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Theorem stoweidlem7 27623
Description: This lemma is used to prove that qn as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91, (at the top of page 91), is such that qn < ε on  T  \  U, and qn > 1 - ε on  V. Here it is proven that, for  n large enough, 1-(k*δ/2)^n > 1 - ε , and 1/(k*δ)^n < ε. The variable  A is used to represent (k*δ) in the paper, and  B is used to represent (k*δ/2). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem7.1  |-  F  =  ( i  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ i
) )
stoweidlem7.2  |-  G  =  ( i  e.  NN0  |->  ( B ^ i ) )
stoweidlem7.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
stoweidlem7.4  |-  ( ph  ->  1  <  A )
stoweidlem7.5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
stoweidlem7.6  |-  ( ph  ->  B  <  1 )
stoweidlem7.7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem7  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( A ^ n
) )  <  E
) )
Distinct variable groups:    i, n, A    B, i, n    i, E, n    ph, i, n   
n, F    n, G
Allowed substitution hints:    F( i)    G( i)

Proof of Theorem stoweidlem7
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10477 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10267 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 stoweidlem7.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
5 stoweidlem7.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( i  e.  NN0  |->  ( B ^ i ) )
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  G  =  ( i  e.  NN0  |->  ( B ^ i ) ) )
7 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  ( B ^ i )  =  ( B ^ k
) )
87adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  i  =  k )  -> 
( B ^ i
)  =  ( B ^ k ) )
9 nnnn0 10184 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
109adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e. 
NN0 )
11 stoweidlem7.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
1211rpcnd 10606 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
1312adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
1413, 10expcld 11478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( B ^ k )  e.  CC )
156, 8, 10, 14fvmptd 5769 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  =  ( B ^ k
) )
16 1re 9046 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
1817renegcld 9420 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  RR )
19 0re 9047 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
2019a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2111rpred 10604 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
22 0lt1 9506 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
2319, 16ltnegi 9527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  <  1  <->  -u 1  <  -u 0 )
2422, 23mpbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  <  -u 0
25 neg0 9303 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 0  =  0
2624, 25breqtri 4195 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  <  0
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u 1  <  0
)
2811rpgt0d 10607 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  B )
2918, 20, 21, 27, 28lttrd 9187 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u 1  <  B
)
30 stoweidlem7.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  <  1 )
3121, 17absltd 12187 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
)  <  1  <->  ( -u 1  <  B  /\  B  <  1 ) ) )
3229, 30, 31mpbir2and 889 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  B
)  <  1 )
3312, 32expcnv 12598 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN0  |->  ( B ^ i ) )  ~~>  0 )
345, 33syl5eqbr 4205 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  ~~>  0 )
351, 3, 4, 15, 34climi 12259 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  < 
E ) )
36 r19.26 2798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  < 
E )  <->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( B ^ k )  e.  CC  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( B ^ k
)  -  0 ) )  <  E ) )
3736simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  < 
E )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( B ^ k
)  -  0 ) )  <  E )
3837ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E )
39 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  i  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ i
) )
4039oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  i  ->  (
( B ^ k
)  -  0 )  =  ( ( B ^ i )  - 
0 ) )
4140fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  =  ( abs `  (
( B ^ i
)  -  0 ) ) )
4241breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (
( abs `  (
( B ^ k
)  -  0 ) )  <  E  <->  ( abs `  ( ( B ^
i )  -  0 ) )  <  E
) )
4342rspccva 3011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( ( B ^
i )  -  0 ) )  <  E
)
4438, 43sylancom 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( abs `  (
( B ^ i
)  -  0 ) )  <  E )
45 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ph )
4645, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  B  e.  RR+ )
4746rpred 10604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  B  e.  RR )
48 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  n  e.  NN )
49 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  n  e.  NN0 )
51 eluznn0 10502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
i  e.  NN0 )
5250, 51sylancom 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  i  e.  NN0 )
5347, 52reexpcld 11495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( B ^
i )  e.  RR )
54 rpre 10574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E  e.  RR+  ->  E  e.  RR )
5545, 4, 543syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  E  e.  RR )
56 recn 9036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B ^ i )  e.  RR  ->  ( B ^ i )  e.  CC )
5756subid1d 9356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B ^ i )  e.  RR  ->  (
( B ^ i
)  -  0 )  =  ( B ^
i ) )
5857adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B ^ i
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( B ^
i )  -  0 )  =  ( B ^ i ) )
5958fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B ^ i
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( abs `  (
( B ^ i
)  -  0 ) )  =  ( abs `  ( B ^ i
) ) )
6059breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B ^ i
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( B ^ i
)  -  0 ) )  <  E  <->  ( abs `  ( B ^ i
) )  <  E
) )
61 abslt 12073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B ^ i
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( B ^ i ) )  <  E  <->  ( -u E  <  ( B ^ i
)  /\  ( B ^ i )  < 
E ) ) )
6260, 61bitrd 245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B ^ i
)  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( B ^ i
)  -  0 ) )  <  E  <->  ( -u E  <  ( B ^ i
)  /\  ( B ^ i )  < 
E ) ) )
6353, 55, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( abs `  ( ( B ^
i )  -  0 ) )  <  E  <->  (
-u E  <  ( B ^ i )  /\  ( B ^ i )  <  E ) ) )
6444, 63mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( -u E  <  ( B ^ i
)  /\  ( B ^ i )  < 
E ) )
6564simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( B ^
i )  <  E
)
66 uznnssnn 10480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  n )  C_  NN )
6766sselda 3308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
i  e.  NN )
6848, 67sylancom 649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  i  e.  NN )
6921adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
70 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  NN0 )
7170adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  i  e. 
