Theorem stoweidlem62 32026

Description: This theorem proves the Stone Weierstrass theorem for the non-trivial case in which T is nonempty. The proof follows [BrosowskiDeutsh] p. 89 (through page 92). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem62.1	|- F/_ t F
stoweidlem62.2	|- F/ f ph
stoweidlem62.3	|- F/ t ph
stoweidlem62.4	|- H = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
stoweidlem62.5	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem62.6	|- T = U. J
stoweidlem62.7	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem62.8	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem62.9	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem62.10	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem62.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem62.12	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem62.13	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem62.14	|- ( ph -> F e. C )
stoweidlem62.15	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem62.16	|- ( ph -> T =/= (/) )
stoweidlem62.17	|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem62	|- ( ph -> E. f e. A A. t e. T ( abs ` ( ( f ` t ) - ( F ` t ) ) ) < E )

Distinct variable groups:   f, g, t, A   f, q, r, x, t, A   f, E, g, t   f, F, g   f, H, g   f, J, r, t   T, f, g, t   ph, f, g   E, q, r, x   H, q, r, x   T, q, r, x   ph, q, r, x   t, K   x, F

Allowed substitution hints:   ph( t)   C( x, t, f, g, r, q)   F( t, r, q)   H( t)   J( x, g, q)   K( x, f, g, r, q)

