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Theorem stoweidlem7 37435
Description: This lemma is used to prove that qn as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91, (at the top of page 91), is such that qn < ε on  T  \  U, and qn > 1 - ε on  V. Here it is proven that, for  n large enough, 1-(k*δ/2)^n > 1 - ε , and 1/(k*δ)^n < ε. The variable  A is used to represent (k*δ) in the paper, and  B is used to represent (k*δ/2). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem7.1  |-  F  =  ( i  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ i
) )
stoweidlem7.2  |-  G  =  ( i  e.  NN0  |->  ( B ^ i ) )
stoweidlem7.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
stoweidlem7.4  |-  ( ph  ->  1  <  A )
stoweidlem7.5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
stoweidlem7.6  |-  ( ph  ->  B  <  1 )
stoweidlem7.7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem7  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( A ^ n
) )  <  E
) )
Distinct variable groups:    i, n, A    B, i, n    i, E, n    ph, i, n   
n, F    n, G
Allowed substitution hints:    F( i)    G( i)

Proof of Theorem stoweidlem7
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11194 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10968 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 stoweidlem7.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
4 stoweidlem7.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( i  e.  NN0  |->  ( B ^ i ) )
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  G  =  ( i  e.  NN0  |->  ( B ^ i ) ) )
6 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  ( B ^ i )  =  ( B ^ k
) )
76adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  i  =  k )  -> 
( B ^ i
)  =  ( B ^ k ) )
8 nnnn0 10876 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
98adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e. 
NN0 )
10 stoweidlem7.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
1110rpcnd 11343 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
1211adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
1312, 9expcld 12413 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( B ^ k )  e.  CC )
145, 7, 9, 13fvmptd 5970 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  =  ( B ^ k
) )
15 1red 9657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
1615renegcld 10045 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  RR )
17 0red 9643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
1810rpred 11341 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
19 neg1lt0 10716 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  <  0
2019a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u 1  <  0
)
2110rpgt0d 11344 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  B )
2216, 17, 18, 20, 21lttrd 9795 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u 1  <  B
)
23 stoweidlem7.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  <  1 )
2418, 15absltd 13470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
)  <  1  <->  ( -u 1  <  B  /\  B  <  1 ) ) )
2522, 23, 24mpbir2and 930 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  B
)  <  1 )
2611, 25expcnv 13900 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN0  |->  ( B ^ i ) )  ~~>  0 )
274, 26syl5eqbr 4459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
281, 2, 3, 14, 27climi 13552 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  < 
E ) )
29 r19.26 2962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  < 
E )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( B ^ k )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( B ^ k
)  -  0 ) )  <  E ) )
3029simprbi 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  < 
E )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( B ^ k
)  -  0 ) )  <  E )
3130ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E )
32 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  i  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ i
) )
3332oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  i  ->  (
( B ^ k
)  -  0 )  =  ( ( B ^ i )  - 
0 ) )
3433fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  =  ( abs `  (
( B ^ i
)  -  0 ) ) )
3534breq1d 4436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (
( abs `  (
( B ^ k
)  -  0 ) )  <  E  <->  ( abs `  ( ( B ^
i )  -  0 ) )  <  E
) )
3635rspccva 3187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( ( B ^
i )  -  0 ) )  <  E
)
3731, 36sylancom 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  (
( B ^ i
)  -  0 ) )  <  E )
38 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ph )
3938, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  B  e.  RR+ )
4039rpred 11341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  B  e.  RR )
41 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  n  e.  NN )
42 nnnn0 10876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  n  e.  NN0 )
44 eluznn0 11228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
i  e.  NN0 )
4543, 44sylancom 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  i  e.  NN0 )
4640, 45reexpcld 12430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( B ^
i )  e.  RR )
47 rpre 11308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E  e.  RR+  ->  E  e.  RR )
4838, 3, 473syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  E  e.  RR )
49 recn 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B ^ i )  e.  RR  ->  ( B ^ i )  e.  CC )
5049subid1d 9974 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B ^ i )  e.  RR  ->  (
( B ^ i
)  -  0 )  =  ( B ^
i ) )
5150adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B ^ i
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( B ^
i )  -  0 )  =  ( B ^ i ) )
5251fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B ^ i
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( abs `  (
( B ^ i
)  -  0 ) )  =  ( abs `  ( B ^ i
) ) )
5352breq1d 4436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B ^ i
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( B ^ i
)  -  0 ) )  <  E  <->  ( abs `  ( B ^ i
) )  <  E
) )
54 abslt 13356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B ^ i
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( B ^ i ) )  <  E  <->  ( -u E  <  ( B ^ i
)  /\  ( B ^ i )  < 
E ) ) )
5553, 54bitrd 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B ^ i
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( B ^ i
)  -  0 ) )  <  E  <->  ( -u E  <  ( B ^ i
)  /\  ( B ^ i )  < 
E ) ) )
5646, 48, 55syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( abs `  ( ( B ^
i )  -  0 ) )  <  E  <->  (
-u E  <  ( B ^ i )  /\  ( B ^ i )  <  E ) ) )
5737, 56mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( -u E  <  ( B ^ i
)  /\  ( B ^ i )  < 
E ) )
5857simprd 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( B ^
i )  <  E
)
59 eluznn 11229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
i  e.  NN )
6041, 59sylancom 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  i  e.  NN )
6118adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
62 nnnn0 10876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  NN0 )
6362adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e. 
