HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  strlem3a Structured version   Unicode version

Theorem strlem3a 25607
Description: Lemma for strong state theorem: the function  S, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 28-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
strlem3a.1  |-  S  =  ( x  e.  CH  |->  ( ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) ) ^ 2 ) )
Assertion
Ref Expression
strlem3a  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  S  e.  States )
Distinct variable group:    x, u
Allowed substitution hints:    S( x, u)

Proof of Theorem strlem3a
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CH  ->  x  e.  CH )
2 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  u  e.  ~H )
3 pjhcl 24755 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  ( ( proj h `  x ) `  u
)  e.  ~H )
41, 2, 3syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( proj h `  x ) `  u
)  e.  ~H )
5 normcl 24478 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj h `  x ) `  u
)  e.  ~H  ->  (
normh `  ( ( proj h `  x ) `  u ) )  e.  RR )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) )  e.  RR )
76resqcld 12026 . . . 4  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) ) ^ 2 )  e.  RR )
86sqge0d 12027 . . . 4  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  0  <_  ( ( normh `  ( ( proj h `  x ) `  u ) ) ^
2 ) )
9 normge0 24479 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj h `  x ) `  u
)  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) ) )
104, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `  u
) ) )
11 pjnorm 25078 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) )  <_  ( normh `  u
) )
121, 2, 11syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) )  <_  ( normh `  u
) )
13 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( normh `  u )  =  1 )
1412, 13breqtrd 4311 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) )  <_  1 )
15 2nn0 10588 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
16 exple1 11915 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `  u
) )  /\  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `  u ) )  <_ 
1 )  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) ) ^ 2 )  <_ 
1 )
1715, 16mpan2 671 . . . . 5  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) )  /\  ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) )  <_  1
)  ->  ( ( normh `  ( ( proj h `  x ) `  u ) ) ^
2 )  <_  1
)
186, 10, 14, 17syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) ) ^ 2 )  <_  1 )
19 0re 9378 . . . . 5  |-  0  e.  RR
20 1re 9377 . . . . 5  |-  1  e.  RR
2119, 20elicc2i 11353 . . . 4  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) ) ^ 2 )  e.  ( 0 [,] 1
)  <->  ( ( (
normh `  ( ( proj h `  x ) `  u ) ) ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( normh `  ( ( proj h `  x ) `  u ) ) ^
2 )  /\  (
( normh `  ( ( proj h `  x ) `
 u ) ) ^ 2 )  <_ 
1 ) )
227, 8, 18, 21syl3anbrc 1172 . . 3  |-  ( ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) ) ^ 2 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
23 strlem3a.1 . . 3  |-  S  =  ( x  e.  CH  |->  ( ( normh `  (
( proj h `  x ) `  u
) ) ^ 2 ) )
2422, 23fmptd 5862 . 2  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  S : CH --> ( 0 [,] 1 ) )
25 helch 24597 . . . 4  |-  ~H  e.  CH
2623strlem2 25606 . . . 4  |-  ( ~H  e.  CH  ->  ( S `  ~H )  =  ( ( normh `  ( ( proj h `  ~H ) `  u ) ) ^ 2 ) )
2725, 26ax-mp 5 . . 3  |-  ( S `
 ~H )  =  ( ( normh `  (
( proj h `  ~H ) `  u ) ) ^ 2 )
28 pjch1 25024 . . . . . 6  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
( proj h `  ~H ) `  u )  =  u )
2928fveq2d 5690 . . . . 5  |-  ( u  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj h `  ~H ) `  u ) )  =  ( normh `  u )
)
3029oveq1d 6101 . . . 4  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( ( proj h `  ~H ) `  u ) ) ^
2 )  =  ( ( normh `  u ) ^ 2 ) )
31 oveq1 6093 . . . . 5  |-  ( (
normh `  u )  =  1  ->  ( ( normh `  u ) ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
32 sq1 11952 . . . . 5  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
3331, 32syl6eq 2486 . . . 4  |-  ( (
normh `  u )  =  1  ->  ( ( normh `  u ) ^
2 )  =  1 )
3430, 33sylan9eq 2490 . . 3  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( ( normh `  (
( proj h `  ~H ) `  u ) ) ^ 2 )  =  1 )
3527, 34syl5eq 2482 . 2  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( S `  ~H )  =  1 )
36 pjcjt2 25046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  (
z  C_  ( _|_ `  w )  ->  (
( proj h `  ( z  vH  w
) ) `  u
)  =  ( ( ( proj h `  z ) `  u
)  +h  ( (
proj h `  w ) `
 u ) ) ) )
3736imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( proj h `  ( z  vH  w
) ) `  u
)  =  ( ( ( proj h `  z ) `  u
)  +h  ( (
proj h `  w ) `
 u ) ) )
3837fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( normh `  ( ( proj h `  ( z  vH  w ) ) `
 u ) )  =  ( normh `  (
( ( proj h `  z ) `  u
)  +h  ( (
proj h `  w ) `
 u ) ) ) )
3938oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( normh `  (
( proj h `  ( z  vH  w
) ) `  u
) ) ^ 2 )  =  ( (
normh `  ( ( (
proj h `  z ) `
 u )  +h  ( ( proj h `  w ) `  u
) ) ) ^
2 ) )
40 pjopyth 25074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  (