Proof of Theorem stoweidlem62

Dummy variable h is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem62.4	. . . . 5 |- H = ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
2		nfmpt1 4546	. . . . 5 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
3	1, 2	nfcxfr 2617	. . . 4 |- F/_ t H
4		stoweidlem62.3	. . . 4 |- F/ t ph
5		stoweidlem62.5	. . . 4 |- K = ( topGen ` ran (,) )
6		stoweidlem62.7	. . . 4 |- ( ph -> J e. Comp )
7		stoweidlem62.6	. . . 4 |- T = U. J
8		stoweidlem62.16	. . . 4 |- ( ph -> T =/= (/) )
9		stoweidlem62.8	. . . 4 |- C = ( J Cn K )
10		stoweidlem62.9	. . . 4 |- ( ph -> A C_ C )
11		eleq1 2529	. . . . . . 7 |- ( g = h -> ( g e. A <-> h e. A ) )
12	11	3anbi3d 1305	. . . . . 6 |- ( g = h -> ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) <-> ( ph /\ f e. A /\ h e. A ) ) )
13		fveq1 5871	. . . . . . . . 9 |- ( g = h -> ( g ` t ) = ( h ` t ) )
14	13	oveq2d 6312	. . . . . . . 8 |- ( g = h -> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) = ( ( f ` t ) + ( h ` t ) ) )
15	14	mpteq2dv 4544	. . . . . . 7 |- ( g = h -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( h ` t ) ) ) )
16	15	eleq1d 2526	. . . . . 6 |- ( g = h -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( h ` t ) ) ) e. A ) )
17	12, 16	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( g = h -> ( ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ f e. A /\ h e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( h ` t ) ) ) e. A ) ) )
18		stoweidlem62.10	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
19	17, 18	chvarv 2015	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ h e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( h ` t ) ) ) e. A )
20	13	oveq2d 6312	. . . . . . . 8 |- ( g = h -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( f ` t ) x. ( h ` t ) ) )
21	20	mpteq2dv 4544	. . . . . . 7 |- ( g = h -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( h ` t ) ) ) )
22	21	eleq1d 2526	. . . . . 6 |- ( g = h -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A <-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( h ` t ) ) ) e. A ) )
23	12, 22	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( g = h -> ( ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A ) <-> ( ( ph /\ f e. A /\ h e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( h ` t ) ) ) e. A ) ) )
24		stoweidlem62.11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
25	23, 24	chvarv 2015	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ h e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( h ` t ) ) ) e. A )
26		stoweidlem62.12	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
27		stoweidlem62.13	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
28		stoweidlem62.1	. . . . . 6 |- F/_ t F
29	28	nfrn 5255	. . . . . . 7 |- F/_ t ran F
30		nfcv 2619	. . . . . . 7 |- F/_ t RR
31		nfcv 2619	. . . . . . 7 |- F/_ t `' <
32	29, 30, 31	nfsup 7928	. . . . . 6 |- F/_ t sup ( ran F , RR , `' < )
33		eqid 2457	. . . . . 6 |- ( T X. { -u sup ( ran F , RR , `' < ) } ) = ( T X. { -u sup ( ran F , RR , `' < ) } )
34		cmptop 20022	. . . . . . 7 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
35	6, 34	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. Top )
36		stoweidlem62.14	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. C )
37	36, 9	syl6eleq 2555	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
38	28, 4, 7, 5, 6, 37, 8	stoweidlem29 31993	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sup ( ran F , RR , `' < ) e. ran F /\ sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR /\ A. t e. T sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) ) )
39	38	simp2d 1009	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR )
40	28, 32, 4, 7, 33, 5, 35, 9, 36, 39	stoweidlem47 32011	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) e. C )
41	1, 40	syl5eqel 2549	. . . 4 |- ( ph -> H e. C )
42	38	simp3d 1010	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. t e. T sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) )
43	42	r19.21bi 2826	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) )
44	5, 7, 9, 36	fcnre 31582	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : T --> RR )
45	44	fnvinran 31571	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. RR )
46	39	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR )
47	45, 46	subge0d 10163	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 <_ ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) <-> sup ( ran F , RR , `' < ) <_ ( F ` t ) ) )
48	43, 47	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
49		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
50	45, 46	resubcld 10008	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) e. RR )
51	1	fvmpt2 5964	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. T /\ ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) e. RR ) -> ( H ` t ) = ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
52	49, 50, 51	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( H ` t ) = ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
53	48, 52	breqtrrd 4482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( H ` t ) )
54	53	ex 434	. . . . 5 |- ( ph -> ( t e. T -> 0 <_ ( H ` t ) ) )
55	4, 54	ralrimi 2857	. . . 4 |- ( ph -> A. t e. T 0 <_ ( H ` t ) )
56		stoweidlem62.15	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
57	56	rphalfcld 11293	. . . 4 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. RR+ )
58	56	rpred 11281	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. RR )
59	58	rehalfcld 10806	. . . . 5 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. RR )
60		3re 10630	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
61		3ne0 10651	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
62	60, 61	rereccli 10330	. . . . . 6 |- ( 1 / 3 ) e. RR
63	62	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / 3 ) e. RR )
64		rphalflt 11271	. . . . . 6 |- ( E e. RR+ -> ( E / 2 ) < E )
65	56, 64	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( E / 2 ) < E )
66		stoweidlem62.17	. . . . 5 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
67	59, 58, 63, 65, 66	lttrd 9760	. . . 4 |- ( ph -> ( E / 2 ) < ( 1 / 3 ) )