NN0 )
7269, 71reexpcld 11495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( B ^ i )  e.  RR )
734rpred 10604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
7473adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  E  e.  RR )
7516a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
7672, 74, 75ltsub2d 9592 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( B ^ i )  <  E  <->  ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ i ) ) ) )
7745, 68, 76syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( ( B ^ i )  < 
E  <->  ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ i ) ) ) )
7865, 77mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  -  0 ) )  <  E ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ i ) ) )
7978ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  < 
E ) )  ->  A. i  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ i
) ) )
8039oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (
1  -  ( B ^ k ) )  =  ( 1  -  ( B ^ i
) ) )
8180breq2d 4184 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  i  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
k ) )  <->  ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ i ) ) ) )
8281cbvralv 2892 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ k ) )  <->  A. i  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ i
) ) )
8379, 82sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  < 
E ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) ) )
8483ex 424 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( B ^ k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( B ^ k )  - 
0 ) )  < 
E )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
k ) ) ) )
8584reximdva 2778 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( B ^
k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( B ^ k
)  -  0 ) )  <  E )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ k ) ) ) )
8635, 85mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ k ) ) )
87 stoweidlem7.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( i  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ i
) )
8887a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F  =  ( i  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ i
) ) )
89 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  (
( 1  /  A
) ^ i )  =  ( ( 1  /  A ) ^
k ) )
9089adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  i  =  k )  -> 
( ( 1  /  A ) ^ i
)  =  ( ( 1  /  A ) ^ k ) )
91 stoweidlem7.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
9291recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
9322a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
94 stoweidlem7.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <  A )
9520, 17, 91, 93, 94lttrd 9187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  A )
9695gt0ne0d 9547 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
9792, 96reccld 9739 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  CC )
9897adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  A )  e.  CC )
9998, 10expcld 11478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A ) ^ k )  e.  CC )
10088, 90, 10, 99fvmptd 5769 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( ( 1  /  A ) ^ k
) )
10191, 96rereccld 9797 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )
10291, 95recgt0d 9901 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  /  A ) )
10318, 20, 101, 27, 102lttrd 9187 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u 1  <  (
1  /  A ) )
104 ltdiv23 9857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )  -> 
( ( 1  /  A )  <  1  <->  ( 1  /  1 )  <  A ) )
10517, 91, 95, 17, 93, 104syl122anc 1193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  <  1  <->  ( 1  /  1 )  <  A ) )
106 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
108107div1d 9738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  1
)  =  1 )
109108breq1d 4182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
1 )  <  A  <->  1  <  A ) )
110105, 109bitrd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  A )  <  1  <->  1  <  A ) )
11194, 110mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  <  1 )
112101, 17absltd 12187 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  /  A ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( 1  /  A )  /\  ( 1  /  A
)  <  1 ) ) )
113103, 111, 112mpbir2and 889 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  /  A ) )  <  1 )
11497, 113expcnv 12598 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  A ) ^ i
) )  ~~>  0 )
11587, 114syl5eqbr 4205 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
1161, 3, 4, 100, 115climi2 12260 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( ( 1  /  A ) ^
k )  -  0 ) )  <  E
)
117 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ph )
11866ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ZZ>= `  n )  C_  NN )
119 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)
120118, 119sseldd 3309 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  NN )
12199subid1d 9356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  A
) ^ k )  -  0 )  =  ( ( 1  /  A ) ^ k
) )
122121fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( ( 1  /  A ) ^
k )  -  0 ) )  =  ( abs `  ( ( 1  /  A ) ^ k ) ) )
123101adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  A )  e.  RR )
124123, 10reexpcld 11495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A ) ^ k )  e.  RR )
12520, 101, 102ltled 9177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  /  A ) )
