Theorem stoweidlem8 31308

Description: Lemma for stoweid 31363: two class variables replace two setvar variables, for the sum of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem8.1	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem8.2	|- F/_ t F
stoweidlem8.3	|- F/_ t G

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem8	|- ( ( ph /\ F e. A /\ G e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) e. A )

Distinct variable groups:   f, g, t   A, f, g   f, F, g   T, f, g   ph, f, g   g, G

Allowed substitution hints:   ph( t)   A( t)   T( t)   F( t)   G( t, f)

Proof of Theorem stoweidlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 998	. 2 |- ( ( ph /\ F e. A /\ G e. A ) -> G e. A )
2		eleq1 2539	. . . . 5 |- ( g = G -> ( g e. A <-> G e. A ) )
3	2	3anbi3d 1305	. . . 4 |- ( g = G -> ( ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) <-> ( ph /\ F e. A /\ G e. A ) ) )
4		stoweidlem8.3	. . . . . . 7 |- F/_ t G
5	4	nfeq2 2646	. . . . . 6 |- F/ t g = G
6		fveq1 5863	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( g ` t ) = ( G ` t ) )
7	6	oveq2d 6298	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) )
8	7	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( g = G /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) )
9	5, 8	mpteq2da 4532	. . . . 5 |- ( g = G -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) )
10	9	eleq1d 2536	. . . 4 |- ( g = G -> ( ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) e. A ) )
11	3, 10	imbi12d 320	. . 3 |- ( g = G -> ( ( ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ F e. A /\ G e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) e. A ) ) )
12		simp2 997	. . . 4 |- ( ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) -> F e. A )
13		eleq1 2539	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f e. A <-> F e. A ) )
14	13	3anbi2d 1304	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) <-> ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) ) )
15		stoweidlem8.2	. . . . . . . . 9 |- F/_ t F
16	15	nfeq2 2646	. . . . . . . 8 |- F/ t f = F
17		fveq1 5863	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f ` t ) = ( F ` t ) )
18	17	oveq1d 6297	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) )
19	18	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ t e. T ) -> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) )
20	16, 19	mpteq2da 4532	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) )
21	20	eleq1d 2536	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
22	14, 21	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) ) )
23		stoweidlem8.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
24	22, 23	vtoclg 3171	. . . 4 |- ( F e. A -> ( ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
25	12, 24	mpcom 36	. . 3 |- ( ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
26	11, 25	vtoclg 3171	. 2 |- ( G e. A -> ( ( ph /\ F e. A /\ G e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) e. A ) )
27	1, 26	mpcom 36	1 |- ( ( ph /\ F e. A /\ G e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   |-> cmpt 4505   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   + caddc 9491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-iota 5549  df-fv 5594  df-ov 6285

This theorem is referenced by:  stoweidlem20  31320  stoweidlem21  31321  stoweidlem22  31322  stoweidlem23  31323