Theorem stoweidlem62 27678

Description: This theorem proves the Stone Weierstrass theorem for the non-trivial case in which T is nonempty. The proof follows [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem62.1	|- F/_ t F
stoweidlem62.2	|- F/ f ph
stoweidlem62.3	|- F/ t ph
stoweidlem62.4	|- H = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
stoweidlem62.5	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem62.6	|- T = U. J
stoweidlem62.7	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem62.8	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem62.9	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem62.10	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem62.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem62.12	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem62.13	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem62.14	|- ( ph -> F e. C )
stoweidlem62.15	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem62.16	|- ( ph -> T =/= (/) )
stoweidlem62.17	|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem62	|- ( ph -> E. f e. A A. t e. T ( abs ` ( ( f ` t ) - ( F ` t ) ) ) < E )

Distinct variable groups:   f, g, t, A   f, q, r, x, t, A   f, E, g, t   f, F, g   f, H, g   f, J, r, t   T, f, g, t   ph, f, g   E, q, r, x   H, q, r, x   T, q, r, x   ph, q, r, x   t, K   x, F

Allowed substitution hints:   ph( t)   C( x, t, f, g, r, q)   F( t, r, q)   H( t)   J( x, g, q)   K( x, f, g, r, q)

Proof of Theorem stoweidlem62

Dummy variable h is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem62.4	. . . . 5 |- H = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
2		nfmpt1 4258	. . . . 5 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
3	1, 2	nfcxfr 2537	. . . 4 |- F/_ t H
4		stoweidlem62.3	. . . 4 |- F/ t ph
5		stoweidlem62.5	. . . 4 |- K = ( topGen ` ran (,) )
6		stoweidlem62.7	. . . 4 |- ( ph -> J e. Comp )
7		stoweidlem62.6	. . . 4 |- T = U. J
8		stoweidlem62.16	. . . 4 |- ( ph -> T =/= (/) )
9		stoweidlem62.8	. . . 4 |- C = ( J Cn K )
10		stoweidlem62.9	. . . 4 |- ( ph -> A C_ C )
11		eleq1 2464	. . . . . . 7 |- ( g = h -> ( g e. A <-> h e. A ) )
12	11	3anbi3d 1260	. . . . . 6 |- ( g = h -> ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) <-> ( ph /\ f e. A /\ h e. A ) ) )
13		fveq1 5686	. . . . . . . . 9 |- ( g = h -> ( g ` t ) = ( h ` t ) )
14	13	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( g = h -> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( f ` t ) + ( h ` t ) ) )
15	14	mpteq2dv 4256	. . . . . . 7 |- ( g = h -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( h ` t ) ) ) )
16	15	eleq1d 2470	. . . . . 6 |- ( g = h -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( h ` t ) ) ) e. A ) )
17	12, 16	imbi12d 312	. . . . 5 |- ( g = h -> ( ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ f e. A /\ h e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( h ` t ) ) ) e. A ) ) )
18		stoweidlem62.10	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
19	17, 18	chvarv 2063	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ h e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( h ` t ) ) ) e. A )
20	13	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( g = h -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( f ` t ) x. ( h ` t ) ) )
21	20	mpteq2dv 4256	. . . . . . 7 |- ( g = h -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( h ` t ) ) ) )
22	21	eleq1d 2470	. . . . . 6 |- ( g = h -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( h ` t ) ) ) e. A ) )
23	12, 22	imbi12d 312	. . . . 5 |- ( g = h -> ( ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ f e. A /\ h e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( h ` t ) ) ) e. A ) ) )
24		stoweidlem62.11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
25	23, 24	chvarv 2063	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ h e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( h ` t ) ) ) e. A )
26		stoweidlem62.12	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
27		stoweidlem62.13	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
28		stoweidlem62.1	. . . . . 6 |- F/_ t F
29	28	nfrn 5071	. . . . . . 7 |- F/_ t ran F
30		nfcv 2540	. . . . . . 7 |- F/_ t RR
31		nfcv 2540	. . . . . . 7 |- F/_ t `' <
32	29, 30, 31	nfsup 7412	. . . . . 6 |- F/_ t sup ( ran F , RR , `' < )
33		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( T X. { -u sup ( ran F , RR , `' < ) } ) = ( T X. { -u sup ( ran F , RR , `' < ) } )
34		cmptop 17412	. . . . . . 7 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
35	6, 34	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. Top )
36		stoweidlem62.14	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. C )
37	36, 9	syl6eleq 2494	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
38	28, 4, 7, 5, 6, 37, 8	stoweidlem29 27645	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sup ( ran F , RR , `' < ) e. ran F /\ sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR /\ A. t e. T sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) ) )
39	38	simp2d 970	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR )
40	28, 32, 4, 7, 33, 5, 35, 9, 36, 39	stoweidlem47 27663	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) e. C )
41	1, 40	syl5eqel 2488	. . . 4 |- ( ph -> H e. C )
42	38	simp3d 971	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. t e. T sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) )
43	42	r19.21bi 2764	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) )
44	5, 7, 9, 36	fcnre 27563	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : T --> RR )
45	44	fnvinran 27552	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. RR )
46	39	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR )
47	45, 46	subge0d 9572	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) <-> sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) ) )
48	43, 47	mpbird 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
49		simpr 448	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
50	45, 46	resubcld 9421	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) e. RR )
51	1	fvmpt2 5771	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. T /\ ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) e. RR ) -> ( H ` t ) = ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
52	49, 50, 51	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( H ` t ) = ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
53	48, 52	breqtrrd 4198	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( H ` t ) )
54	53	ex 424	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T -> 0 <_ ( H ` t ) ) )
55	4, 54	ralrimi 2747	. . . 4 |- ( ph -> A. t e. T 0 <_ ( H ` t ) )
56		stoweidlem62.15	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
57	56	rphalfcld 10616	. . . 4 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. RR+ )
58	56	rpred 10604	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. RR )
