Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem7 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweidlem7 37867
 Description: This lemma is used to prove that qn as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91, (at the top of page 91), is such that qn < ε on , and qn > 1 - ε on . Here it is proven that, for large enough, 1-(k*δ/2)^n > 1 - ε , and 1/(k*δ)^n < ε. The variable is used to represent (k*δ) in the paper, and is used to represent (k*δ/2). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem7.1
stoweidlem7.2
stoweidlem7.3
stoweidlem7.4
stoweidlem7.5
stoweidlem7.6
stoweidlem7.7
Assertion
Ref Expression
stoweidlem7
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem stoweidlem7
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11194 . . . . 5
2 1zzd 10968 . . . . 5
3 stoweidlem7.7 . . . . 5
4 stoweidlem7.2 . . . . . . 7
54a1i 11 . . . . . 6
6 oveq2 6298 . . . . . . 7
76adantl 468 . . . . . 6
8 nnnn0 10876 . . . . . . 7
98adantl 468 . . . . . 6
10 stoweidlem7.5 . . . . . . . . 9
1110rpcnd 11343 . . . . . . . 8
1211adantr 467 . . . . . . 7
1312, 9expcld 12416 . . . . . 6
145, 7, 9, 13fvmptd 5954 . . . . 5
15 1red 9658 . . . . . . . . . 10
1615renegcld 10046 . . . . . . . . 9
17 0red 9644 . . . . . . . . 9
1810rpred 11341 . . . . . . . . 9
19 neg1lt0 10716 . . . . . . . . . 10
2019a1i 11 . . . . . . . . 9
2110rpgt0d 11344 . . . . . . . . 9
2216, 17, 18, 20, 21lttrd 9796 . . . . . . . 8
23 stoweidlem7.6 . . . . . . . 8
2418, 15absltd 13491 . . . . . . . 8
2522, 23, 24mpbir2and 933 . . . . . . 7
2611, 25expcnv 13922 . . . . . 6
274, 26syl5eqbr 4436 . . . . 5
281, 2, 3, 14, 27climi 13574 . . . 4
29 r19.26 2917 . . . . . . . . . . . . . 14
3029simprbi 466 . . . . . . . . . . . . 13
3130ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . 12
32 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3332oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14
3534breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . 13
3635rspccva 3149 . . . . . . . . . . . 12
3731, 36sylancom 673 . . . . . . . . . . 11
38 simplll 768 . . . . . . . . . . . . . . 15
3938, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
4039rpred 11341 . . . . . . . . . . . . 13
41 simpllr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 nnnn0 10876 . . . . . . . . . . . . . . 15
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
44 eluznn0 11228 . . . . . . . . . . . . . 14
4543, 44sylancom 673 . . . . . . . . . . . . 13
4640, 45reexpcld 12433 . . . . . . . . . . . 12
47 rpre 11308 . . . . . . . . . . . . 13
4838, 3, 473syl 18 . . . . . . . . . . . 12
49 recn 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5049subid1d 9975 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5150adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15
5251fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14
5352breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . 13
54 abslt 13377 . . . . . . . . . . . . 13
5553, 54bitrd 257 . . . . . . . . . . . 12
5646, 48, 55syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11
5737, 56mpbid 214 . . . . . . . . . 10
5857simprd 465 . . . . . . . . 9
59 eluznn 11229 . . . . . . . . . . 11
6041, 59sylancom 673 . . . . . . . . . 10
6118adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
62 nnnn0 10876 . . . . . . . . . . . . 13
6362adantl 468 . . . . . . . . . . . 12
6461, 63reexpcld 12433 . . . . . . . . . . 11
653rpred 11341 . . . . . . . . . . . 12
6665adantr 467 . . . . . . . . . . 11
67 1red 9658 . . . . . . . . . . 11
6864, 66, 67ltsub2d 10223 . . . . . . . . . 10
6938, 60, 68syl2anc 667 . . . . . . . . 9
7058, 69mpbid 214 . . . . . . . 8
7170ralrimiva 2802 . . . . . . 7
7232oveq2d 6306 . . . . . . . . 9
