Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem62OLD Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem stoweidlem62OLD 38036
 Description: This theorem proves the Stone Weierstrass theorem for the non-trivial case in which T is nonempty. The proof follows [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.) Obsolete version of stoweidlem62 38035 as of 13-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem62OLD.1
stoweidlem62OLD.2
stoweidlem62OLD.3
stoweidlem62OLD.4
stoweidlem62OLD.5
stoweidlem62OLD.6
stoweidlem62OLD.7
stoweidlem62OLD.8
stoweidlem62OLD.9
stoweidlem62OLD.10
stoweidlem62OLD.11
stoweidlem62OLD.12
stoweidlem62OLD.13
stoweidlem62OLD.14
stoweidlem62OLD.15
stoweidlem62OLD.16
stoweidlem62OLD.17
Assertion
Ref Expression
stoweidlem62OLD
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,,,)   (,,)   ()   (,,)   (,,,,)

Proof of Theorem stoweidlem62OLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem62OLD.4 . . . . 5
2 nfmpt1 4485 . . . . 5
31, 2nfcxfr 2610 . . . 4
4 stoweidlem62OLD.3 . . . 4
5 stoweidlem62OLD.5 . . . 4
6 stoweidlem62OLD.7 . . . 4
7 stoweidlem62OLD.6 . . . 4
8 stoweidlem62OLD.16 . . . 4
9 stoweidlem62OLD.8 . . . 4
10 stoweidlem62OLD.9 . . . 4
11 eleq1 2537 . . . . . . 7
12113anbi3d 1371 . . . . . 6
13 fveq1 5878 . . . . . . . . 9
1413oveq2d 6324 . . . . . . . 8
1514mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
1615eleq1d 2533 . . . . . 6
1712, 16imbi12d 327 . . . . 5
18 stoweidlem62OLD.10 . . . . 5
1917, 18chvarv 2120 . . . 4
2013oveq2d 6324 . . . . . . . 8
2120mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
2221eleq1d 2533 . . . . . 6
2312, 22imbi12d 327 . . . . 5
24 stoweidlem62OLD.11 . . . . 5
2523, 24chvarv 2120 . . . 4
26 stoweidlem62OLD.12 . . . 4
27 stoweidlem62OLD.13 . . . 4
28 stoweidlem62OLD.1 . . . . . 6
2928nfrn 5083 . . . . . . 7
30 nfcv 2612 . . . . . . 7
31 nfcv 2612 . . . . . . 7
3229, 30, 31nfsup 7983 . . . . . 6
33 eqid 2471 . . . . . 6
34 cmptop 20487 . . . . . . 7
356, 34syl 17 . . . . . 6
36 stoweidlem62OLD.14 . . . . . 6
3736, 9syl6eleq 2559 . . . . . . . 8
3828, 4, 7, 5, 6, 37, 8stoweidlem29OLD 38002 . . . . . . 7
3938simp2d 1043 . . . . . 6
4028, 32, 4, 7, 33, 5, 35, 9, 36, 39stoweidlem47 38020 . . . . 5
411, 40syl5eqel 2553 . . . 4
4238simp3d 1044 . . . . . . . . 9
4342r19.21bi 2776 . . . . . . . 8
445, 7, 9, 36fcnre 37409 . . . . . . . . . 10
4544fnvinran 37398 . . . . . . . . 9
4639adantr 472 . . . . . . . . 9
4745, 46subge0d 10224 . . . . . . . 8
4843, 47mpbird 240 . . . . . . 7
49 simpr 468 . . . . . . . 8
5045, 46resubcld 10068 . . . . . . . 8
511fvmpt2 5972 . . . . . . . 8
5249, 50, 51syl2anc 673 . . . . . . 7
5348, 52breqtrrd 4422 . . . . . 6
5453ex 441 . . . . 5
554, 54ralrimi 2800 . . . 4
56 stoweidlem62OLD.15 . . . . 5
5756rphalfcld 11376 . . . 4
5856rpred 11364 . . . . . 6
5958rehalfcld 10882 . . . . 5
60 3re 10705 . . . . . . 7
61 3ne0 10726 . . . . . . 7
6260, 61rereccli 10394 . . . . . 6
6362a1i 11 . . . . 5
64 rphalflt 11352 . . . . . 6
6556, 64syl 17 . . . . 5
66 stoweidlem62OLD.17 . . . . 5
6759, 58, 63, 65, 66lttrd 9813 . . . 4
683, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 25, 26, 27, 41, 55, 57, 67stoweidlem61 38034 . . 3
69 nfra1 2785 . . . . . . 7
704, 69nfan 2031 . . . . . 6
71 rsp 2773 . . . . . . 7
7256rpcnd 11366 . . . . . . . . . 10
73 2cnd 10704 . . . . . . . . . 10
74 2ne0 10724 . . . . . . . . . . 11
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10
7672, 73, 75divcan2d 10407 . . . . . . . . 9
7776breq2d 4407 . . . . . . . 8
7877biimpd 212 . . . . . . 7
7971, 78sylan9r 670 . . . . . 6
8070, 79ralrimi 2800 . . . . 5
8180ex 441 . . . 4
8281reximdv 2857 . . 3
8368, 82mpd 15 . 2
84 nfmpt1 4485 . . 3
85 nfcv 2612 . . 3
86 nfv 1769 . . . . 5
87 nfra1 2785 . . . . 5
8886, 87nfan 2031 . . . 4
894, 88nfan 2031 . . 3
90 eqid 2471 . . 3
9144adantr 472 . . 3
9239adantr 472 . . 3
93183adant1r 1285 . . 3
9426adantlr 729 . . 3
95 stoweidlem62OLD.2 . . . . 5
9610sseld 3417 . . . . . . . 8
979eleq2i 2541 . . . . . . . 8
9896, 97syl6ib 234 . . . . . . 7
99 eqid 2471 . . . . . . . 8
100 uniretop 21861 . . . . . . . . 9
1015unieqi 4199 . . . . . . . . 9
102100, 101eqtr4i 2496 . . . . . . . 8
10399, 102cnf 20339 . . . . . . 7
10498, 103syl6 33 . . . . . 6
105 feq2 5721 . . . . . . 7
1067, 105mp1i 13 . . . . . 6
107104, 106sylibrd 242 . . . . 5
10895, 107ralrimi 2800 . . . 4
109108adantr 472 . . 3
110 simprl 772 . . 3
11152eqcomd 2477 . . . . . . . . 9
112111oveq2d 6324 . . . . . . . 8
113112fveq2d 5883 . . . . . . 7
114113adantlr 729 . . . . . 6
115 simplrr 779 . . . . . . 7
116 rspa 2774 . . . . . . 7
117115, 116sylancom 680 . . . . . 6
118114, 117eqbrtrd 4416 . . . . 5
119118ex 441 . . . 4
12089, 119ralrimi 2800 . . 3
12184, 85, 32, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 109, 110, 120stoweidlem21 37993 . 2
12283, 121rexlimddv 2875 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wnf 1675   wcel 1904  wnfc 2599   wne 2641  wral 2756  wrex 2757   wss 3390  c0 3722  csn 3959  cuni 4190   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837  ccnv 4838   crn 4840  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  csup 7972  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  c2 10681  c3 10682  crp 11325  cioo 11660  cabs 13374  ctg 15414  ctop 19994   ccn 20317  ccmp 20478 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator