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Theorem stoweidlem8 37139
Description: Lemma for stoweid 37194: two class variables replace two setvar variables, for the sum of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem8.1  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem8.2  |-  F/_ t F
stoweidlem8.3  |-  F/_ t G
Assertion
Ref Expression
stoweidlem8  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  e.  A )
Distinct variable groups:    f, g,
t    A, f, g    f, F, g    T, f, g    ph, f, g    g, G
Allowed substitution hints:    ph( t)    A( t)    T( t)    F( t)    G( t, f)

Proof of Theorem stoweidlem8
StepHypRef Expression
1 simp3 999 . 2  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  G  e.  A )
2 eleq1 2474 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
g  e.  A  <->  G  e.  A ) )
323anbi3d 1307 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  (
( ph  /\  F  e.  A  /\  g  e.  A )  <->  ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )
) )
4 stoweidlem8.3 . . . . . . 7  |-  F/_ t G
54nfeq2 2581 . . . . . 6  |-  F/ t  g  =  G
6 fveq1 5847 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  t )  =  ( G `  t ) )
76oveq2d 6293 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( F `  t
)  +  ( g `
 t ) )  =  ( ( F `
 t )  +  ( G `  t
) ) )
87adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  G  /\  t  e.  T )  ->  ( ( F `  t )  +  ( g `  t ) )  =  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )
95, 8mpteq2da 4479 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) ) )
109eleq1d 2471 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
)  +  ( G `
 t ) ) )  e.  A ) )
113, 10imbi12d 318 . . 3  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( ph  /\  F  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  e.  A
) ) )
12 simp2 998 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  F  e.  A )
13 eleq1 2474 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f  e.  A  <->  F  e.  A ) )
14133anbi2d 1306 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  <->  ( ph  /\  F  e.  A  /\  g  e.  A )
) )
15 stoweidlem8.2 . . . . . . . . 9  |-  F/_ t F
1615nfeq2 2581 . . . . . . . 8  |-  F/ t  f  =  F
17 fveq1 5847 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  t )  =  ( F `  t ) )
1817oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  t
)  +  ( g `
 t ) )  =  ( ( F `
 t )  +  ( g `  t
) ) )
1918adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  t  e.  T )  ->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) )  =  ( ( F `  t )  +  ( g `  t ) ) )
2016, 19mpteq2da 4479 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( g `  t ) ) ) )
2120eleq1d 2471 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A ) )
2214, 21imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  F  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
) ) )
23 stoweidlem8.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
2422, 23vtoclg 3116 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  (
( ph  /\  F  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A ) )
2512, 24mpcom 34 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
2611, 25vtoclg 3116 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  (
( ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( F `  t
)  +  ( G `
 t ) ) )  e.  A ) )
271, 26mpcom 34 1  |-  ( (
ph  /\  F  e.  A  /\  G  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  +  ( G `  t ) ) )  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   F/_wnfc 2550    |-> cmpt 4452   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    + caddc 9524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-iota 5532  df-fv 5576  df-ov 6280
This theorem is referenced by:  stoweidlem20  37151  stoweidlem21  37152  stoweidlem22  37153  stoweidlem23  37154
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