126125adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( 1  /  A
) )
127123, 10, 126expge0d 11496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( 1  /  A ) ^ k
) )
128124, 127absidd 12180 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( 1  /  A ) ^ k
) )  =  ( ( 1  /  A
) ^ k ) )
129122, 128eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( ( 1  /  A ) ^
k )  -  0 ) )  =  ( ( 1  /  A
) ^ k ) )
130129breq1d 4182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( ( ( 1  /  A
) ^ k )  -  0 ) )  <  E  <->  ( (
1  /  A ) ^ k )  < 
E ) )
131130biimpd 199 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( ( ( 1  /  A
) ^ k )  -  0 ) )  <  E  ->  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )
132117, 120, 131syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( 1  /  A ) ^ k )  - 
0 ) )  < 
E  ->  ( (
1  /  A ) ^ k )  < 
E ) )
133132ralimdva 2744 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( ( 1  /  A ) ^
k )  -  0 ) )  <  E  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )
134133reximdva 2778 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( ( 1  /  A ) ^ k
)  -  0 ) )  <  E  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  /  A ) ^ k )  < 
E ) )
135116, 134mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  /  A ) ^ k )  < 
E )
1361rexanuz2 12108 . . 3  |-  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E )  <->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
k ) )  /\  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  /  A ) ^ k )  < 
E ) )
13786, 135, 136sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )
138 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
k ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^ k
)  <  E )
)
139 nnz 10259 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
140 uzid 10456 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
141139, 140syl 16 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ( ZZ>= `  n )
)
142141ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  n ) )
143 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ n
) )
144143oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
1  -  ( B ^ k ) )  =  ( 1  -  ( B ^ n
) ) )
145144breq2d 4184 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
k ) )  <->  ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ n ) ) ) )
146 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  A
) ^ k )  =  ( ( 1  /  A ) ^
n ) )
147146breq1d 4182 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( 1  /  A ) ^ k
)  <  E  <->  ( (
1  /  A ) ^ n )  < 
E ) )
148145, 147anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ k ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^
k )  <  E
)  <->  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^
n )  <  E
) ) )
149148rspccva 3011 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E
)  <  ( 1  -  ( B ^
k ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^ k
)  <  E )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^
n )  <  E
) )
150138, 142, 149syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )  ->  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^
n )  <  E
) )
151106a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
15292, 96jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
153152adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
15449adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
155 expdiv 11385 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( 1  /  A ) ^
n )  =  ( ( 1 ^ n
)  /  ( A ^ n ) ) )
156151, 153, 154, 155syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A ) ^ n )  =  ( ( 1 ^ n )  /  ( A ^ n ) ) )
157139adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
158 1exp 11364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
159157, 158syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
160159oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1 ^ n )  /  ( A ^
n ) )  =  ( 1  /  ( A ^ n ) ) )
161156, 160eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A ) ^ n )  =  ( 1  /  ( A ^ n ) ) )
162161breq1d 4182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  /  A
) ^ n )  <  E  <->  ( 1  /  ( A ^
n ) )  < 
E ) )
163162adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )  ->  ( ( ( 1  /  A ) ^ n )  < 
E  <->  ( 1  / 
( A ^ n
) )  <  E
) )
164163anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )  ->  ( ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ n
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ n )  <  E )  <->  ( (
1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ n
) )  /\  (
1  /  ( A ^ n ) )  <  E ) ) )
165150, 164mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E ) )  ->  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( A ^ n
) )  <  E
) )
166165ex 424 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( ( 1  -  E )  <  ( 1  -  ( B ^ k
) )  /\  (
( 1  /  A
) ^ k )  <  E )  -> 
( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( A ^ n
) )  <  E
) ) )
167166reximdva 2778 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ k ) )  /\  ( ( 1  /  A ) ^
k )  <  E
)  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  < 
( 1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( A ^ n
) )  <  E
) ) )
168137, 167mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1  -  E )  <  (
1  -  ( B ^ n ) )  /\  ( 1  / 
( A ^ n
) )  <  E
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ^cexp 11337   abscabs 11994    ~~> cli 12233
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238
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