Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem62 Unicode version

Theorem stoweidlem62 27913
 Description: This theorem proves the Stone Weierstrass theorem for the non-trivial case in which T is nonempty. The proof follows [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem62.1
stoweidlem62.2
stoweidlem62.3
stoweidlem62.4
stoweidlem62.5
stoweidlem62.6
stoweidlem62.7
stoweidlem62.8
stoweidlem62.9
stoweidlem62.10
stoweidlem62.11
stoweidlem62.12
stoweidlem62.13
stoweidlem62.14
stoweidlem62.15
stoweidlem62.16
stoweidlem62.17
Assertion
Ref Expression
stoweidlem62
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,,,)   (,,)   ()   (,,)   (,,,,)

Proof of Theorem stoweidlem62
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem62.4 . . . . 5
2 nfmpt1 4125 . . . . 5
31, 2nfcxfr 2429 . . . 4
4 stoweidlem62.3 . . . 4
5 stoweidlem62.5 . . . 4
6 stoweidlem62.7 . . . 4
7 stoweidlem62.6 . . . 4
8 stoweidlem62.16 . . . 4
9 stoweidlem62.8 . . . 4
10 stoweidlem62.9 . . . 4
11 vex 2804 . . . . 5
12 nfcv 2432 . . . . . 6
13 nfv 1609 . . . . . 6
14 eleq1 2356 . . . . . . . 8
15143anbi3d 1258 . . . . . . 7
16 fveq1 5540 . . . . . . . . . 10
1716oveq2d 5890 . . . . . . . . 9
1817mpteq2dv 4123 . . . . . . . 8
1918eleq1d 2362 . . . . . . 7
2015, 19imbi12d 311 . . . . . 6
21 stoweidlem62.10 . . . . . . 7
2221a1i 10 . . . . . 6
2312, 13, 20, 22vtoclgaf 2861 . . . . 5
2411, 23ax-mp 8 . . . 4
25 nfv 1609 . . . . . 6
2616oveq2d 5890 . . . . . . . . 9
2726mpteq2dv 4123 . . . . . . . 8
2827eleq1d 2362 . . . . . . 7
2915, 28imbi12d 311 . . . . . 6
30 stoweidlem62.11 . . . . . . 7
3130a1i 10 . . . . . 6
3212, 25, 29, 31vtoclgaf 2861 . . . . 5
3311, 32ax-mp 8 . . . 4
34 stoweidlem62.12 . . . 4
35 stoweidlem62.13 . . . 4
36 stoweidlem62.1 . . . . . 6
3736nfrn 4937 . . . . . . 7
38 nfcv 2432 . . . . . . 7
39 nfcv 2432 . . . . . . 7
4037, 38, 39nfsup 7218 . . . . . 6
41 eqid 2296 . . . . . 6
42 cmptop 17138 . . . . . . 7
436, 42syl 15 . . . . . 6
44 stoweidlem62.14 . . . . . 6
4544, 9syl6eleq 2386 . . . . . . . 8
4636, 4, 7, 5, 6, 45, 8stoweidlem29 27880 . . . . . . 7
4746simp2d 968 . . . . . 6
4836, 40, 4, 7, 41, 5, 43, 9, 44, 47stoweidlem47 27898 . . . . 5
491, 48syl5eqel 2380 . . . 4
5046simp3d 969 . . . . . . . . . 10
51 rsp 2616 . . . . . . . . . 10
5250, 51syl 15 . . . . . . . . 9
5352imp 418 . . . . . . . 8
545, 7, 9, 44fcnre 27798 . . . . . . . . . . . . 13
5554adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
56 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12
5755, 56jca 518 . . . . . . . . . . 11
58 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . 10
6047adantr 451 . . . . . . . . . 10
6159, 60jca 518 . . . . . . . . 9
62 subge0 9303 . . . . . . . . 9
6361, 62syl 15 . . . . . . . 8
6453, 63mpbird 223 . . . . . . 7
65 resubcl 9127 . . . . . . . . . 10
6661, 65syl 15 . . . . . . . . 9
6756, 66jca 518 . . . . . . . 8
681fvmpt2 5624 . . . . . . . 8
6967, 68syl 15 . . . . . . 7
7064, 69breqtrrd 4065 . . . . . 6
7170ex 423 . . . . 5
724, 71ralrimi 2637 . . . 4
73 stoweidlem62.15 . . . . 5
74 2rp 10375 . . . . . 6
7574a1i 10 . . . . 5
7673, 75rpdivcld 10423 . . . 4
7773rpred 10406 . . . . . . 7
78 2re 9831 . . . . . . . 8
7978a1i 10 . . . . . . 7
80 2ne0 9845 . . . . . . . 8
8180a1i 10 . . . . . . 7
8277, 79, 81redivcld 9604 . . . . . 6
83 1re 8853 . . . . . . . . 9
84 3re 9833 . . . . . . . . 9
85 3ne0 9847 . . . . . . . . 9
8683, 84, 853pm3.2i 1130 . . . . . . . 8
87 redivcl 9495 . . . . . . . 8
8886, 87ax-mp 8 . . . . . . 7
8988a1i 10 . . . . . 6
9082, 77, 893jca 1132 . . . . 5
