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Theorem stoweidlem62 27913
Description: This theorem proves the Stone Weierstrass theorem for the non-trivial case in which T is nonempty. The proof follows [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem62.1  |-  F/_ t F
stoweidlem62.2  |-  F/ f
ph
stoweidlem62.3  |-  F/ t
ph
stoweidlem62.4  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) )
stoweidlem62.5  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem62.6  |-  T  = 
U. J
stoweidlem62.7  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem62.8  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem62.9  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem62.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem62.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem62.12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem62.13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem62.14  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
stoweidlem62.15  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem62.16  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
stoweidlem62.17  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem62  |-  ( ph  ->  E. f  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( f `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E )
Distinct variable groups:    f, g,
t, A    f, q,
r, x, t, A   
f, E, g, t   
f, F, g    f, H, g    f, J, r, t    T, f, g, t    ph, f, g    E, q, r, x    H, q, r, x    T, q, r, x    ph, q,
r, x    t, K    x, F
Allowed substitution hints:    ph( t)    C( x, t, f, g, r, q)    F( t, r, q)    H( t)    J( x, g, q)    K( x, f, g, r, q)

Proof of Theorem stoweidlem62
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem62.4 . . . . 5  |-  H  =  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) )
2 nfmpt1 4125 . . . . 5  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) )
31, 2nfcxfr 2429 . . . 4  |-  F/_ t H
4 stoweidlem62.3 . . . 4  |-  F/ t
ph
5 stoweidlem62.5 . . . 4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
6 stoweidlem62.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
7 stoweidlem62.6 . . . 4  |-  T  = 
U. J
8 stoweidlem62.16 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
9 stoweidlem62.8 . . . 4  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
10 stoweidlem62.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
11 vex 2804 . . . . 5  |-  h  e. 
_V
12 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ g
h
13 nfv 1609 . . . . . 6  |-  F/ g ( ( ph  /\  f  e.  A  /\  h  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( h `  t ) ) )  e.  A
)
14 eleq1 2356 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  h  ->  (
g  e.  A  <->  h  e.  A ) )
15143anbi3d 1258 . . . . . . 7  |-  ( g  =  h  ->  (
( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  <->  ( ph  /\  f  e.  A  /\  h  e.  A )
) )
16 fveq1 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  h  ->  (
g `  t )  =  ( h `  t ) )
1716oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  h  ->  (
( f `  t
)  +  ( g `
 t ) )  =  ( ( f `
 t )  +  ( h `  t
) ) )
1817mpteq2dv 4123 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  h  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( h `  t ) ) ) )
1918eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( g  =  h  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( h `
 t ) ) )  e.  A ) )
2015, 19imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( g  =  h  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  f  e.  A  /\  h  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( h `  t ) ) )  e.  A
) ) )
21 stoweidlem62.10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
2221a1i 10 . . . . . 6  |-  ( g  e.  _V  ->  (
( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( g `
 t ) ) )  e.  A ) )
2312, 13, 20, 22vtoclgaf 2861 . . . . 5  |-  ( h  e.  _V  ->  (
( ph  /\  f  e.  A  /\  h  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  +  ( h `
 t ) ) )  e.  A ) )
2411, 23ax-mp 8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  h  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( h `  t ) ) )  e.  A )
25 nfv 1609 . . . . . 6  |-  F/ g ( ( ph  /\  f  e.  A  /\  h  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
h `  t )
) )  e.  A
)
2616oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  h  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  =  ( ( f `
 t )  x.  ( h `  t
) ) )
2726mpteq2dv 4123 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  h  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( h `  t ) ) ) )
2827eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( g  =  h  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( h `
 t ) ) )  e.  A ) )
2915, 28imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( g  =  h  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  A
)  <->  ( ( ph  /\  f  e.  A  /\  h  e.  A )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
h `  t )
) )  e.  A
) ) )
30 stoweidlem62.11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
3130a1i 10 . . . . . 6  |-  ( g  e.  _V  ->  (
( ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  A ) )
3212, 25, 29, 31vtoclgaf 2861 . . . . 5  |-  ( h  e.  _V  ->  (
( ph  /\  f  e.  A  /\  h  e.  A )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( h `
 t ) ) )  e.  A ) )
3311, 32ax-mp 8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  h  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( h `  t ) ) )  e.  A )
34 stoweidlem62.12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
