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Theorem stoweidlem61 27912
Description: This lemma proves that there exists a function  g as in the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 92:  g is in the subalgebra, and for all  t in  T, abs( f(t) - g(t) ) < 2*ε. Here  F is used to represent f in the paper, and  E is used to represent ε. For this lemma there's the further assumption that the function  F to be approximated is nonnegative (this assumption is removed in a later theorem). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem61.1  |-  F/_ t F
stoweidlem61.2  |-  F/ t
ph
stoweidlem61.3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
stoweidlem61.4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
stoweidlem61.5  |-  T  = 
U. J
stoweidlem61.6  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
stoweidlem61.7  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
stoweidlem61.8  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
stoweidlem61.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem61.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
stoweidlem61.11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
stoweidlem61.12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
stoweidlem61.13  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
stoweidlem61.14  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T 
0  <_  ( F `  t ) )
stoweidlem61.15  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
stoweidlem61.16  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem61  |-  ( ph  ->  E. g  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( g `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  ( 2  x.  E ) )
Distinct variable groups:    f, g,
q, r, t, x, A    f, E, g, q, r, t, x   
f, F, g, q, r, x    f, J, g, r, t    T, f, g, q, r, t, x    ph, f, g, q, r, x    t, K
Allowed substitution hints:    ph( t)    C( x, t, f, g, r, q)    F( t)    J( x, q)    K( x, f, g, r, q)

Proof of Theorem stoweidlem61
Dummy variables  j  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem61.1 . . 3  |-  F/_ t F
2 stoweidlem61.2 . . 3  |-  F/ t
ph
3 stoweidlem61.3 . . 3  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
4 stoweidlem61.5 . . 3  |-  T  = 
U. J
5 stoweidlem61.7 . . 3  |-  C  =  ( J  Cn  K
)
6 eqid 2296 . . 3  |-  ( j  e.  ( 0 ... n )  |->  { t  e.  T  |  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  / 
3 ) )  x.  E ) } )  =  ( j  e.  ( 0 ... n
)  |->  { t  e.  T  |  ( F `
 t )  <_ 
( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) } )
7 eqid 2296 . . 3  |-  ( j  e.  ( 0 ... n )  |->  { t  e.  T  |  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  <_  ( F `  t ) } )  =  ( j  e.  ( 0 ... n
)  |->  { t  e.  T  |  ( ( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  <_ 
( F `  t
) } )
8 stoweidlem61.4 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
9 stoweidlem61.6 . . 3  |-  ( ph  ->  T  =/=  (/) )
10 stoweidlem61.8 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  C )
11 stoweidlem61.9 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  +  ( g `  t ) ) )  e.  A )
12 stoweidlem61.10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  A  /\  g  e.  A
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  A )
13 stoweidlem61.11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( t  e.  T  |->  x )  e.  A )
14 stoweidlem61.12 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  T  /\  t  e.  T  /\  r  =/=  t ) )  ->  E. q  e.  A  ( q `  r
)  =/=  ( q `
 t ) )
15 stoweidlem61.13 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  C )
16 stoweidlem61.14 . . 3  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T 
0  <_  ( F `  t ) )
17 stoweidlem61.15 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
18 stoweidlem61.16 . . 3  |-  ( ph  ->  E  <  ( 1  /  3 ) )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18stoweidlem60 27911 . 2  |-  ( ph  ->  E. g  e.  A  A. t  e.  T  E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E ) )  /\  ( ( g `  t )  <  ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  /\  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( g `  t ) ) ) )
20 nfv 1609 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  g  e.  A
212, 20nfan 1783 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( ph  /\  g  e.  A )
22 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ph )
2322, 17syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  E  e.  RR+ )
243, 4, 5, 15fcnre 27798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : T --> RR )
25 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t
)  e.  RR )
2624, 25sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
2726adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
2810sselda 3193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  A )  ->  g  e.  C )
293, 4, 5, 28fcnre 27798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  A )  ->  g : T --> RR )
30 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : T --> RR  /\  t  e.  T )  ->  ( g `  t
)  e.  RR )
3129, 30sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  (
g `  t )  e.  RR )
3223, 27, 313jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( E  e.  RR+  /\  ( F `  t )  e.  RR  /\  ( g `
 t )  e.  RR ) )
33 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( E  e.  RR+  /\  ( F `  t )  e.  RR  /\  ( g `  t
)  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) ) )  ->  E  e.  RR+ )
34 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( E  e.  RR+  /\  ( F `  t )  e.  RR  /\  ( g `  t
)  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) ) )  ->  ( F `  t )  e.  RR )
35 simpll3 996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( E  e.  RR+  /\  ( F `  t )  e.  RR  /\  ( g `  t
)  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) ) )  ->  ( g `  t )  e.  RR )
36 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( E  e.  RR+  /\  ( F `  t )  e.  RR  /\  ( g `  t