7372breq2d 4414 . . . . . . . 8
7473cbvralv 3019 . . . . . . 7
7571, 74sylibr 216 . . . . . 6
7675ex 436 . . . . 5
7776reximdva 2862 . . . 4
7828, 77mpd 15 . . 3
79 stoweidlem7.1 . . . . . . 7
8079a1i 11 . . . . . 6
81 oveq2 6298 . . . . . . 7
8281adantl 468 . . . . . 6
83 stoweidlem7.3 . . . . . . . . . 10
8483recnd 9669 . . . . . . . . 9
85 0lt1 10136 . . . . . . . . . . . 12
8685a1i 11 . . . . . . . . . . 11
87 stoweidlem7.4 . . . . . . . . . . 11
8817, 15, 83, 86, 87lttrd 9796 . . . . . . . . . 10
8988gt0ne0d 10178 . . . . . . . . 9
9084, 89reccld 10376 . . . . . . . 8
9190adantr 467 . . . . . . 7
9291, 9expcld 12416 . . . . . 6
9380, 82, 9, 92fvmptd 5954 . . . . 5
9483, 89rereccld 10434 . . . . . . . . 9
9583, 88recgt0d 10541 . . . . . . . . 9
9616, 17, 94, 20, 95lttrd 9796 . . . . . . . 8
97 ltdiv23 10497 . . . . . . . . . . 11
9815, 83, 88, 15, 86, 97syl122anc 1277 . . . . . . . . . 10
99 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . 12
10099div1d 10375 . . . . . . . . . . 11
101100breq1d 4412 . . . . . . . . . 10
10298, 101bitrd 257 . . . . . . . . 9
10387, 102mpbird 236 . . . . . . . 8
10494, 15absltd 13491 . . . . . . . 8
10596, 103, 104mpbir2and 933 . . . . . . 7
10690, 105expcnv 13922 . . . . . 6
10779, 106syl5eqbr 4436 . . . . 5
1081, 2, 3, 93, 107climi2 13575 . . . 4
109 simpll 760 . . . . . . 7
110 uznnssnn 11206 . . . . . . . . 9
111110ad2antlr 733 . . . . . . . 8
112 simpr 463 . . . . . . . 8
113111, 112sseldd 3433 . . . . . . 7
11492subid1d 9975 . . . . . . . . . . 11
115114fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10
11694adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
117116, 9reexpcld 12433 . . . . . . . . . . 11
11817, 94, 95ltled 9783 . . . . . . . . . . . . 13
119118adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
120116, 9, 119expge0d 12434 . . . . . . . . . . 11
121117, 120absidd 13484 . . . . . . . . . 10
122115, 121eqtrd 2485 . . . . . . . . 9
123122breq1d 4412 . . . . . . . 8
124123biimpd 211 . . . . . . 7
125109, 113, 124syl2anc 667 . . . . . 6
126125ralimdva 2796 . . . . 5
127126reximdva 2862 . . . 4
128108, 127mpd 15 . . 3
1291rexanuz2 13412 . . 3
13078, 128, 129sylanbrc 670 . 2
131 simpr 463 . . . . . 6
132 nnz 10959 . . . . . . . 8
133 uzid 11173 . . . . . . . 8
134132, 133syl 17 . . . . . . 7
135134ad2antlr 733 . . . . . 6
136 oveq2 6298 . . . . . . . . . 10
137136oveq2d 6306 . . . . . . . . 9
138137breq2d 4414 . . . . . . . 8
139 oveq2 6298 . . . . . . . . 9
140139breq1d 4412 . . . . . . . 8
141138, 140anbi12d 717 . . . . . . 7
142141rspccva 3149 . . . . . 6
143131, 135, 142syl2anc 667 . . . . 5
144 1cnd 9659 . . . . . . . . . 10
14584, 89jca 535 . . . . . . . . . . 11
146145adantr 467 . . . . . . . . . 10
14742adantl 468 . . . . . . . . . 10
148 expdiv 12323 . . . . . . . . . 10
149144, 146, 147, 148syl3anc 1268 . . . . . . . . 9
150132adantl 468 . . . . . . . . . . 11
151 1exp 12301 . . . . . . . . . . 11
152150, 151syl 17 . . . . . . . . . 10
153152oveq1d 6305 . . . . . . . . 9
154149, 153eqtrd 2485 . . . . . . . 8
155154breq1d 4412 . . . . . . 7
156155adantr 467 . . . . . 6
157156anbi2d 710 . . . . 5
158143, 157mpbid 214 . . . 4
159158ex 436 . . 3
160159reximdva 2862 . 2
161130, 160mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  wrex 2738   wss 3404   class class class wbr 4402   cmpt 4461  cfv 5582  (class class class)co 6290  cc 9537  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   clt 9675   cle 9676   cmin 9860  cneg 9861   cdiv 10269  cn 10609  cn0 10869  cz 10937  cuz 11159  crp 11302  cexp 12272  cabs 13297   cli 13548 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553 This theorem is referenced by:  stoweidlem49  37910
 Copyright terms: Public domain W3C validator