Theorem stoweidlem62 29857

Description: This theorem proves the Stone Weierstrass theorem for the non-trivial case in which T is nonempty. The proof follows [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem62.1	|- F/_ t F
stoweidlem62.2	|- F/ f ph
stoweidlem62.3	|- F/ t ph
stoweidlem62.4	|- H = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
stoweidlem62.5	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem62.6	|- T = U. J
stoweidlem62.7	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem62.8	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem62.9	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem62.10	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem62.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem62.12	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem62.13	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem62.14	|- ( ph -> F e. C )
stoweidlem62.15	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem62.16	|- ( ph -> T =/= (/) )
stoweidlem62.17	|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem62	|- ( ph -> E. f e. A A. t e. T ( abs ` ( ( f ` t ) - ( F ` t ) ) ) < E )

Distinct variable groups:   f, g, t, A   f, q, r, x, t, A   f, E, g, t   f, F, g   f, H, g   f, J, r, t   T, f, g, t   ph, f, g   E, q, r, x   H, q, r, x   T, q, r, x   ph, q, r, x   t, K   x, F

Allowed substitution hints:   ph( t)   C( x, t, f, g, r, q)   F( t, r, q)   H( t)   J( x, g, q)   K( x, f, g, r, q)

Proof of Theorem stoweidlem62

Dummy variable h is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem62.4	. . . . 5 |- H = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
2		nfmpt1 4381	. . . . 5 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
3	1, 2	nfcxfr 2576	. . . 4 |- F/_ t H
4		stoweidlem62.3	. . . 4 |- F/ t ph
5		stoweidlem62.5	. . . 4 |- K = ( topGen ` ran (,) )
6		stoweidlem62.7	. . . 4 |- ( ph -> J e. Comp )
7		stoweidlem62.6	. . . 4 |- T = U. J
8		stoweidlem62.16	. . . 4 |- ( ph -> T =/= (/) )
9		stoweidlem62.8	. . . 4 |- C = ( J Cn K )
10		stoweidlem62.9	. . . 4 |- ( ph -> A C_ C )
11		eleq1 2503	. . . . . . 7 |- ( g = h -> ( g e. A <-> h e. A ) )
12	11	3anbi3d 1295	. . . . . 6 |- ( g = h -> ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) <-> ( ph /\ f e. A /\ h e. A ) ) )
13		fveq1 5690	. . . . . . . . 9 |- ( g = h -> ( g ` t ) = ( h ` t ) )
14	13	oveq2d 6107	. . . . . . . 8 |- ( g = h -> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( f ` t ) + ( h ` t ) ) )
15	14	mpteq2dv 4379	. . . . . . 7 |- ( g = h -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( h ` t ) ) ) )
16	15	eleq1d 2509	. . . . . 6 |- ( g = h -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( h ` t ) ) ) e. A ) )
17	12, 16	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( g = h -> ( ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ f e. A /\ h e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( h ` t ) ) ) e. A ) ) )
18		stoweidlem62.10	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
19	17, 18	chvarv 1958	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ h e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( h ` t ) ) ) e. A )
20	13	oveq2d 6107	. . . . . . . 8 |- ( g = h -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( f ` t ) x. ( h ` t ) ) )
21	20	mpteq2dv 4379	. . . . . . 7 |- ( g = h -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( h ` t ) ) ) )
22	21	eleq1d 2509	. . . . . 6 |- ( g = h -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( h ` t ) ) ) e. A ) )
23	12, 22	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( g = h -> ( ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ f e. A /\ h e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( h ` t ) ) ) e. A ) ) )
24		stoweidlem62.11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
25	23, 24	chvarv 1958	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ h e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( h ` t ) ) ) e. A )
26		stoweidlem62.12	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
27		stoweidlem62.13	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
28		stoweidlem62.1	. . . . . 6 |- F/_ t F
29	28	nfrn 5082	. . . . . . 7 |- F/_ t ran F
30		nfcv 2579	. . . . . . 7 |- F/_ t RR
31		nfcv 2579	. . . . . . 7 |- F/_ t `' <
32	29, 30, 31	nfsup 7701	. . . . . 6 |- F/_ t sup ( ran F , RR , `' < )
33		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( T X. { -u sup ( ran F , RR , `' < ) } ) = ( T X. { -u sup ( ran F , RR , `' < ) } )
34		cmptop 18998	. . . . . . 7 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
35	6, 34	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. Top )
36		stoweidlem62.14	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. C )
37	36, 9	syl6eleq 2533	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
38	28, 4, 7, 5, 6, 37, 8	stoweidlem29 29824	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sup ( ran F , RR , `' < ) e. ran F /\ sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR /\ A. t e. T sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) ) )
39	38	simp2d 1001	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR )
40	28, 32, 4, 7, 33, 5, 35, 9, 36, 39	stoweidlem47 29842	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) e. C )
41	1, 40	syl5eqel 2527	. . . 4 |- ( ph -> H e. C )
42	38	simp3d 1002	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. t e. T sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) )
43	42	r19.21bi 2814	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) )
44	5, 7, 9, 36	fcnre 29747	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : T --> RR )
45	44	fnvinran 29736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. RR )
46	39	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR )
47	45, 46	subge0d 9929	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) <-> sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) ) )
48	43, 47	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
49		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
50	45, 46	resubcld 9776	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) e. RR )
51	1	fvmpt2 5781	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. T /\ ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) e. RR ) -> ( H ` t ) = ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
52	49, 50, 51	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( H ` t ) = ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
53	48, 52	breqtrrd 4318	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( H ` t ) )
54	53	ex 434	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T -> 0 <_ ( H ` t ) ) )
55	4, 54	ralrimi 2797	. . . 4 |- ( ph -> A. t e. T 0 <_ ( H ` t ) )
56		stoweidlem62.15	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
57	56	rphalfcld 11039	. . . 4 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. RR+ )
58	56	rpred 11027	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. RR )
59	58	rehalfcld 10571	. . . . 5 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. RR )
60		3re 10395	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
61		3ne0 10416	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
