Theorem strdif 16719

Description: Removing structures built for for N + 1 leaves only functions on (1...N).

Assertion

Ref	Expression
strdif	|- (N e. NN -> (Struct(N, f, ph) \ Struct((N + 1), f, ph)) = {f | (f Fn (1...N) /\ ph)})

Distinct variable group:   f,N

Proof of Theorem strdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letri3 6687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((N e. RR /\ m e. RR) -> (N = m <-> (N <_ m /\ m <_ N)))
2		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (N e. NN -> N e. RR)
3		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (m e. NN -> m e. RR)
4	1, 2, 3	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((N e. NN /\ m e. NN) -> (N = m <-> (N <_ m /\ m <_ N)))
5		lenlt 6679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((m e. RR /\ N e. RR) -> (m <_ N <-> -. N < m))
6	5, 3, 2	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((m e. NN /\ N e. NN) -> (m <_ N <-> -. N < m))
7	6	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((N e. NN /\ m e. NN) -> (m <_ N <-> -. N < m))
8		nnltp1le 7139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((N e. NN /\ m e. NN) -> (N < m <-> (N + 1) <_ m))
9	8	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((N e. NN /\ m e. NN) -> (-. N < m <-> -. (N + 1) <_ m))
10	7, 9	bitrd 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((N e. NN /\ m e. NN) -> (m <_ N <-> -. (N + 1) <_ m))
11	10	anbi2d 678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((N e. NN /\ m e. NN) -> ((N <_ m /\ m <_ N) <-> (N <_ m /\ -. (N + 1) <_ m)))
12	4, 11	bitrd 587	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((N e. NN /\ m e. NN) -> (N = m <-> (N <_ m /\ -. (N + 1) <_ m)))
13		eqcom 1886	. . . . . . . . . . . . 13 |- (m = N <-> N = m)
14	12, 13	syl5bb 591	. . . . . . . . . . . 12 |- ((N e. NN /\ m e. NN) -> (m = N <-> (N <_ m /\ -. (N + 1) <_ m)))
15	14	anbi1d 679	. . . . . . . . . . 11 |- ((N e. NN /\ m e. NN) -> ((m = N /\ f Fn (1...m)) <-> ((N <_ m /\ -. (N + 1) <_ m) /\ f Fn (1...m))))
16		con2b 182	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((N + 1) <_ m -> -. f Fn (1...m)) <-> (f Fn (1...m) -> -. (N + 1) <_ m))
17	16	anbi2i 538	. . . . . . . . . . . 12 |- (((N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ ((N + 1) <_ m -> -. f Fn (1...m))) <-> ((N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ (f Fn (1...m) -> -. (N + 1) <_ m)))
18		anass 487	. . . . . . . . . . . 12 |- (((N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ (f Fn (1...m) -> -. (N + 1) <_ m)) <-> (N <_ m /\ (f Fn (1...m) /\ (f Fn (1...m) -> -. (N + 1) <_ m))))
19		an12 542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((N <_ m /\ (f Fn (1...m) /\ -. (N + 1) <_ m)) <-> (f Fn (1...m) /\ (N <_ m /\ -. (N + 1) <_ m)))
20		abai 537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((f Fn (1...m) /\ -. (N + 1) <_ m) <-> (f Fn (1...m) /\ (f Fn (1...m) -> -. (N + 1) <_ m)))
21	20	anbi2i 538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((N <_ m /\ (f Fn (1...m) /\ -. (N + 1) <_ m)) <-> (N <_ m /\ (f Fn (1...m) /\ (f Fn (1...m) -> -. (N + 1) <_ m))))
22		ancom 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((f Fn (1...m) /\ (N <_ m /\ -. (N + 1) <_ m)) <-> ((N <_ m /\ -. (N + 1) <_ m) /\ f Fn (1...m)))
23	19, 21, 22	3bitr3i 198	. . . . . . . . . . . 12 |- ((N <_ m /\ (f Fn (1...m) /\ (f Fn (1...m) -> -. (N + 1) <_ m))) <-> ((N <_ m /\ -. (N + 1) <_ m) /\ f Fn (1...m)))
24	17, 18, 23	3bitri 194	. . . . . . . . . . 11 |- (((N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ ((N + 1) <_ m -> -. f Fn (1...m))) <-> ((N <_ m /\ -. (N + 1) <_ m) /\ f Fn (1...m)))
25	15, 24	syl6rbbr 598	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. NN /\ m e. NN) -> (((N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ ((N + 1) <_ m -> -. f Fn (1...m))) <-> (m = N /\ f Fn (1...m))))
26	25	rexbidva 2120	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> (E.m e. NN ((N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ ((N + 1) <_ m -> -. f Fn (1...m))) <-> E.m e. NN (m = N /\ f Fn (1...m))))
27		opreq2 4890	. . . . . . . . . . 11 |- (m = N -> (1...m) = (1...N))
28	27	fneq2d 4506	. . . . . . . . . 10 |- (m = N -> (f Fn (1...m) <-> f Fn (1...N)))
29	28	ceqsrexv 2394	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> (E.m e. NN (m = N /\ f Fn (1...m)) <-> f Fn (1...N)))
30	26, 29	bitrd 587	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> (E.m e. NN ((N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ ((N + 1) <_ m -> -. f Fn (1...m))) <-> f Fn (1...N)))