68	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 25, 26, 27, 41, 55, 57, 67	stoweidlem61 32025	. . 3 |- ( ph -> E. h e. A A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) )
69		nfra1 2838	. . . . . . 7 |- F/ t A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) )
70	4, 69	nfan 1929	. . . . . 6 |- F/ t ( ph /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) )
71		rsp 2823	. . . . . . 7 |- ( A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) -> ( t e. T -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) ) )
72	56	rpcnd 11283	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. CC )
73		2cnd 10629	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. CC )
74		2ne0 10649	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
76	72, 73, 75	divcan2d 10343	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. ( E / 2 ) ) = E )
77	76	breq2d 4468	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) <-> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
78	77	biimpd 207	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
79	71, 78	sylan9r 658	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) ) -> ( t e. T -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
80	70, 79	ralrimi 2857	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) ) -> A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
81	80	ex 434	. . . 4 |- ( ph -> ( A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) -> A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
82	81	reximdv 2931	. . 3 |- ( ph -> ( E. h e. A A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < ( 2 x. ( E / 2 ) ) -> E. h e. A A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
83	68, 82	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. h e. A A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
84		nfmpt1 4546	. . 3 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( h ` t ) + sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
85		nfcv 2619	. . 3 |- F/_ t h
86		nfv 1708	. . . . 5 |- F/ t h e. A
87		nfra1 2838	. . . . 5 |- F/ t A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E
88	86, 87	nfan 1929	. . . 4 |- F/ t ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
89	4, 88	nfan 1929	. . 3 |- F/ t ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) )
90		eqid 2457	. . 3 |- ( t e. T |-> ( ( h ` t ) + sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) + sup ( ran F , RR , `' < ) ) )
91	44	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> F : T --> RR )
92	39	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> sup ( ran F , RR , `' < ) e. RR )
93	18	3adant1r 1221	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
94	26	adantlr 714	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
95		stoweidlem62.2	. . . . 5 |- F/ f ph
96	10	sseld 3498	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( f e. A -> f e. C ) )
97	9	eleq2i 2535	. . . . . . . 8 |- ( f e. C <-> f e. ( J Cn K ) )
98	96, 97	syl6ib 226	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( f e. A -> f e. ( J Cn K ) ) )
99		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
100		uniretop 21395	. . . . . . . . 9 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
101	5	unieqi 4260	. . . . . . . . 9 |- U. K = U. ( topGen ` ran (,) )
102	100, 101	eqtr4i 2489	. . . . . . . 8 |- RR = U. K
103	99, 102	cnf 19874	. . . . . . 7 |- ( f e. ( J Cn K ) -> f : U. J --> RR )
104	98, 103	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ph -> ( f e. A -> f : U. J --> RR ) )
105		feq2 5720	. . . . . . 7 |- ( T = U. J -> ( f : T --> RR <-> f : U. J --> RR ) )
106	7, 105	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( ph -> ( f : T --> RR <-> f : U. J --> RR ) )
107	104, 106	sylibrd 234	. . . . 5 |- ( ph -> ( f e. A -> f : T --> RR ) )
108	95, 107	ralrimi 2857	. . . 4 |- ( ph -> A. f e. A f : T --> RR )
109	108	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> A. f e. A f : T --> RR )
110		simprl 756	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> h e. A )
111	52	eqcomd 2465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) = ( H ` t ) )
112	111	oveq2d 6312	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) = ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) )
113	112	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) ) = ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) )
114	113	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ t e. T ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) ) = ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) )
115		simplrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ t e. T ) -> A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
116		rspa 2824	. . . . . . 7 |- ( ( A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E /\ t e. T ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
117	115, 116	sylancom 667	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ t e. T ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E )
118	114, 117	eqbrtrd 4476	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) /\ t e. T ) -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) ) < E )
119	118	ex 434	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> ( t e. T -> ( abs ` ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) ) < E ) )
120	89, 119	ralrimi 2857	. . 3 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( ( F ` t ) - sup ( ran F , RR , `' < ) ) ) ) < E )
121	84, 85, 32, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 109, 110, 120	stoweidlem21 31985	. 2 |- ( ( ph /\ ( h e. A /\ A. t e. T ( abs ` ( ( h ` t ) - ( H ` t ) ) ) < E ) ) -> E. f e. A A. t e. T ( abs ` ( ( f ` t ) - ( F ` t ) ) ) < E )
122	83, 121	rexlimddv 2953	1 |- ( ph -> E. f e. A A. t e. T ( abs ` ( ( f ` t ) - ( F ` t ) ) ) < E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   F/wnf 1617   e. wcel 1819   F/_wnfc 2605   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   X. cxp 5006   `'ccnv 5007   ran crn 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   -ucneg 9825   / cdiv 10227   2c2 10606   3c3 10607   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   abscabs 13079   topGenctg 14855   Topctop 19521   Cn ccn 19852   Compccmp 20013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951

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