Theorem stoweidlem62 37225

Description: This theorem proves the Stone Weierstrass theorem for the non-trivial case in which T is nonempty. The proof follows [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem62.1	|- F/_ t F
stoweidlem62.2	|- F/ f ph
stoweidlem62.3	|- F/ t ph
stoweidlem62.4	|- H = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
stoweidlem62.5	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem62.6	|- T = U. J
stoweidlem62.7	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem62.8	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem62.9	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem62.10	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem62.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem62.12	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem62.13	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem62.14	|- ( ph -> F e. C )
stoweidlem62.15	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem62.16	|- ( ph -> T =/= (/) )
stoweidlem62.17	|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem62	|- ( ph -> E. f e. A A. t e. T ( abs ` ( ( f ` t ) - ( F ` t ) ) ) < E )

Distinct variable groups:   f, g, t, A   f, q, r, x, t, A   f, E, g, t   f, F, g   f, H, g   f, J, r, t   T, f, g, t   ph, f, g   E, q, r, x   H, q, r, x   T, q, r, x   ph, q, r, x   t, K   x, F

Allowed substitution hints:   ph( t)   C( x, t, f, g, r, q)   F( t, r, q)   H( t)   J( x, g, q)   K( x, f, g, r, q)

Proof of Theorem stoweidlem62

Dummy variable h is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem62.4	. . . . 5 |- H = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
2		nfmpt1 4486	. . . . 5 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
3	1, 2	nfcxfr 2564	. . . 4 |- F/_ t H
4		stoweidlem62.3	. . . 4 |- F/ t ph
5		stoweidlem62.5	. . . 4 |- K = ( topGen ` ran (,) )
6		stoweidlem62.7	. . . 4 |- ( ph -> J e. Comp )
7		stoweidlem62.6	. . . 4 |- T = U. J
8		stoweidlem62.16	. . . 4 |- ( ph -> T =/= (/) )
9		stoweidlem62.8	. . . 4 |- C = ( J Cn K )
10		stoweidlem62.9	. . . 4 |- ( ph -> A C_ C )
11		eleq1 2476	. . . . . . 7 |- ( g = h -> ( g e. A <-> h e. A ) )
12	11	3anbi3d 1309	. . . . . 6 |- ( g = h -> ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) <-> ( ph /\ f e. A /\ h e. A ) ) )
13		fveq1 5850	. . . . . . . . 9 |- ( g = h -> ( g ` t ) = ( h ` t ) )
14	13	oveq2d 6296	. . . . . . . 8 |- ( g = h -> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( f ` t ) + ( h ` t ) ) )
15	14	mpteq2dv 4484	. . . . . . 7 |- ( g = h -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( h ` t ) ) ) )
16	15	eleq1d 2473	. . . . . 6 |- ( g = h -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( h ` t ) ) ) e. A ) )
17	12, 16	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( g = h -> ( ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ f e. A /\ h e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( h ` t ) ) ) e. A ) ) )
18		stoweidlem62.10	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
19	17, 18	chvarv 2043	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ h e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( h ` t ) ) ) e. A )
20	13	oveq2d 6296	. . . . . . . 8 |- ( g = h -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( f ` t ) x. ( h ` t ) ) )
21	20	mpteq2dv 4484	. . . . . . 7 |- ( g = h -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( h ` t ) ) ) )
22	21	eleq1d 2473	. . . . . 6 |- ( g = h -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( h ` t ) ) ) e. A ) )
23	12, 22	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( g = h -> ( ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ f e. A /\ h e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( h ` t ) ) ) e. A ) ) )
24		stoweidlem62.11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
25	23, 24	chvarv 2043	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ h e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( h ` t ) ) ) e. A )
26		stoweidlem62.12	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
27		stoweidlem62.13	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
28		stoweidlem62.1	. . . . . 6 |- F/_ t F
29	28	nfrn 5068	. . . . . . 7 |- F/_ t ran F
30		nfcv 2566	. . . . . . 7 |- F/_ t RR
31		nfcv 2566	. . . . . . 7 |- F/_ t `' <
32	29, 30, 31	nfsup 7946	. . . . . 6 |- F/_ t sup ( ran F , RR , `' < )
33		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( T X. { -u sup ( ran F , RR , `' < ) } ) = ( T X. { -u sup ( ran F , RR , `' < ) } )
34		cmptop 20190	. . . . . . 7 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
35	6, 34	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. Top )
36		stoweidlem62.14	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. C )
37	36, 9	syl6eleq 2502	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
38	28, 4, 7, 5, 6, 37, 8	stoweidlem29 37192	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sup ( ran F , RR , `' < ) e. ran F /\ sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR /\ A. t e. T sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) ) )
39	38	simp2d 1012	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR )
40	28, 32, 4, 7, 33, 5, 35, 9, 36, 39	stoweidlem47 37210	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) e. C )
41	1, 40	syl5eqel 2496	. . . 4 |- ( ph -> H e. C )
42	38	simp3d 1013	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. t e. T sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) )
43	42	r19.21bi 2775	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) )
44	5, 7, 9, 36	fcnre 36793	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : T --> RR )
45	44	fnvinran 36782	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. RR )
46	39	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR )
47	45, 46	subge0d 10184	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) <-> sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) ) )
48	43, 47	mpbird 234	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
49		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
50	45, 46	resubcld 10030	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) e. RR )
51	1	fvmpt2 5943	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. T /\ ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) e. RR ) -> ( H ` t ) = ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
52	49, 50, 51	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( H ` t ) = ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
53	48, 52	breqtrrd 4423	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( H ` t ) )
54	53	ex 434	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T -> 0 <_ ( H ` t ) ) )
55	4, 54	ralrimi 2806	. . . 4 |- ( ph -> A. t e. T 0 <_ ( H ` t ) )
56		stoweidlem62.15	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
57	56	rphalfcld 11318	. . . 4 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. RR+ )
58	56	rpred 11306	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. RR )
59	58	rehalfcld 10828	. . . . 5 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. RR )
60		3re 10652	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
61		3ne0 10673	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