62	60, 61	rereccli 10096	. . . . . 6 |- ( 1 / 3 ) e. RR
63	62	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 3 ) e. RR )
64		rphalflt 11017	. . . . . 6 |- ( E e. RR+ -> ( E / 2 ) < E )
65	56, 64	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( E / 2 ) < E )
66		stoweidlem62.17	. . . . 5 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
67	59, 58, 63, 65, 66	lttrd 9532	. . . 4 |- ( ph -> ( E / 2 ) < ( 1 / 3 ) )
68	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 25, 26, 27, 41, 55, 57, 67	stoweidlem61 29856	. . 3 |- ( ph -> E. h e. A A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) )
69		nfra1 2766	. . . . . . 7 |- F/ t A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) )
70	4, 69	nfan 1861	. . . . . 6 |- F/ t ( ph /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) )
71		rsp 2776	. . . . . . 7 |- ( A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) -> ( t e. T -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) ) )
72	56	rpcnd 11029	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. CC )
73		2cnd 10394	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. CC )
74		2ne0 10414	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
76	72, 73, 75	divcan2d 10109	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. ( E / 2 ) ) = E )
77	76	breq2d 4304	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) <-> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
78	77	biimpd 207	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
79	71, 78	sylan9r 658	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) ) -> ( t e. T -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
80	70, 79	ralrimi 2797	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) ) -> A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
81	80	ex 434	. . . 4 |- ( ph -> ( A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) -> A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
82	81	reximdv 2827	. . 3 |- ( ph -> ( E. h e. A A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) -> E. h e. A A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
83	68, 82	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. h e. A A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
84		nfmpt1 4381	. . 3 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( h ` t ) + sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
85		nfcv 2579	. . 3 |- F/_ t h
86		nfv 1673	. . . . 5 |- F/ t h e. A
87		nfra1 2766	. . . . 5 |- F/ t A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E
88	86, 87	nfan 1861	. . . 4 |- F/ t ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
89	4, 88	nfan 1861	. . 3 |- F/ t ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
90		eqid 2443	. . 3 |- ( t e. T |-> ( ( h ` t ) + sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) + sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
91	44	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> F : T --> RR )
92	39	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR )
93	18	3adant1r 1211	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
94	26	adantlr 714	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
95		stoweidlem62.2	. . . . 5 |- F/ f ph
96	10	sseld 3355	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( f e. A -> f e. C ) )
97	9	eleq2i 2507	. . . . . . . 8 |- ( f e. C <-> f e. ( J Cn K ) )
98	96, 97	syl6ib 226	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( f e. A -> f e. ( J Cn K ) ) )
99		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
100		uniretop 20341	. . . . . . . . 9 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
101	5	unieqi 4100	. . . . . . . . 9 |- U. K = U. ( topGen ` ran (,) )
102	100, 101	eqtr4i 2466	. . . . . . . 8 |- RR = U. K
103	99, 102	cnf 18850	. . . . . . 7 |- ( f e. ( J Cn K ) -> f : U. J --> RR )
104	98, 103	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ph -> ( f e. A -> f : U. J --> RR ) )
105		feq2 5543	. . . . . . 7 |- ( T = U. J -> ( f : T --> RR <-> f : U. J --> RR ) )
106	7, 105	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( ph -> ( f : T --> RR <-> f : U. J --> RR ) )
107	104, 106	sylibrd 234	. . . . 5 |- ( ph -> ( f e. A -> f : T --> RR ) )
108	95, 107	ralrimi 2797	. . . 4 |- ( ph -> A. f e. A f : T --> RR )
109	108	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> A. f e. A f : T --> RR )
110		simprl 755	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> h e. A )
111	52	eqcomd 2448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) = ( H ` t ) )
112	111	oveq2d 6107	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) = ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) )
113	112	fveq2d 5695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) ) = ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) )
114	113	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ t e. T ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) ) = ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) )
115		simplrr 760	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ t e. T ) -> A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
116		rsp 2776	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E -> ( t e. T -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
117	116	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E /\ t e. T ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
118	115, 117	sylancom 667	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ t e. T ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
119	114, 118	eqbrtrd 4312	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ t e. T ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) ) < E )
120	119	ex 434	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> ( t e. T -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) ) < E ) )
121	89, 120	ralrimi 2797	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) ) < E )
122	84, 85, 32, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 109, 110, 121	stoweidlem21 29816	. 2 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> E. f e. A A. t e. T ( abs ` ( ( f ` t ) - ( F ` t ) ) ) < E )
123	83, 122	rexlimddv 2845	1 |- ( ph -> E. f e. A A. t e. T ( abs ` ( ( f ` t ) - ( F ` t ) ) ) < E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   F/wnf 1589   e. wcel 1756   F/_wnfc 2566   =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   C_ wss 3328   (/)c0 3637   {csn 3877   U.cuni 4091   class class class wbr 4292   e. cmpt 4350   X. cxp 4838   `'ccnv 4839   ran crn 4841   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   supcsup 7690   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283   + caddc 9285   x. cmul 9287   < clt 9418   <_ cle 9419   - cmin 9595   -ucneg 9596   / cdiv 9993   2c2 10371   3c3 10372   RR+crp 10991   (,)cioo 11300   abscabs 12723   topGenctg 14376   Topctop 18498   Cn ccn 18828   Compccmp 18989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-cld 18623  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-cmp 18990  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897

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