91 rphalflt 10396 . . . . . . 7
9273, 91syl 15 . . . . . 6
93 stoweidlem62.17 . . . . . 6
9492, 93jca 518 . . . . 5
95 lttr 8915 . . . . 5
9690, 94, 95sylc 56 . . . 4
973, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 24, 33, 34, 35, 49, 72, 76, 96stoweidlem61 27912 . . 3
98 nfra1 2606 . . . . . . 7
994, 98nfan 1783 . . . . . 6
100 simplr 731 . . . . . . . . . 10
101 simpr 447 . . . . . . . . . 10
102100, 101jca 518 . . . . . . . . 9
103 rsp 2616 . . . . . . . . . 10
104103imp 418 . . . . . . . . 9
105102, 104syl 15 . . . . . . . 8
10673rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . 12
107 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . 13
108107a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
109106, 108, 81divcan2d 9554 . . . . . . . . . . 11
110109breq2d 4051 . . . . . . . . . 10
111110biimpd 198 . . . . . . . . 9
112111ad2antrr 706 . . . . . . . 8
113105, 112mpd 14 . . . . . . 7
114113ex 423 . . . . . 6
11599, 114ralrimi 2637 . . . . 5
116115ex 423 . . . 4
117116reximdv 2667 . . 3
11897, 117mpd 14 . 2
119 nfmpt1 4125 . . . . . 6
120 nfcv 2432 . . . . . 6
121 nfv 1609 . . . . . . . 8
122 nfra1 2606 . . . . . . . 8
123121, 122nfan 1783 . . . . . . 7
1244, 123nfan 1783 . . . . . 6
125 eqid 2296 . . . . . 6
12654adantr 451 . . . . . 6
12747adantr 451 . . . . . 6
128213adant1r 1175 . . . . . 6
12934adantlr 695 . . . . . 6
130 stoweidlem62.2 . . . . . . . 8
13110sseld 3192 . . . . . . . . . . 11
1329eleq2i 2360 . . . . . . . . . . 11
133131, 132syl6ib 217 . . . . . . . . . 10
134 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
135 uniretop 18287 . . . . . . . . . . . 12
1365unieqi 3853 . . . . . . . . . . . 12
137135, 136eqtr4i 2319 . . . . . . . . . . 11
138134, 137cnf 16992 . . . . . . . . . 10
139133, 138syl6 29 . . . . . . . . 9
140 feq2 5392 . . . . . . . . . 10
1417, 140mp1i 11 . . . . . . . . 9
142139, 141sylibrd 225 . . . . . . . 8
143130, 142ralrimi 2637 . . . . . . 7
144143adantr 451 . . . . . 6
145 simprl 732 . . . . . 6
146 simpll 730 . . . . . . . . . . 11
147 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
148146, 147jca 518 . . . . . . . . . 10
14969eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . 12
150149oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11
151150fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10
152148, 151syl 15 . . . . . . . . 9
153 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11
154153, 147jca 518 . . . . . . . . . 10
155 rsp 2616 . . . . . . . . . . 11
156155imp 418 . . . . . . . . . 10
157154, 156syl 15 . . . . . . . . 9
158152, 157eqbrtrd 4059 . . . . . . . 8
159158ex 423 . . . . . . 7
160124, 159ralrimi 2637 . . . . . 6
161119, 120, 40, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 144, 145, 160stoweidlem21 27872 . . . . 5
162161ex 423 . . . 4
163162exp3a 425 . . 3
164163rexlimdv 2679 . 2
165118, 164mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wnf 1534   wceq 1632   wcel 1696  wnfc 2419   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   wss 3165  c0 3468  csn 3653  cuni 3843   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cxp 4703  ccnv 4704   crn 4706  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  csup 7209  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   clt 8883   cle 8884   cmin 9053  cneg 9054   cdiv 9439  c2 9811  c3 9812  crp 10370  cioo 10672  cabs 11735  ctg 13358  ctop 16647   ccn 16970  ccmp 17129 This theorem is referenced by:  stoweid  27914 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903
 Copyright terms: Public domain W3C validator