35 stoweidlem62.13 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
36 stoweidlem62.1 . . . . . 6  |-  F/_ t F
3736nfrn 4937 . . . . . . 7  |-  F/_ t ran  F
38 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ t RR
39 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ t `'  <
4037, 38, 39nfsup 7218 . . . . . 6  |-  F/_ t sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )
41 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( T  X.  { -u sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) } )  =  ( T  X.  { -u sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) } )
42 cmptop 17138 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
436, 42syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
44 stoweidlem62.14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
4544, 9syl6eleq 2386 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
4636, 4, 7, 5, 6, 45, 8stoweidlem29 27880 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  )  e.  ran  F  /\  sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\ 
A. t  e.  T  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) ) )
4746simp2d 968 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
4836, 40, 4, 7, 41, 5, 43, 9, 44, 47stoweidlem47 27898 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( F `  t )  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) )  e.  C )
491, 48syl5eqel 2380 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  C )
5046simp3d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) )
51 rsp 2616 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  T  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( F `  t
)  ->  ( t  e.  T  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t )
) )
5250, 51syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) ) )
5352imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( F `  t
) )
545, 7, 9, 44fcnre 27798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
5554adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  F : T --> RR )
56 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
5755, 56jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F : T --> RR  /\  t  e.  T )
)
58 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t
)  e.  RR )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
6047adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
6159, 60jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  e.  RR  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR ) )
62 subge0 9303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
( F `  t
)  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) )  <->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t )
) )
6361, 62syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
0  <_  ( ( F `  t )  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) )  <->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( F `  t ) ) )
6453, 63mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( ( F `  t )  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) )
65 resubcl 9127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  t
)  e.  RR  /\  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  -> 
( ( F `  t )  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  RR )
6661, 65syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  RR )
6756, 66jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t  e.  T  /\  ( ( F `  t )  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  RR ) )
681fvmpt2 5624 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( F `  t )  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  RR )  -> 
( H `  t
)  =  ( ( F `  t )  -  sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  ) ) )
6967, 68syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t )  =  ( ( F `
 t )  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) )
7064, 69breqtrrd 4065 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  0  <_  ( H `  t
) )
7170ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  0  <_  ( H `  t ) ) )
724, 71ralrimi 2637 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T 
0  <_  ( H `  t ) )
73 stoweidlem62.15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
74 2rp 10375 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
7574a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
7673, 75rpdivcld 10423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  /  2
)  e.  RR+ )
7773rpred 10406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
78 2re 9831 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
7978a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
80 2ne0 9845 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
8180a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
8277, 79, 81redivcld 9604 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  /  2
)  e.  RR )
83 1re 8853 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
84 3re 9833 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
85 3ne0 9847 . . . . . . . . 9  |-  3  =/=  0
8683, 84, 853pm3.2i 1130 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  3  =/=  0 )
87 redivcl 9495 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  3  =/=  0 )  ->  (
1  /  3 )  e.  RR )
8886, 87ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  3 )  e.  RR
8988a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  3
)  e.  RR )
9082, 77, 893jca 1132 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E  / 
2 )  e.  RR  /\  E  e.  RR  /\  ( 1  /  3
)  e.  RR ) )
