MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strfv Structured version   Unicode version

Theorem strfv 14329
Description: Extract a structure component  C (such as the base set) from a structure  S (such as a member of  Poset, df-poset 15238) with a component extractor  E (such as the base set extractor df-base 14300). By virtue of ndxid 14316, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 
E. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strfv.s  |-  S Struct  X
strfv.e  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
strfv.n  |-  { <. ( E `  ndx ) ,  C >. }  C_  S
Assertion
Ref Expression
strfv  |-  ( C  e.  V  ->  C  =  ( E `  S ) )

Proof of Theorem strfv
StepHypRef Expression
1 strfv.s . . 3  |-  S Struct  X
2 brstruct 14303 . . . 4  |-  Rel Struct
32brrelexi 4990 . . 3  |-  ( S Struct  X  ->  S  e.  _V )
41, 3ax-mp 5 . 2  |-  S  e. 
_V
51structfun 14307 . 2  |-  Fun  `' `' S
6 strfv.e . 2  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
7 strfv.n . . 3  |-  { <. ( E `  ndx ) ,  C >. }  C_  S
8 opex 4667 . . . 4  |-  <. ( E `  ndx ) ,  C >.  e.  _V
98snss 4110 . . 3  |-  ( <.
( E `  ndx ) ,  C >.  e.  S  <->  { <. ( E `  ndx ) ,  C >. } 
C_  S )
107, 9mpbir 209 . 2  |-  <. ( E `  ndx ) ,  C >.  e.  S
114, 5, 6, 10strfv2 14328 1  |-  ( C  e.  V  ->  C  =  ( E `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   {csn 3988   <.cop 3994   class class class wbr 4403   ` cfv 5529   Struct cstr 14291   ndxcnx 14292  Slot cslot 14294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-slot 14299
This theorem is referenced by:  strfv3  14330  2strbas  14397  2strop  14398  rngbase  14408  rngplusg  14409  rngmulr  14410  srngbase  14416  srngplusg  14417  srngmulr  14418  srnginvl  14419  lmodbase  14425  lmodplusg  14426  lmodsca  14427  lmodvsca  14428  ipsbase  14432  ipsaddg  14433  ipsmulr  14434  ipssca  14435  ipsvsca  14436  ipsip  14437  phlbase  14442  phlplusg  14443  phlsca  14444  phlvsca  14445  phlip  14446  topgrpbas  14450  topgrpplusg  14451  topgrptset  14452  otpsbas  14457  otpstset  14458  otpsle  14459  odrngbas  14468  odrngplusg  14469  odrngmulr  14470  odrngtset  14471  odrngle  14472  odrngds  14473  imassca  14579  imastset  14582  fuccofval  14991  setcbas  15068  catchomfval  15088  catccofval  15090  ipobas  15447  ipolerval  15448  ipotset  15449  psrbas  17574  psrbasOLD  17575  psrplusg  17578  psrmulr  17581  psrsca  17586  psrvscafval  17587  cnfldbas  17950  cnfldadd  17951  cnfldmul  17952  cnfldcj  17953  cnfldtset  17954  cnfldle  17955  cnfldds  17956  cnfldunif  17957  trkgbas  23041  trkgdist  23042  trkgitv  23043  signswbase  27119  signswplusg  27120  algbase  29703  algaddg  29704  algmulr  29705  algsca  29706  algvsca  29707
  Copyright terms: Public domain W3C validator