NN0 )
6461, 63reexpcld 12430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( B ^ i )  e.  RR )
653rpred 11341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
6665adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  E  e.  RR )
67 1red 9657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
6864, 66, 67ltsub2d 10222 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( B ^ i )  <  E  <->  ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ i ) ) ) )
6938, 60, 68syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( B ^ i )  < 
E  <->  ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ i ) ) ) )
7058, 69mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ i ) ) )
7170ralrimiva 2846 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  < 
E ) )  ->  A. i  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ i
) ) )
7232oveq2d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (
1  -  ( B ^ k ) )  =  ( 1  -  ( B ^ i
) ) )
7372breq2d 4438 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  i  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
k ) )  <->  ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ i ) ) ) )
7473cbvralv 3062 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ k ) )  <->  A. i  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ i
) ) )
7571, 74sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  < 
E ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) ) )
7675ex 435 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  < 
E )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
k ) ) ) )
7776reximdva 2907 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( B ^
k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( B ^ k
)  -  0 ) )  <  E )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ k ) ) ) )
7828, 77mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ k ) ) )
79 stoweidlem7.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( i  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ i
) )
8079a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F  =  ( i  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ i
) ) )
81 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  (
( 1  /  A
) ^ i )  =  ( ( 1  /  A ) ^
k ) )
8281adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  i  =  k )  -> 
( ( 1  /  A ) ^ i
)  =  ( ( 1  /  A ) ^ k ) )
83 stoweidlem7.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
8483recnd 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
85 0lt1 10135 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
8685a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
87 stoweidlem7.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <  A )
8817, 15, 83, 86, 87lttrd 9795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  A )
8988gt0ne0d 10177 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
9084, 89reccld 10375 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  CC )
9190adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  A )  e.  CC )
9291, 9expcld 12413 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A ) ^ k )  e.  CC )
9380, 82, 9, 92fvmptd 5970 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( ( 1  /  A ) ^ k
) )
9483, 89rereccld 10433 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )
9583, 88recgt0d 10541 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  /  A ) )
9616, 17, 94, 20, 95lttrd 9795 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u 1  <  (
1  /  A ) )
97 ltdiv23 10497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )  -> 
( ( 1  /  A )  <  1  <->  ( 1  /  1 )  <  A ) )
9815, 83, 88, 15, 86, 97syl122anc 1273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  <  1  <->  ( 1  /  1 )  <  A ) )
99 1cnd 9658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
10099div1d 10374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  1
)  =  1 )
101100breq1d 4436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
1 )  <  A  <->  1  <  A ) )
10298, 101bitrd 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  <  1  <->  1  <  A ) )
10387, 102mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  <  1 )
10494, 15absltd 13470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  /  A ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( 1  /  A )  /\  ( 1  /  A
)  <  1 ) ) )
10596, 103, 104mpbir2and 930 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  /  A ) )  <  1 )
10690, 105expcnv 13900 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ i
) )  ~~>  0 )
10779, 106syl5eqbr 4459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
1081, 2, 3, 93, 107climi2 13553 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( ( 1  /  A ) ^
k )  -  0 ) )  <  E
)
109 simpll 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ph )
110 uznnssnn 11206 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  n )  C_  NN )
111110ad2antlr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ZZ>= `  n )  C_  NN )
112 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)
113111, 112sseldd 3471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  NN )
11492subid1d 9974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  A
) ^ k )  -  0 )  =  ( ( 1  /  A ) ^ k
) )
115114fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( ( 1  /  A ) ^
k )  -  0 ) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  A ) ^ k ) ) )
11694adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  A )  e.  RR )
117116, 9reexpcld 12430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A ) ^ k )  e.  RR )
11817, 94, 95ltled 9782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  /  A ) )