)  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) ) )  ->  j  e.  RR )
37 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( E  e.  RR+  /\  ( F `  t )  e.  RR  /\  ( g `  t
)  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) ) )  ->  ( (
( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) ) )
38 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( E  e.  RR+  /\  ( F `  t )  e.  RR  /\  ( g `  t
)  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) ) )  ->  ( (
j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( F `  t
) )
3937, 38syldan 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( E  e.  RR+  /\  ( F `  t )  e.  RR  /\  ( g `  t
)  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) ) )  ->  ( (
j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( F `  t
) )
40 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )  /\  ( ( g `
 t )  < 
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  /\  ( (
j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( g `  t
) ) )  -> 
( F `  t
)  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
4137, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( E  e.  RR+  /\  ( F `  t )  e.  RR  /\  ( g `  t
)  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) ) )  ->  ( F `  t )  <_  (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E ) )
42 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )  /\  ( ( g `
 t )  < 
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  /\  ( (
j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( g `  t
) ) )  -> 
( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) )
4337, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( E  e.  RR+  /\  ( F `  t )  e.  RR  /\  ( g `  t
)  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) ) )  ->  ( (
j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( g `  t
) )
44 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )  /\  ( ( g `
 t )  < 
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  /\  ( (
j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( g `  t
) ) )  -> 
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
4537, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( E  e.  RR+  /\  ( F `  t )  e.  RR  /\  ( g `  t
)  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) ) )  ->  ( g `  t )  <  (
( j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )
4633, 34, 35, 36, 39, 41, 43, 45stoweidlem13 27864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( E  e.  RR+  /\  ( F `  t )  e.  RR  /\  ( g `  t
)  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  /\  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( g `  t )  -  ( F `  t )
) )  <  (
2  x.  E ) )
4746ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( E  e.  RR+  /\  ( F `  t
)  e.  RR  /\  ( g `  t
)  e.  RR )  /\  j  e.  RR )  ->  ( ( ( ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) )  ->  ( abs `  (
( g `  t
)  -  ( F `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  E ) ) )
4847ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E  e.  RR+  /\  ( F `  t )  e.  RR  /\  ( g `
 t )  e.  RR )  ->  (
j  e.  RR  ->  ( ( ( ( ( j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E ) )  /\  ( ( g `  t )  <  ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  /\  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( g `  t ) ) )  ->  ( abs `  (
( g `  t
)  -  ( F `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  E ) ) ) )
4948rexlimdv 2679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  e.  RR+  /\  ( F `  t )  e.  RR  /\  ( g `
 t )  e.  RR )  ->  ( E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E ) )  /\  ( ( g `  t )  <  ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  /\  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( g `  t ) ) )  ->  ( abs `  (
( g `  t
)  -  ( F `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  E ) ) )
5032, 49syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  A )  /\  t  e.  T )  ->  ( E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E ) )  /\  ( ( g `  t )  <  ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  /\  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( g `  t ) ) )  ->  ( abs `  (
( g `  t
)  -  ( F `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  E ) ) )
5150ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  A )  ->  (
t  e.  T  -> 
( E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) )  ->  ( abs `  (
( g `  t
)  -  ( F `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  E ) ) ) )
5221, 51ralrimi 2637 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  A )  ->  A. t  e.  T  ( E. j  e.  RR  (
( ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )  /\  ( ( g `
 t )  < 
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  /\  ( (
j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( g `  t
) ) )  -> 
( abs `  (
( g `  t
)  -  ( F `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  E ) ) )
53 df-ral 2561 . . . . . . 7  |-  ( A. t  e.  T  ( E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E ) )  /\  ( ( g `  t )  <  ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  /\  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( g `  t ) ) )  ->  ( abs `  (
( g `  t
)  -  ( F `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  E ) )  <->  A. t ( t  e.  T  ->  ( E. j  e.  RR  (
( ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )  /\  ( ( g `
 t )  < 
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  /\  ( (
j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( g `  t
) ) )  -> 
( abs `  (
( g `  t
)  -  ( F `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  E ) ) ) )
5452, 53sylib 188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  A )  ->  A. t
( t  e.  T  ->  ( E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) )  ->  ( abs `  (
( g `  t
)  -  ( F `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  E ) ) ) )
55 ax-2 6 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  T  -> 