31		r19.29r 2229	. . . . . . . 8 |- ((E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ A.m e. NN ((N + 1) <_ m -> -. f Fn (1...m))) -> E.m e. NN ((N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ ((N + 1) <_ m -> -. f Fn (1...m))))
32	30, 31	syl5bi 225	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> ((E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ A.m e. NN ((N + 1) <_ m -> -. f Fn (1...m))) -> f Fn (1...N)))
33		leid 6701	. . . . . . . . . . . 12 |- (N e. RR -> N <_ N)
34	2, 33	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. NN -> N <_ N)
35	34	anim1i 361	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. NN /\ f Fn (1...N)) -> (N <_ N /\ f Fn (1...N)))
36		breq2 3342	. . . . . . . . . . . 12 |- (m = N -> (N <_ m <-> N <_ N))
37	36, 28	anbi12d 690	. . . . . . . . . . 11 |- (m = N -> ((N <_ m /\ f Fn (1...m)) <-> (N <_ N /\ f Fn (1...N))))
38	37	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. NN /\ (N <_ N /\ f Fn (1...N))) -> E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)))
39	35, 38	syldan 516	. . . . . . . . 9 |- ((N e. NN /\ f Fn (1...N)) -> E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)))
40		fzopth 7674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((N e. (ZZ>=` 1) /\ m e. (ZZ>=` 1)) -> ((1...N) = (1...m) <-> (1 = 1 /\ N = m)))
41		elnnuz 7609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (N e. NN <-> N e. (ZZ>=` 1))
42		elnnuz 7609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (m e. NN <-> m e. (ZZ>=` 1))
43	40, 41, 42	syl2anb 504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((N e. NN /\ m e. NN) -> ((1...N) = (1...m) <-> (1 = 1 /\ N = m)))
44	43	simplbda 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((N e. NN /\ m e. NN) /\ (1...N) = (1...m)) -> N = m)
45	34	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((N e. NN /\ m e. NN) /\ (1...N) = (1...m)) -> N <_ N)
46	44, 45	eqbrtrrd 3359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((N e. NN /\ m e. NN) /\ (1...N) = (1...m)) -> m <_ N)
47	10	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((N e. NN /\ m e. NN) /\ (1...N) = (1...m)) -> (m <_ N <-> -. (N + 1) <_ m))
48	46, 47	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((N e. NN /\ m e. NN) /\ (1...N) = (1...m)) -> -. (N + 1) <_ m)
49		fndmu 4514	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((f Fn (1...N) /\ f Fn (1...m)) -> (1...N) = (1...m))
50	48, 49	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((N e. NN /\ m e. NN) /\ (f Fn (1...N) /\ f Fn (1...m))) -> -. (N + 1) <_ m)
51	50	expr 418	. . . . . . . . . . . 12 |- (((N e. NN /\ m e. NN) /\ f Fn (1...N)) -> (f Fn (1...m) -> -. (N + 1) <_ m))
52	51	an1rs 547	. . . . . . . . . . 11 |- (((N e. NN /\ f Fn (1...N)) /\ m e. NN) -> (f Fn (1...m) -> -. (N + 1) <_ m))
53	52	con2d 107	. . . . . . . . . 10 |- (((N e. NN /\ f Fn (1...N)) /\ m e. NN) -> ((N + 1) <_ m -> -. f Fn (1...m)))
54	53	r19.21aiva 2176	. . . . . . . . 9 |- ((N e. NN /\ f Fn (1...N)) -> A.m e. NN ((N + 1) <_ m -> -. f Fn (1...m)))
55	39, 54	jca 310	. . . . . . . 8 |- ((N e. NN /\ f Fn (1...N)) -> (E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ A.m e. NN ((N + 1) <_ m -> -. f Fn (1...m))))
56	55	ex 402	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> (f Fn (1...N) -> (E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ A.m e. NN ((N + 1) <_ m -> -. f Fn (1...m)))))
57	32, 56	impbid 574	. . . . . 6 |- (N e. NN -> ((E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ A.m e. NN ((N + 1) <_ m -> -. f Fn (1...m))) <-> f Fn (1...N)))
58		ralinexa 2143	. . . . . . 7 |- (A.m e. NN ((N + 1) <_ m -> -. f Fn (1...m)) <-> -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m)))
59	58	anbi2i 538	. . . . . 6 |- ((E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ A.m e. NN ((N + 1) <_ m -> -. f Fn (1...m))) <-> (E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m))))
60	57, 59	syl5bbr 593	. . . . 5 |- (N e. NN -> ((E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m))) <-> f Fn (1...N)))
61	60	anbi1d 679	. . . 4 |- (N e. NN -> (((E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m))) /\ ph) <-> (f Fn (1...N) /\ ph)))
62		eldif 2609	. . . . 5 |- (f e. (Struct(N, f, ph) \ Struct((N + 1), f, ph)) <-> (f e. Struct(N, f, ph) /\ -. f e. Struct((N + 1), f, ph)))
63		dfstruct2 16709	. . . . . . 7 |- Struct(N, f, ph) = {f | (E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ ph)}