z  C_  ( _|_ `  w )  ->  (
( normh `  ( (
( proj h `  z ) `  u
)  +h  ( (
proj h `  w ) `
 u ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normh `  ( ( proj h `  z ) `  u ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj h `  w ) `
 u ) ) ^ 2 ) ) ) )
4140imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( normh `  (
( ( proj h `  z ) `  u
)  +h  ( (
proj h `  w ) `
 u ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normh `  ( ( proj h `  z ) `  u ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj h `  w ) `
 u ) ) ^ 2 ) ) )
4239, 41eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( normh `  (
( proj h `  ( z  vH  w
) ) `  u
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  z ) `
 u ) ) ^ 2 )  +  ( ( normh `  (
( proj h `  w ) `  u
) ) ^ 2 ) ) )
43 chjcl 24711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH )  ->  ( z  vH  w
)  e.  CH )
44433adant3 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  (
z  vH  w )  e.  CH )
4544adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( z  vH  w
)  e.  CH )
4623strlem2 25606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  vH  w )  e.  CH  ->  ( S `  ( z  vH  w ) )  =  ( ( normh `  (
( proj h `  ( z  vH  w
) ) `  u
) ) ^ 2 ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( (
normh `  ( ( proj h `  ( z  vH  w ) ) `  u ) ) ^
2 ) )
48 3simpa 985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  ->  (
z  e.  CH  /\  w  e.  CH )
)
4948adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( z  e.  CH  /\  w  e.  CH )
)
5023strlem2 25606 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  CH  ->  ( S `  z )  =  ( ( normh `  ( ( proj h `  z ) `  u
) ) ^ 2 ) )
5123strlem2 25606 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  CH  ->  ( S `  w )  =  ( ( normh `  ( ( proj h `  w ) `  u
) ) ^ 2 ) )
5250, 51oveqan12d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH )  ->  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  z ) `
 u ) ) ^ 2 )  +  ( ( normh `  (
( proj h `  w ) `  u
) ) ^ 2 ) ) )
5349, 52syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( ( S `  z )  +  ( S `  w ) )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj h `  z ) `
 u ) ) ^ 2 )  +  ( ( normh `  (
( proj h `  w ) `  u
) ) ^ 2 ) ) )
5442, 47, 533eqtr4d 2480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  CH  /\  w  e.  CH  /\  u  e.  ~H )  /\  z  C_  ( _|_ `  w ) )  -> 
( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) ) )
55543exp1 1203 . . . . . 6  |-  ( z  e.  CH  ->  (
w  e.  CH  ->  ( u  e.  ~H  ->  ( z  C_  ( _|_ `  w )  ->  ( S `  ( z  vH  w ) )  =  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) ) ) ) ) )
5655com3r 79 . . . . 5  |-  ( u  e.  ~H  ->  (
z  e.  CH  ->  ( w  e.  CH  ->  ( z  C_  ( _|_ `  w )  ->  ( S `  ( z  vH  w ) )  =  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) ) ) ) ) )
5756adantr 465 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( z  e.  CH  ->  ( w  e.  CH  ->  ( z  C_  ( _|_ `  w )  -> 
( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) ) ) ) ) )
5857ralrimdv 2800 . . 3  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  -> 
( z  e.  CH  ->  A. w  e.  CH  ( z  C_  ( _|_ `  w )  -> 
( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) ) ) ) )
5958ralrimiv 2793 . 2  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  A. z  e.  CH  A. w  e.  CH  ( z 
C_  ( _|_ `  w
)  ->  ( S `  ( z  vH  w
) )  =  ( ( S `  z
)  +  ( S `
 w ) ) ) )
60 isst 25568 . 2  |-  ( S  e.  States 
<->  ( S : CH --> ( 0 [,] 1
)  /\  ( S `  ~H )  =  1  /\  A. z  e. 
CH  A. w  e.  CH  ( z  C_  ( _|_ `  w )  -> 
( S `  (
z  vH  w )
)  =  ( ( S `  z )  +  ( S `  w ) ) ) ) )
6124, 35, 59, 60syl3anbrc 1172 1  |-  ( ( u  e.  ~H  /\  ( normh `  u )  =  1 )  ->  S  e.  States )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710    C_ wss 3323   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    <_ cle 9411   2c2 10363   NN0cn0 10571   [,]cicc 11295   ^cexp 11857   ~Hchil 24272    +h cva 24273   normhcno 24276   CHcch 24282   _|_cort 24283    vH chj 24286   proj hcpjh 24290   Statescst 24315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cc 8596  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354  ax-hilex 24352  ax-hfvadd 24353  ax-hvcom 24354  ax-hvass 24355  ax-hv0cl 24356  ax-hvaddid 24357  ax-hfvmul 24358  ax-hvmulid 24359  ax-hvmulass 24360  ax-hvdistr1 24361  ax-hvdistr2 24362  ax-hvmul0 24363  ax-hfi 24432  ax-his1 24435  ax-his2 24436  ax-his3 24437  ax-his4 24438  ax-hcompl 24555
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-lm 18808  df-haus 18894  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cfil 20741  df-cau 20742  df-cmet 20743  df-grpo 23629  df-gid 23630  df-ginv 23631  df-gdiv 23632  df-ablo 23720  df-subgo 23740  df-vc 23875  df-nv 23921  df-va 23924  df-ba 23925  df-sm 23926  df-0v 23927  df-vs 23928  df-nmcv 23929  df-ims 23930  df-dip 24047  df-ssp 24071  df-ph 24164  df-cbn 24215  df-hnorm 24321  df-hba 24322  df-hvsub 24324  df-hlim 24325  df-hcau 24326  df-sh 24560  df-ch 24575  df-oc 24606  df-ch0 24607  df-shs 24662  df-chj 24664  df-pjh 24749  df-st 25566
This theorem is referenced by:  strlem3  25608
  Copyright terms: Public domain W3C validator