MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strle3 Structured version   Unicode version

Theorem strle3 15185
Description: Make a structure from a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strle1.i  |-  I  e.  NN
strle1.a  |-  A  =  I
strle2.j  |-  I  < 
J
strle2.k  |-  J  e.  NN
strle2.b  |-  B  =  J
strle3.k  |-  J  < 
K
strle3.l  |-  K  e.  NN
strle3.c  |-  C  =  K
Assertion
Ref Expression
strle3  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. } Struct  <. I ,  K >.

Proof of Theorem strle3
StepHypRef Expression
1 df-tp 4007 . 2  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. }  =  ( { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } )
2 strle1.i . . . 4  |-  I  e.  NN
3 strle1.a . . . 4  |-  A  =  I
4 strle2.j . . . 4  |-  I  < 
J
5 strle2.k . . . 4  |-  J  e.  NN
6 strle2.b . . . 4  |-  B  =  J
72, 3, 4, 5, 6strle2 15184 . . 3  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. } Struct  <. I ,  J >.
8 strle3.l . . . 4  |-  K  e.  NN
9 strle3.c . . . 4  |-  C  =  K
108, 9strle1 15183 . . 3  |-  { <. C ,  Z >. } Struct  <. K ,  K >.
11 strle3.k . . 3  |-  J  < 
K
127, 10, 11strleun 15182 . 2  |-  ( {
<. A ,  X >. , 
<. B ,  Y >. }  u.  { <. C ,  Z >. } ) Struct  <. I ,  K >.
131, 12eqbrtri 4445 1  |-  { <. A ,  X >. ,  <. B ,  Y >. ,  <. C ,  Z >. } Struct  <. I ,  K >.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1870    u. cun 3440   {csn 4002   {cpr 4004   {ctp 4006   <.cop 4008   class class class wbr 4426    < clt 9674   NNcn 10609   Struct cstr 15080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086
This theorem is referenced by:  rngstr  15203  lmodstr  15220  ipsstr  15227  topgrpstr  15245  otpsstr  15252  odrngstr  15263  imasvalstr  15309  catstr  15813  psrvalstr  18522  cnfldstr  18907  trkgstr  24355
  Copyright terms: Public domain W3C validator