MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strle1 Structured version   Unicode version

Theorem strle1 14261
Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strle1.i  |-  I  e.  NN
strle1.a  |-  A  =  I
Assertion
Ref Expression
strle1  |-  { <. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >.

Proof of Theorem strle1
StepHypRef Expression
1 strle1.i . . 3  |-  I  e.  NN
21nnrei 10323 . . . 4  |-  I  e.  RR
32leidi 9866 . . 3  |-  I  <_  I
41, 1, 33pm3.2i 1166 . 2  |-  ( I  e.  NN  /\  I  e.  NN  /\  I  <_  I )
5 difss 3478 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  X >. } 
\  { (/) } ) 
C_  { <. A ,  X >. }
6 strle1.a . . . . . 6  |-  A  =  I
76, 1eqeltri 2508 . . . . 5  |-  A  e.  NN
8 funsng 5459 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  X  e.  _V )  ->  Fun  { <. A ,  X >. } )
97, 8mpan 670 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  Fun  {
<. A ,  X >. } )
10 funss 5431 . . . 4  |-  ( ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  C_  { <. A ,  X >. }  ->  ( Fun  { <. A ,  X >. }  ->  Fun  ( {
<. A ,  X >. } 
\  { (/) } ) ) )
115, 9, 10mpsyl 63 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } ) )
12 fun0 5470 . . . 4  |-  Fun  (/)
13 opprc2 4078 . . . . . . . 8  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  <. A ,  X >.  =  (/) )
1413sneqd 3884 . . . . . . 7  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  {
<. A ,  X >. }  =  { (/) } )
1514difeq1d 3468 . . . . . 6  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  =  ( {
(/) }  \  { (/) } ) )
16 difid 3742 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  \  { (/) } )  =  (/)
1715, 16syl6eq 2486 . . . . 5  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  =  (/) )
1817funeqd 5434 . . . 4  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )  <->  Fun  (/) ) )
1912, 18mpbiri 233 . . 3  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/)
} ) )
2011, 19pm2.61i 164 . 2  |-  Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/) } )
21 dmsnopss 5306 . . 3  |-  dom  { <. A ,  X >. } 
C_  { A }
226sneqi 3883 . . . 4  |-  { A }  =  { I }
231nnzi 10662 . . . . 5  |-  I  e.  ZZ
24 fzsn 11492 . . . . 5  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
I ... I )  =  { I } )
2523, 24ax-mp 5 . . . 4  |-  ( I ... I )  =  { I }
2622, 25eqtr4i 2461 . . 3  |-  { A }  =  ( I ... I )
2721, 26sseqtri 3383 . 2  |-  dom  { <. A ,  X >. } 
C_  ( I ... I )
28 isstruct 14176 . 2  |-  ( {
<. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >.  <->  (
( I  e.  NN  /\  I  e.  NN  /\  I  <_  I )  /\  Fun  ( { <. A ,  X >. }  \  { (/)
} )  /\  dom  {
<. A ,  X >. } 
C_  ( I ... I ) ) )
294, 20, 27, 28mpbir3an 1170 1  |-  { <. A ,  X >. } Struct  <. I ,  I >.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967    \ cdif 3320    C_ wss 3323   (/)c0 3632   {csn 3872   <.cop 3878   class class class wbr 4287   dom cdm 4835   Fun wfun 5407  (class class class)co 6086    <_ cle 9411   NNcn 10314   ZZcz 10638   ...cfz 11429   Struct cstr 14162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168
This theorem is referenced by:  strle2  14262  strle3  14263  srngfn  14285  lmodstr  14294  phlstr  14311  cnfldstr  17795
  Copyright terms: Public domain W3C validator