  /\  w  e.  CH )
)
5023strlem2 26832 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  CH  ->  ( S `  z )  =  ( ( normh `  ( ( proj h `  z ) `  u
) ) ^ 2 ) )
5123strlem2 26832 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  CH  ->  ( S `  w )  =  ( ( normh `  ( ( proj h `  w ) `  u
) ) ^ 2 ) )
5250, 51oveqan12d 6294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH )  ->  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  z ) `
 u ) ) ^ 2 )  +  ( ( normh `  (
( proj h `  w ) `  u
) ) ^ 2 ) ) )
5349, 52syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( S `  z )  +  ( S `  w ) )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  z ) `
 u ) ) ^ 2 )  +  ( ( normh `  (
( proj h `  w ) `  u
) ) ^ 2 ) ) )
5442, 47, 533eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) ) )
55543exp1 1207 . . . . . 6  |-  ( z  e.  CH  ->  (
w  e.  CH  ->  ( u  e.  ~H  ->  ( z  C_  ( _|_ `  w )  ->  ( S `  ( z  vH  w ) )  =  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) ) ) ) ) )
5655com3r 79 . . . . 5  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
z  e.  CH  ->  ( w  e.  CH  ->  ( z  C_  ( _|_ `  w )  ->  ( S `  ( z  vH  w ) )  =  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) ) ) ) ) )
5756adantr 465 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( z  e.  CH  ->  ( w  e.  CH  ->  ( z  C_  ( _|_ `  w )  -> 
( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) ) ) ) ) )
5857ralrimdv 2873 . . 3  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( z  e.  CH  ->  A. w  e.  CH  ( z  C_  ( _|_ `  w )  -> 
( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) ) ) ) )
5958ralrimiv 2869 . 2  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  A. z  e.  CH  A. w  e.  CH  ( z 
C_  ( _|_ `  w
)  ->  ( S `  ( z  vH  w
) )  =  ( ( S `  z
)  +  ( S `
 w ) ) ) )
60 isst 26794 . 2  |-  ( S  e.  States 
<->  ( S : CH --> ( 0 [,] 1
)  /\  ( S `  ~H )  =  1  /\  A. z  e. 
CH  A. w  e.  CH  ( z  C_  ( _|_ `  w )  -> 
( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) ) ) ) )
6124, 35, 59, 60syl3anbrc 1175 1  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  S  e.  States )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807    C_ wss 3469   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    <_ cle 9618   2c2 10574   NN0cn0 10784   [,]cicc 11521   ^cexp 12122   ~Hchil 25498    +h cva 25499   normhcno 25502   CHcch 25508   _|_cort 25509    vH chj 25512   proj hcpjh 25516   Statescst 25541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cc 8804  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561  ax-hilex 25578  ax-hfvadd 25579  ax-hvcom 25580  ax-hvass 25581  ax-hv0cl 25582  ax-hvaddid 25583  ax-hfvmul 25584  ax-hvmulid 25585  ax-hvmulass 25586  ax-hvdistr1 25587  ax-hvdistr2 25588  ax-hvmul0 25589  ax-hfi 25658  ax-his1 25661  ax-his2 25662  ax-his3 25663  ax-his4 25664  ax-hcompl 25781
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-lm 19489  df-haus 19575  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cfil 21422  df-cau 21423  df-cmet 21424  df-grpo 24855  df-gid 24856  df-ginv 24857  df-gdiv 24858  df-ablo 24946  df-subgo 24966  df-vc 25101  df-nv 25147  df-va 25150  df-ba 25151  df-sm 25152  df-0v 25153  df-vs 25154  df-nmcv 25155  df-ims 25156  df-dip 25273  df-ssp 25297  df-ph 25390  df-cbn 25441  df-hnorm 25547  df-hba 25548  df-hvsub 25550  df-hlim 25551  df-hcau 25552  df-sh 25786  df-ch 25801  df-oc 25832  df-ch0 25833  df-shs 25888  df-chj 25890  df-pjh 25975  df-st 26792
This theorem is referenced by:  strlem3  26834
  Copyright terms: Public domain W3C validator