91 rphalflt 10396 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  RR+  ->  ( E  /  2 )  < 
E )
9273, 91syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E  /  2
)  <  E )
93 stoweidlem62.17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
9492, 93jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E  / 
2 )  <  E  /\  E  <  ( 1  /  3 ) ) )
95 lttr 8915 . . . . 5  |-  ( ( ( E  /  2
)  e.  RR  /\  E  e.  RR  /\  (
1  /  3 )  e.  RR )  -> 
( ( ( E  /  2 )  < 
E  /\  E  <  ( 1  /  3 ) )  ->  ( E  /  2 )  < 
( 1  /  3
) ) )
9690, 94, 95sylc 56 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E  /  2
)  <  ( 1  /  3 ) )
973, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 24, 33, 34, 35, 49, 72, 76, 96stoweidlem61 27912 . . 3  |-  ( ph  ->  E. h  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  ( 2  x.  ( E  /  2
) ) )
98 nfra1 2606 . . . . . . 7  |-  F/ t A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  ( 2  x.  ( E  /  2
) )
994, 98nfan 1783 . . . . . 6  |-  F/ t ( ph  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `
 t )  -  ( H `  t ) ) )  <  (
2  x.  ( E  /  2 ) ) )
100 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `
 t )  -  ( H `  t ) ) )  <  (
2  x.  ( E  /  2 ) ) )  /\  t  e.  T )  ->  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  (
2  x.  ( E  /  2 ) ) )
101 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `
 t )  -  ( H `  t ) ) )  <  (
2  x.  ( E  /  2 ) ) )  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
102100, 101jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `
 t )  -  ( H `  t ) ) )  <  (
2  x.  ( E  /  2 ) ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  ( 2  x.  ( E  /  2
) )  /\  t  e.  T ) )
103 rsp 2616 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `
 t )  -  ( H `  t ) ) )  <  (
2  x.  ( E  /  2 ) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  (
2  x.  ( E  /  2 ) ) ) )
104103imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  ( 2  x.  ( E  /  2
) )  /\  t  e.  T )  ->  ( abs `  ( ( h `
 t )  -  ( H `  t ) ) )  <  (
2  x.  ( E  /  2 ) ) )
105102, 104syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `
 t )  -  ( H `  t ) ) )  <  (
2  x.  ( E  /  2 ) ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( abs `  ( ( h `
 t )  -  ( H `  t ) ) )  <  (
2  x.  ( E  /  2 ) ) )
10673rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
107 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
108107a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
109106, 108, 81divcan2d 9554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( E  /  2 ) )  =  E )
110109breq2d 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( h `  t
)  -  ( H `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  ( E  / 
2 ) )  <->  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
) )
111110biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( h `  t
)  -  ( H `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  ( E  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( h `  t
)  -  ( H `
 t ) ) )  <  E ) )
112111ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `
 t )  -  ( H `  t ) ) )  <  (
2  x.  ( E  /  2 ) ) )  /\  t  e.  T )  ->  (
( abs `  (
( h `  t
)  -  ( H `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  ( E  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( h `  t
)  -  ( H `
 t ) ) )  <  E ) )
113105, 112mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `
 t )  -  ( H `  t ) ) )  <  (
2  x.  ( E  /  2 ) ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( abs `  ( ( h `
 t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E
)
114113ex 423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  (
2  x.  ( E  /  2 ) ) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
) )
11599, 114ralrimi 2637 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  (
2  x.  ( E  /  2 ) ) )  ->  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
)
116115ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. t  e.  T  ( abs `  (
( h `  t
)  -  ( H `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  ( E  / 
2 ) )  ->  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )
117116reximdv 2667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. h  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  (
( h `  t
)  -  ( H `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  ( E  / 
2 ) )  ->  E. h  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )
11897, 117mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  E. h  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E )
119 nfmpt1 4125 . . . . . 6  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  +  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) )
120 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ t
h
121 nfv 1609 . . . . . . . 8  |-  F/ t  h  e.  A
122 nfra1 2606 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E
123121, 122nfan 1783 . . . . . . 7  |-  F/ t ( h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E )
1244, 123nfan 1783 . . . . . 6  |-  F/ t ( ph  /\  (
h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )
125 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  +  sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `
 t )  +  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) )
12654adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
) )  ->  F : T --> RR )
12747adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
) )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
128213adant1r 1175 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