59	58	rehalfcld 10170	. . . . 5 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. RR )
60		3re 10027	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
61		3ne0 10041	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
62	60, 61	rereccli 9735	. . . . . 6 |- ( 1 / 3 ) e. RR
63	62	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 3 ) e. RR )
64		rphalflt 10594	. . . . . 6 |- ( E e. RR+ -> ( E / 2 ) < E )
65	56, 64	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( E / 2 ) < E )
66		stoweidlem62.17	. . . . 5 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
67	59, 58, 63, 65, 66	lttrd 9187	. . . 4 |- ( ph -> ( E / 2 ) < ( 1 / 3 ) )
68	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 25, 26, 27, 41, 55, 57, 67	stoweidlem61 27677	. . 3 |- ( ph -> E. h e. A A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) )
69		nfra1 2716	. . . . . . 7 |- F/ t A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) )
70	4, 69	nfan 1842	. . . . . 6 |- F/ t ( ph /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) )
71		rsp 2726	. . . . . . 7 |- ( A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) -> ( t e. T -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) ) )
72	56	rpcnd 10606	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. CC )
73		2cn 10026	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. CC )
75		2ne0 10039	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
77	72, 74, 76	divcan2d 9748	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. ( E / 2 ) ) = E )
78	77	breq2d 4184	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) <-> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
79	78	biimpd 199	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
80	71, 79	sylan9r 640	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) ) -> ( t e. T -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
81	70, 80	ralrimi 2747	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) ) -> A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
82	81	ex 424	. . . 4 |- ( ph -> ( A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) -> A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
83	82	reximdv 2777	. . 3 |- ( ph -> ( E. h e. A A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) -> E. h e. A A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
84	68, 83	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. h e. A A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
85		nfmpt1 4258	. . 3 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( h ` t ) + sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
86		nfcv 2540	. . 3 |- F/_ t h
87		nfv 1626	. . . . 5 |- F/ t h e. A
88		nfra1 2716	. . . . 5 |- F/ t A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E
89	87, 88	nfan 1842	. . . 4 |- F/ t ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
90	4, 89	nfan 1842	. . 3 |- F/ t ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
91		eqid 2404	. . 3 |- ( t e. T |-> ( ( h ` t ) + sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) + sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
92	44	adantr 452	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> F : T --> RR )
93	39	adantr 452	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR )
94	18	3adant1r 1177	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
95	26	adantlr 696	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
96		stoweidlem62.2	. . . . 5 |- F/ f ph
97	10	sseld 3307	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( f e. A -> f e. C ) )
98	9	eleq2i 2468	. . . . . . . 8 |- ( f e. C <-> f e. ( J Cn K ) )
99	97, 98	syl6ib 218	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( f e. A -> f e. ( J Cn K ) ) )
100		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
101		uniretop 18749	. . . . . . . . 9 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
102	5	unieqi 3985	. . . . . . . . 9 |- U. K = U. ( topGen ` ran (,) )
103	101, 102	eqtr4i 2427	. . . . . . . 8 |- RR = U. K
104	100, 103	cnf 17264	. . . . . . 7 |- ( f e. ( J Cn K ) -> f : U. J --> RR )
105	99, 104	syl6 31	. . . . . 6 |- ( ph -> ( f e. A -> f : U. J --> RR ) )
106		feq2 5536	. . . . . . 7 |- ( T = U. J -> ( f : T --> RR <-> f : U. J --> RR ) )
107	7, 106	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( ph -> ( f : T --> RR <-> f : U. J --> RR ) )
108	105, 107	sylibrd 226	. . . . 5 |- ( ph -> ( f e. A -> f : T --> RR ) )
109	96, 108	ralrimi 2747	. . . 4 |- ( ph -> A. f e. A f : T --> RR )
110	109	adantr 452	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> A. f e. A f : T --> RR )
111		simprl 733	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> h e. A )
112	52	eqcomd 2409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) = ( H ` t ) )
113	112	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) = ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) )
114	113	fveq2d 5691	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) ) = ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) )
115	114	adantlr 696	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ t e. T ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) ) = ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) )
116		simplrr 738	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ t e. T ) -> A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
117		rsp 2726	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E -> ( t e. T -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
118	117	imp 419	. . . . . . 7 |- ( ( A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E /\ t e. T ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
119	116, 118	sylancom 649	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ t e. T ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
120	115, 119	eqbrtrd 4192	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ t e. T ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) ) < E )
121	120	ex 424	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> ( t e. T -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) ) < E ) )
122	90, 121	ralrimi 2747	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) ) < E )
123	85, 86, 32, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 110, 111, 122	stoweidlem21 27637	. 2 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> E. f e. A A. t e. T ( abs ` ( ( f ` t ) - ( F ` t ) ) ) < E )
124	84, 123	rexlimddv 2794	1 |- ( ph -> E. f e. A A. t e. T ( abs ` ( ( f ` t ) - ( F ` t ) ) ) < E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   F/wnf 1550   = wceq 1649   e. wcel 1721   F/_wnfc 2527   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   X. cxp 4835   `'ccnv 4836   ran crn 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   -ucneg 9248   / cdiv 9633   2c2 10005   3c3 10006   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   abscabs 11994   topGenctg 13620   Topctop 16913   Cn ccn 17242   Compccmp 17403

This theorem is referenced by:  stoweid  27679

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305