MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strle3 Structured version   Unicode version

Theorem strle3 14588
Description: Make a structure from a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strle1.i  |-  I  e.  NN
strle1.a  |-  A  =  I
strle2.j  |-  I  < 
J
strle2.k  |-  J  e.  NN
strle2.b  |-  B  =  J
strle3.k  |-  J  < 
K
strle3.l  |-  K  e.  NN
strle3.c  |-  C  =  K
Assertion
Ref Expression
strle3  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. } Struct  <. I ,  K >.

Proof of Theorem strle3
StepHypRef Expression
1 df-tp 4032 . 2  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. }  =  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } )
2 strle1.i . . . 4  |-  I  e.  NN
3 strle1.a . . . 4  |-  A  =  I
4 strle2.j . . . 4  |-  I  < 
J
5 strle2.k . . . 4  |-  J  e.  NN
6 strle2.b . . . 4  |-  B  =  J
72, 3, 4, 5, 6strle2 14587 . . 3  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. } Struct  <. I ,  J >.
8 strle3.l . . . 4  |-  K  e.  NN
9 strle3.c . . . 4  |-  C  =  K
108, 9strle1 14586 . . 3  |-  { <. C ,  Z >. } Struct  <. K ,  K >.
11 strle3.k . . 3  |-  J  < 
K
127, 10, 11strleun 14585 . 2  |-  ( {
<. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } ) Struct  <. I ,  K >.
131, 12eqbrtri 4466 1  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. } Struct  <. I ,  K >.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767    u. cun 3474   {csn 4027   {cpr 4029   {ctp 4031   <.cop 4033   class class class wbr 4447    < clt 9628   NNcn 10536   Struct cstr 14486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492
This theorem is referenced by:  rngstr  14602  lmodstr  14619  ipsstr  14626  topgrpstr  14644  otpsstr  14651  odrngstr  14662  imasvalstr  14707  catstr  15184  psrvalstr  17811  cnfldstr  18221  trkgstr  23596
  Copyright terms: Public domain W3C validator