Theorem stoweidlem8 37139

Description: Lemma for stoweid 37194: two class variables replace two setvar variables, for the sum of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem8.1	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem8.2	|- F/_ t F
stoweidlem8.3	|- F/_ t G

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem8	|- ( ( ph /\ F e. A /\ G e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) e. A )

Distinct variable groups:   f, g, t   A, f, g   f, F, g   T, f, g   ph, f, g   g, G

Allowed substitution hints:   ph( t)   A( t)   T( t)   F( t)   G( t, f)

Proof of Theorem stoweidlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 999	. 2 |- ( ( ph /\ F e. A /\ G e. A ) -> G e. A )
2		eleq1 2474	. . . . 5 |- ( g = G -> ( g e. A <-> G e. A ) )
3	2	3anbi3d 1307	. . . 4 |- ( g = G -> ( ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) <-> ( ph /\ F e. A /\ G e. A ) ) )
4		stoweidlem8.3	. . . . . . 7 |- F/_ t G
5	4	nfeq2 2581	. . . . . 6 |- F/ t g = G
6		fveq1 5847	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( g ` t ) = ( G ` t ) )
7	6	oveq2d 6293	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) )
8	7	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( g = G /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) )
9	5, 8	mpteq2da 4479	. . . . 5 |- ( g = G -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) )
10	9	eleq1d 2471	. . . 4 |- ( g = G -> ( ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) e. A ) )
11	3, 10	imbi12d 318	. . 3 |- ( g = G -> ( ( ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ F e. A /\ G e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) e. A ) ) )
12		simp2 998	. . . 4 |- ( ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) -> F e. A )
13		eleq1 2474	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f e. A <-> F e. A ) )
14	13	3anbi2d 1306	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) <-> ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) ) )
15		stoweidlem8.2	. . . . . . . . 9 |- F/_ t F
16	15	nfeq2 2581	. . . . . . . 8 |- F/ t f = F
17		fveq1 5847	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f ` t ) = ( F ` t ) )
18	17	oveq1d 6292	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) )
19	18	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ t e. T ) -> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) )
20	16, 19	mpteq2da 4479	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) )
21	20	eleq1d 2471	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
22	14, 21	imbi12d 318	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) ) )
23		stoweidlem8.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
24	22, 23	vtoclg 3116	. . . 4 |- ( F e. A -> ( ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
25	12, 24	mpcom 34	. . 3 |- ( ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
26	11, 25	vtoclg 3116	. 2 |- ( G e. A -> ( ( ph /\ F e. A /\ G e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) e. A ) )
27	1, 26	mpcom 34	1 |- ( ( ph /\ F e. A /\ G e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   F/_wnfc 2550   |-> cmpt 4452   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   + caddc 9524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-iota 5532  df-fv 5576  df-ov 6280

This theorem is referenced by:  stoweidlem20  37151  stoweidlem21  37152  stoweidlem22  37153  stoweidlem23  37154