Theorem stoweidlem8 37862

Description: Lemma for stoweid 37919: two class variables replace two setvar variables, for the sum of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem8.1	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem8.2	|- F/_ t F
stoweidlem8.3	|- F/_ t G

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem8	|- ( ( ph /\ F e. A /\ G e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) e. A )

Distinct variable groups:   f, g, t   A, f, g   f, F, g   T, f, g   ph, f, g   g, G

Allowed substitution hints:   ph( t)   A( t)   T( t)   F( t)   G( t, f)

Proof of Theorem stoweidlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1009	. 2 |- ( ( ph /\ F e. A /\ G e. A ) -> G e. A )
2		eleq1 2516	. . . . 5 |- ( g = G -> ( g e. A <-> G e. A ) )
3	2	3anbi3d 1344	. . . 4 |- ( g = G -> ( ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) <-> ( ph /\ F e. A /\ G e. A ) ) )
4		stoweidlem8.3	. . . . . . 7 |- F/_ t G
5	4	nfeq2 2606	. . . . . 6 |- F/ t g = G
6		fveq1 5862	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( g ` t ) = ( G ` t ) )
7	6	oveq2d 6304	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) )
8	7	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( g = G /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) )
9	5, 8	mpteq2da 4487	. . . . 5 |- ( g = G -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) )
10	9	eleq1d 2512	. . . 4 |- ( g = G -> ( ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) e. A ) )
11	3, 10	imbi12d 322	. . 3 |- ( g = G -> ( ( ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ F e. A /\ G e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) e. A ) ) )
12		simp2 1008	. . . 4 |- ( ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) -> F e. A )
13		eleq1 2516	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f e. A <-> F e. A ) )
14	13	3anbi2d 1343	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) <-> ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) ) )
15		stoweidlem8.2	. . . . . . . . 9 |- F/_ t F
16	15	nfeq2 2606	. . . . . . . 8 |- F/ t f = F
17		fveq1 5862	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f ` t ) = ( F ` t ) )
18	17	oveq1d 6303	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) )
19	18	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ t e. T ) -> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) )
20	16, 19	mpteq2da 4487	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) )
21	20	eleq1d 2512	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
22	14, 21	imbi12d 322	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) ) )
23		stoweidlem8.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
24	22, 23	vtoclg 3106	. . . 4 |- ( F e. A -> ( ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) )
25	12, 24	mpcom 37	. . 3 |- ( ( ph /\ F e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
26	11, 25	vtoclg 3106	. 2 |- ( G e. A -> ( ( ph /\ F e. A /\ G e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) e. A ) )
27	1, 26	mpcom 37	1 |- ( ( ph /\ F e. A /\ G e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) + ( G ` t ) ) ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   F/_wnfc 2578   |-> cmpt 4460   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   + caddc 9539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-iota 5545  df-fv 5589  df-ov 6291

This theorem is referenced by:  stoweidlem20  37874  stoweidlem21  37875  stoweidlem22  37876  stoweidlem23  37877