119118adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( 1  /  A
) )
120116, 9, 119expge0d 12431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( 1  /  A ) ^ k
) )
121117, 120absidd 13463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( 1  /  A ) ^ k
) )  =  ( ( 1  /  A
) ^ k ) )
122115, 121eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( ( 1  /  A ) ^
k )  -  0 ) )  =  ( ( 1  /  A
) ^ k ) )
123122breq1d 4436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( ( ( 1  /  A
) ^ k )  -  0 ) )  <  E  <->  ( (
1  /  A ) ^ k )  < 
E ) )
124123biimpd 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( ( ( 1  /  A
) ^ k )  -  0 ) )  <  E  ->  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )
125109, 113, 124syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( 1  /  A ) ^ k )  - 
0 ) )  < 
E  ->  ( (
1  /  A ) ^ k )  < 
E ) )
126125ralimdva 2840 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( ( 1  /  A ) ^
k )  -  0 ) )  <  E  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )
127126reximdva 2907 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( ( 1  /  A ) ^ k
)  -  0 ) )  <  E  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  /  A ) ^ k )  < 
E ) )
128108, 127mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  /  A ) ^ k )  < 
E )
1291rexanuz2 13391 . . 3  |-  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E )  <->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
k ) )  /\  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  /  A ) ^ k )  < 
E ) )
13078, 128, 129sylanbrc 668 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )
131 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
k ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^ k
)  <  E )
)
132 nnz 10959 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
133 uzid 11173 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
134132, 133syl 17 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
135134ad2antlr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  n ) )
136 oveq2 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ n
) )
137136oveq2d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
1  -  ( B ^ k ) )  =  ( 1  -  ( B ^ n
) ) )
138137breq2d 4438 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
k ) )  <->  ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ n ) ) ) )
139 oveq2 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  A
) ^ k )  =  ( ( 1  /  A ) ^
n ) )
140139breq1d 4436 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( 1  /  A ) ^ k
)  <  E  <->  ( (
1  /  A ) ^ n )  < 
E ) )
141138, 140anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ k ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^
k )  <  E
)  <->  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^
n )  <  E
) ) )
142141rspccva 3187 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
k ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^ k
)  <  E )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^
n )  <  E
) )
143131, 135, 142syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )  ->  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^
n )  <  E
) )
144 1cnd 9658 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
14584, 89jca 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
146145adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
14742adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
148 expdiv 12320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( 1  /  A ) ^
n )  =  ( ( 1 ^ n
)  /  ( A ^ n ) ) )
149144, 146, 147, 148syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A ) ^ n )  =  ( ( 1 ^ n )  /  ( A ^ n ) ) )
150132adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
151 1exp 12298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
152150, 151syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
153152oveq1d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1 ^ n )  /  ( A ^
n ) )  =  ( 1  /  ( A ^ n ) ) )
154149, 153eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A ) ^ n )  =  ( 1  /  ( A ^ n ) ) )
155154breq1d 4436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  A
) ^ n )  <  E  <->  ( 1  /  ( A ^
n ) )  < 
E ) )
156155adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )  ->  ( ( ( 1  /  A ) ^ n )  < 
E  <->  ( 1  / 
( A ^ n
) )  <  E
) )
157156anbi2d 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )  ->  ( ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ n
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ n )  <  E )  <->  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ n
) )  /\  (
1  /  ( A ^ n ) )  <  E ) ) )
158143, 157mpbid 213 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )  ->  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( A ^ n
) )  <  E
) )
159158ex 435 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E )  -> 
( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( A ^ n
) )  <  E
) ) )
160159reximdva 2907 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ k ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^
k )  <  E
)  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( A ^ n
) )  <  E
) ) )
161130, 160mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( A ^ n
) )  <  E
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   -ucneg 9860    / cdiv 10268   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   ^cexp 12269   abscabs 13276    ~~> cli 13526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531
This theorem is referenced by:  stoweidlem49  37478
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