62	60, 61	rereccli 10352	. . . . . 6 |- ( 1 / 3 ) e. RR
63	62	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 3 ) e. RR )
64		rphalflt 11294	. . . . . 6 |- ( E e. RR+ -> ( E / 2 ) < E )
65	56, 64	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( E / 2 ) < E )
66		stoweidlem62.17	. . . . 5 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
67	59, 58, 63, 65, 66	lttrd 9779	. . . 4 |- ( ph -> ( E / 2 ) < ( 1 / 3 ) )
68	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 25, 26, 27, 41, 55, 57, 67	stoweidlem61 37224	. . 3 |- ( ph -> E. h e. A A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) )
69		nfra1 2787	. . . . . . 7 |- F/ t A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) )
70	4, 69	nfan 1958	. . . . . 6 |- F/ t ( ph /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) )
71		rsp 2772	. . . . . . 7 |- ( A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) -> ( t e. T -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) ) )
72	56	rpcnd 11308	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. CC )
73		2cnd 10651	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. CC )
74		2ne0 10671	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
76	72, 73, 75	divcan2d 10365	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. ( E / 2 ) ) = E )
77	76	breq2d 4409	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) <-> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
78	77	biimpd 209	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
79	71, 78	sylan9r 658	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) ) -> ( t e. T -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
80	70, 79	ralrimi 2806	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) ) -> A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
81	80	ex 434	. . . 4 |- ( ph -> ( A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) -> A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
82	81	reximdv 2880	. . 3 |- ( ph -> ( E. h e. A A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) -> E. h e. A A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
83	68, 82	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. h e. A A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
84		nfmpt1 4486	. . 3 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( h ` t ) + sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
85		nfcv 2566	. . 3 |- F/_ t h
86		nfv 1730	. . . . 5 |- F/ t h e. A
87		nfra1 2787	. . . . 5 |- F/ t A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E
88	86, 87	nfan 1958	. . . 4 |- F/ t ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
89	4, 88	nfan 1958	. . 3 |- F/ t ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
90		eqid 2404	. . 3 |- ( t e. T |-> ( ( h ` t ) + sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) + sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
91	44	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> F : T --> RR )
92	39	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR )
93	18	3adant1r 1225	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
94	26	adantlr 715	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
95		stoweidlem62.2	. . . . 5 |- F/ f ph
96	10	sseld 3443	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( f e. A -> f e. C ) )
97	9	eleq2i 2482	. . . . . . . 8 |- ( f e. C <-> f e. ( J Cn K ) )
98	96, 97	syl6ib 228	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( f e. A -> f e. ( J Cn K ) ) )
99		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
100		uniretop 21563	. . . . . . . . 9 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
101	5	unieqi 4202	. . . . . . . . 9 |- U. K = U. ( topGen ` ran (,) )
102	100, 101	eqtr4i 2436	. . . . . . . 8 |- RR = U. K
103	99, 102	cnf 20042	. . . . . . 7 |- ( f e. ( J Cn K ) -> f : U. J --> RR )
104	98, 103	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ph -> ( f e. A -> f : U. J --> RR ) )
105		feq2 5699	. . . . . . 7 |- ( T = U. J -> ( f : T --> RR <-> f : U. J --> RR ) )
106	7, 105	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ph -> ( f : T --> RR <-> f : U. J --> RR ) )
107	104, 106	sylibrd 236	. . . . 5 |- ( ph -> ( f e. A -> f : T --> RR ) )
108	95, 107	ralrimi 2806	. . . 4 |- ( ph -> A. f e. A f : T --> RR )
109	108	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> A. f e. A f : T --> RR )
110		simprl 758	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> h e. A )
111	52	eqcomd 2412	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) = ( H ` t ) )
112	111	oveq2d 6296	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) = ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) )
113	112	fveq2d 5855	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) ) = ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) )
114	113	adantlr 715	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ t e. T ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) ) = ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) )
115		simplrr 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ t e. T ) -> A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
116		rspa 2773	. . . . . . 7 |- ( ( A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E /\ t e. T ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
117	115, 116	sylancom 667	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ t e. T ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
118	114, 117	eqbrtrd 4417	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ t e. T ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) ) < E )
119	118	ex 434	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> ( t e. T -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) ) < E ) )
120	89, 119	ralrimi 2806	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) ) < E )
121	84, 85, 32, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 109, 110, 120	stoweidlem21 37184	. 2 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> E. f e. A A. t e. T ( abs ` ( ( f ` t ) - ( F ` t ) ) ) < E )
122	83, 121	rexlimddv 2902	1 |- ( ph -> E. f e. A A. t e. T ( abs ` ( ( f ` t ) - ( F ` t ) ) ) < E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 186   /\ wa 369   /\ w3a 976   = wceq 1407   F/wnf 1639   e. wcel 1844   F/_wnfc 2552   =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757   C_ wss 3416   (/)c0 3740   {csn 3974   U.cuni 4193   class class class wbr 4397   |-> cmpt 4455   X. cxp 4823   `'ccnv 4824   ran crn 4826   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   supcsup 7936   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525   + caddc 9527   x. cmul 9529   < clt 9660   <_ cle 9661   - cmin 9843   -ucneg 9844   / cdiv 10249   2c2 10628   3c3 10629   RR+crp 11267   (,)cioo 11584   abscabs 13218   topGenctg 15054   Topctop 19688   Cn ccn 20020   Compccmp 20181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ioc 11589  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-mulg 16386  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-cmp 20182  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119

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