64	63	abeq2i 2001	. . . . . 6 |- (f e. Struct(N, f, ph) <-> (E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ ph))
65		dfstruct2 16709	. . . . . . . . 9 |- Struct((N + 1), f, ph) = {f | (E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ ph)}
66	65	abeq2i 2001	. . . . . . . 8 |- (f e. Struct((N + 1), f, ph) <-> (E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ ph))
67	66	notbii 204	. . . . . . 7 |- (-. f e. Struct((N + 1), f, ph) <-> -. (E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ ph))
68		imnan 261	. . . . . . 7 |- ((E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m)) -> -. ph) <-> -. (E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ ph))
69		con2b 182	. . . . . . 7 |- ((E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m)) -> -. ph) <-> (ph -> -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m))))
70	67, 68, 69	3bitr2i 196	. . . . . 6 |- (-. f e. Struct((N + 1), f, ph) <-> (ph -> -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m))))
71	64, 70	anbi12i 540	. . . . 5 |- ((f e. Struct(N, f, ph) /\ -. f e. Struct((N + 1), f, ph)) <-> ((E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ ph) /\ (ph -> -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m)))))
72		anass 487	. . . . . 6 |- (((E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ ph) /\ (ph -> -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m)))) <-> (E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ (ph /\ (ph -> -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m))))))
73		abai 537	. . . . . . 7 |- ((ph /\ -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m))) <-> (ph /\ (ph -> -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m)))))
74	73	anbi2i 538	. . . . . 6 |- ((E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ (ph /\ -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m)))) <-> (E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ (ph /\ (ph -> -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m))))))
75		an12 542	. . . . . . 7 |- ((E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ (ph /\ -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m)))) <-> (ph /\ (E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m)))))
76		ancom 482	. . . . . . 7 |- ((ph /\ (E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m)))) <-> ((E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m))) /\ ph))
77	75, 76	bitri 190	. . . . . 6 |- ((E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ (ph /\ -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m)))) <-> ((E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m))) /\ ph))
78	72, 74, 77	3bitr2i 196	. . . . 5 |- (((E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ ph) /\ (ph -> -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m)))) <-> ((E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m))) /\ ph))
79	62, 71, 78	3bitri 194	. . . 4 |- (f e. (Struct(N, f, ph) \ Struct((N + 1), f, ph)) <-> ((E.m e. NN (N <_ m /\ f Fn (1...m)) /\ -. E.m e. NN ((N + 1) <_ m /\ f Fn (1...m))) /\ ph))
80		abid 1873	. . . 4 |- (f e. {f | (f Fn (1...N) /\ ph)} <-> (f Fn (1...N) /\ ph))
81	61, 79, 80	3bitr4g 614	. . 3 |- (N e. NN -> (f e. (Struct(N, f, ph) \ Struct((N + 1), f, ph)) <-> f e. {f | (f Fn (1...N) /\ ph)}))
82	81	19.21aiv 1664	. 2 |- (N e. NN -> A.f(f e. (Struct(N, f, ph) \ Struct((N + 1), f, ph)) <-> f e. {f | (f Fn (1...N) /\ ph)}))
83		hbstr1 16710	. . . 4 |- (x e. Struct(N, f, ph) -> A.f x e. Struct(N, f, ph))
84		hbstr1 16710	. . . 4 |- (x e. Struct((N + 1), f, ph) -> A.f x e. Struct((N + 1), f, ph))
85	83, 84	hbdif 2729	. . 3 |- (x e. (Struct(N, f, ph) \ Struct((N + 1), f, ph)) -> A.f x e. (Struct(N, f, ph) \ Struct((N + 1), f, ph)))
86		hbab1 1874	. . 3 |- (x e. {f | (f Fn (1...N) /\ ph)} -> A.f x e. {f | (f Fn (1...N) /\ ph)})
87	85, 86	cleqf 1984	. 2 |- ((Struct(N, f, ph) \ Struct((N + 1), f, ph)) = {f | (f Fn (1...N) /\ ph)} <-> A.f(f e. (Struct(N, f, ph) \ Struct((N + 1), f, ph)) <-> f e. {f | (f Fn (1...N) /\ ph)}))
88	82, 87	sylibr 217	1 |- (N e. NN -> (Struct(N, f, ph) \ Struct((N + 1), f, ph)) = {f | (f Fn (1...N) /\ ph)})

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  A.wral 2105  E.wrex 2106   \ cdif 2590   class class class wbr 3338   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637  Structcstru 16707

This theorem is referenced by:  elstrdiff 16720

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-struct 16708

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