12934adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
130 stoweidlem62.2 . . . . . . . 8  |-  F/ f
ph
13110sseld 3192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( f  e.  A  ->  f  e.  C ) )
1329eleq2i 2360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  C  <->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
133131, 132syl6ib 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( f  e.  A  ->  f  e.  ( J  Cn  K ) ) )
134 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
135 uniretop 18287 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
1365unieqi 3853 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. K  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
137135, 136eqtr4i 2319 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. K
138134, 137cnf 16992 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( J  Cn  K )  ->  f : U. J --> RR )
139133, 138syl6 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( f  e.  A  ->  f : U. J --> RR ) )
140 feq2 5392 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =  U. J  -> 
( f : T --> RR 
<->  f : U. J --> RR ) )
1417, 140mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( f : T --> RR 
<->  f : U. J --> RR ) )
142139, 141sylibrd 225 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( f  e.  A  ->  f : T --> RR ) )
143130, 142ralrimi 2637 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. f  e.  A  f : T --> RR )
144143adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
) )  ->  A. f  e.  A  f : T
--> RR )
145 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
) )  ->  h  e.  A )
146 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )  /\  t  e.  T
)  ->  ph )
147 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )  /\  t  e.  T
)  ->  t  e.  T )
148146, 147jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )  /\  t  e.  T
)  ->  ( ph  /\  t  e.  T ) )
14969eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
)  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( H `  t
) )
150149oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( h `  t
)  -  ( ( F `  t )  -  sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  ) ) )  =  ( ( h `
 t )  -  ( H `  t ) ) )
151150fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( abs `  ( ( h `
 t )  -  ( ( F `  t )  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) ) )
152148, 151syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )  /\  t  e.  T
)  ->  ( abs `  ( ( h `  t )  -  (
( F `  t
)  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) ) )
153 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )  /\  t  e.  T
)  ->  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
)
154153, 147jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )  /\  t  e.  T
)  ->  ( A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `
 t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E  /\  t  e.  T
) )
155 rsp 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `
 t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E  ->  ( t  e.  T  ->  ( abs `  (
( h `  t
)  -  ( H `
 t ) ) )  <  E ) )
156155imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E  /\  t  e.  T )  ->  ( abs `  ( ( h `
 t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E
)
157154, 156syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )  /\  t  e.  T
)  ->  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
)
158152, 157eqbrtrd 4059 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t ) ) )  <  E ) )  /\  t  e.  T
)  ->  ( abs `  ( ( h `  t )  -  (
( F `  t
)  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  E )
159158ex 423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
) )  ->  (
t  e.  T  -> 
( abs `  (
( h `  t
)  -  ( ( F `  t )  -  sup ( ran 
F ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  E ) )
160124, 159ralrimi 2637 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
) )  ->  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  (
( F `  t
)  -  sup ( ran  F ,  RR ,  `'  <  ) ) ) )  <  E )
161119, 120, 40, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 144, 145, 160stoweidlem21 27872 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
) )  ->  E. f  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( f `  t )  -  ( F `  t )
) )  <  E
)
162161ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( h  e.  A  /\  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( h `  t )  -  ( H `  t )
) )  <  E
)  ->  E. f  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( f `  t )  -  ( F `  t )
) )  <  E
) )
163162exp3a 425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( h  e.  A  ->  ( A. t  e.  T  ( abs `  (
( h `  t
)  -  ( H `
 t ) ) )  <  E  ->  E. f  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( f `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E ) ) )
164163rexlimdv 2679 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. h  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  (
( h `  t
)  -  ( H `
 t ) ) )  <  E  ->  E. f  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( f `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E ) )
165118, 164mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. f  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( f `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   2c2 9811   3c3 9812   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   abscabs 11735   topGenctg 13358   Topctop 16647    Cn ccn 16970   Compccmp 17129
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903
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