( E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) )  ->  ( abs `  (
( g `  t
)  -  ( F `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  E ) ) )  ->  ( (
t  e.  T  ->  E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E ) )  /\  ( ( g `  t )  <  ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  /\  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( g `  t ) ) ) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( abs `  ( ( g `  t )  -  ( F `  t )
) )  <  (
2  x.  E ) ) ) )
5655ax-gen 1536 . . . . . . 7  |-  A. t
( ( t  e.  T  ->  ( E. j  e.  RR  (
( ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )  /\  ( ( g `
 t )  < 
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  /\  ( (
j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( g `  t
) ) )  -> 
( abs `  (
( g `  t
)  -  ( F `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  E ) ) )  ->  ( (
t  e.  T  ->  E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E ) )  /\  ( ( g `  t )  <  ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  /\  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( g `  t ) ) ) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( abs `  ( ( g `  t )  -  ( F `  t )
) )  <  (
2  x.  E ) ) ) )
57 ax-5 1547 . . . . . . 7  |-  ( A. t ( ( t  e.  T  ->  ( E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E ) )  /\  ( ( g `  t )  <  ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  /\  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( g `  t ) ) )  ->  ( abs `  (
( g `  t
)  -  ( F `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  E ) ) )  ->  ( (
t  e.  T  ->  E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E ) )  /\  ( ( g `  t )  <  ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  /\  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( g `  t ) ) ) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( abs `  ( ( g `  t )  -  ( F `  t )
) )  <  (
2  x.  E ) ) ) )  -> 
( A. t ( t  e.  T  -> 
( E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) )  ->  ( abs `  (
( g `  t
)  -  ( F `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  E ) ) )  ->  A. t
( ( t  e.  T  ->  E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) ) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( abs `  ( ( g `  t )  -  ( F `  t )
) )  <  (
2  x.  E ) ) ) ) )
5856, 57ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A. t ( t  e.  T  ->  ( E. j  e.  RR  (
( ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )  /\  ( ( g `
 t )  < 
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  /\  ( (
j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( g `  t
) ) )  -> 
( abs `  (
( g `  t
)  -  ( F `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  E ) ) )  ->  A. t
( ( t  e.  T  ->  E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) ) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( abs `  ( ( g `  t )  -  ( F `  t )
) )  <  (
2  x.  E ) ) ) )
5954, 58syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  A )  ->  A. t
( ( t  e.  T  ->  E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) ) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( abs `  ( ( g `  t )  -  ( F `  t )
) )  <  (
2  x.  E ) ) ) )
60 ax-5 1547 . . . . 5  |-  ( A. t ( ( t  e.  T  ->  E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) ) )  ->  ( t  e.  T  ->  ( abs `  ( ( g `  t )  -  ( F `  t )
) )  <  (
2  x.  E ) ) )  ->  ( A. t ( t  e.  T  ->  E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) ) )  ->  A. t
( t  e.  T  ->  ( abs `  (
( g `  t
)  -  ( F `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  E ) ) ) )
6159, 60syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  A )  ->  ( A. t ( t  e.  T  ->  E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) ) )  ->  A. t
( t  e.  T  ->  ( abs `  (
( g `  t
)  -  ( F `
 t ) ) )  <  ( 2  x.  E ) ) ) )
62 df-ral 2561 . . . 4  |-  ( A. t  e.  T  E. j  e.  RR  (
( ( ( j  -  ( 4  / 
3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t
)  <_  ( (
j  -  ( 1  /  3 ) )  x.  E ) )  /\  ( ( g `
 t )  < 
( ( j  +  ( 1  /  3
) )  x.  E
)  /\  ( (
j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( g `  t
) ) )  <->  A. t
( t  e.  T  ->  E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E ) )  /\  ( ( g `  t )  <  ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  /\  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( g `  t ) ) ) ) )
63 df-ral 2561 . . . 4  |-  ( A. t  e.  T  ( abs `  ( ( g `
 t )  -  ( F `  t ) ) )  <  (
2  x.  E )  <->  A. t ( t  e.  T  ->  ( abs `  ( ( g `  t )  -  ( F `  t )
) )  <  (
2  x.  E ) ) )
6461, 62, 633imtr4g 261 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  A )  ->  ( A. t  e.  T  E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  ( 4  /  3 ) )  x.  E )  < 
( F `  t
)  /\  ( F `  t )  <_  (
( j  -  (
1  /  3 ) )  x.  E ) )  /\  ( ( g `  t )  <  ( ( j  +  ( 1  / 
3 ) )  x.  E )  /\  (
( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( g `  t ) ) )  ->  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( g `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  ( 2  x.  E ) ) )
6564reximdva 2668 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  A  A. t  e.  T  E. j  e.  RR  ( ( ( ( j  -  (
4  /  3 ) )  x.  E )  <  ( F `  t )  /\  ( F `  t )  <_  ( ( j  -  ( 1  /  3
) )  x.  E
) )  /\  (
( g `  t
)  <  ( (
j  +  ( 1  /  3 ) )  x.  E )  /\  ( ( j  -  ( 4  /  3
) )  x.  E
)  <  ( g `  t ) ) )  ->  E. g  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( g `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  ( 2  x.  E ) ) )
6619, 65mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. g  e.  A  A. t  e.  T  ( abs `  ( ( g `  t )  -  ( F `  t ) ) )  <  ( 2  x.  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   ...cfz 10798   abscabs 11735   topGenctg 13358    Cn ccn 16970   Compccmp 17129
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903
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