Theorem stoweidlem60 38033

Description: This lemma proves that there exists a function g as in the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 91 (this parte of the proof actually spans through pages 91-92): g is in the subalgebra, and for all t in T, there is a j such that (j-4/3)*ε < f(t) <= (j-1/3)*ε and (j-4/3)*ε < g(t) < (j+1/3)*ε. Here F is used to represent f in the paper, and E is used to represent ε. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem60.1	|- F/_ t F
stoweidlem60.2	|- F/ t ph
stoweidlem60.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem60.4	|- T = U. J
stoweidlem60.5	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem60.6	|- D = ( j e. ( 0 ... n ) |-> { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } )
stoweidlem60.7	|- B = ( j e. ( 0 ... n ) |-> { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } )
stoweidlem60.8	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem60.9	|- ( ph -> T =/= (/) )
stoweidlem60.10	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem60.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem60.12	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem60.13	|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
stoweidlem60.14	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem60.15	|- ( ph -> F e. C )
stoweidlem60.16	|- ( ph -> A. t e. T 0 <_ ( F ` t ) )
stoweidlem60.17	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem60.18	|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem60	|- ( ph -> E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, j, n, t, A, q, r   y, f, j, n, q, r, t, A   B, f, g   D, f, g   f, E, g, j, n, t   f, J, g, r, t   T, f, g, j, n, t   ph, f, g, j, n   g, F, j, n   B, q, r, y   D, q, r, y   T, q, r, y   ph, q, r, y   E, r, y   t, K

Allowed substitution hints:   ph( t)   B( t, j, n)   C( y, t, f, g, j, n, r, q)   D( t, j, n)   E( q)   F( y, t, f, r, q)   J( y, j, n, q)   K( y, f, g, j, n, r, q)

Proof of Theorem stoweidlem60

Dummy variables i x m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 10638	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. RR )
2	1	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. RR )
3		stoweidlem60.17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E e. RR+ )
4	3	rpred 11364	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E e. RR )
5	4	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> E e. RR )
6	3	rpne0d 11369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E =/= 0 )
7	6	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> E =/= 0 )
8	2, 5, 7	redivcld 10457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m / E ) e. RR )
9		1red 9676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> 1 e. RR )
10	8, 9	readdcld 9688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( m / E ) + 1 ) e. RR )
11	10	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) -> ( ( m / E ) + 1 ) e. RR )
12		arch 10890	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( m / E ) + 1 ) e. RR -> E. n e. NN ( ( m / E ) + 1 ) < n )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) -> E. n e. NN ( ( m / E ) + 1 ) < n )
14		stoweidlem60.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ t ph
15		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ t m e. NN
16	14, 15	nfan 2031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ t ( ph /\ m e. NN )
17		nfra1 2785	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ t A. t e. T ( F ` t ) < m
18	16, 17	nfan 2031	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ t ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m )
19		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ t n e. NN
20	18, 19	nfan 2031	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN )
21		nfv 1769	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t ( ( m / E ) + 1 ) < n
22	20, 21	nfan 2031	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n )
23		simp-5l 786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> ph )
24		stoweidlem60.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- K = ( topGen ` ran (,) )
25		stoweidlem60.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- T = U. J
26		stoweidlem60.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- C = ( J Cn K )
27		stoweidlem60.15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F e. C )
28	24, 25, 26, 27	fcnre 37409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : T --> RR )
29	28	fnvinran 37398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. RR )
30	23, 29	sylancom 680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> ( F ` t ) e. RR )
31		simp-5r 787	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> m e. NN )
32	31	nnred 10646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> m e. RR )
33		simpllr 777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> n e. NN )
34	33	nnred 10646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> n e. RR )
35		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> 1 e. RR )
36	34, 35	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> ( n - 1 ) e. RR )
37	23, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> E e. RR )
38	36, 37	remulcld 9689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> ( ( n - 1 ) x. E ) e. RR )
39		simpllr 777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> A. t e. T ( F ` t ) < m )
40	39	r19.21bi 2776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> ( F ` t ) < m )
41		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> ( ( m / E ) + 1 ) < n )
42		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> ( ( m / E ) + 1 ) < n )
43		simpl1 1033	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> ph )
44		simpl2 1034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> m e. NN )
45	43, 44, 8	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> ( m / E ) e. RR )
46		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> 1 e. RR )
47		simpl3 1035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> n e. NN )
48	47	nnred 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> n e. RR )
49	45, 46, 48	ltaddsubd 10234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> ( ( ( m / E ) + 1 ) < n <-> ( m / E ) < ( n - 1 ) ) )
50	42, 49	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> ( m / E ) < ( n - 1 ) )
51	1	3ad2ant2 1052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) -> m e. RR )
52	51	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> m e. RR )
53	48, 46	resubcld 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> ( n - 1 ) e. RR )
54	4	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) -> E e. RR )
55	54	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> E e. RR )
56	3	rpgt0d 11367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 0 < E )
57	43, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> 0 < E )
58		ltdivmul2 10504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. RR /\ ( n - 1 ) e. RR /\ ( E e. RR /\ 0 < E ) ) -> ( ( m / E ) < ( n - 1 ) <-> m < ( ( n - 1 ) x. E ) ) )
59	52, 53, 55, 57, 58	syl112anc 1296	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> ( ( m / E ) < ( n - 1 ) <-> m < ( ( n - 1 ) x. E ) ) )
60	50, 59	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> m < ( ( n - 1 ) x. E ) )
61	23, 31, 33, 41, 60	syl31anc 1295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> m < ( ( n - 1 ) x. E ) )
62	30, 32, 38, 40, 61	lttrd 9813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) /\ t e. T ) -> ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) )
63	62	ex 441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> ( t e. T -> ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) )
64	22, 63	ralrimi 2800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) /\ ( ( m / E ) + 1 ) < n ) -> A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) )
65	64	ex 441	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( m / E ) + 1 ) < n -> A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) )
66	65	reximdva 2858	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) -> ( E. n e. NN ( ( m / E ) + 1 ) < n -> E. n e. NN A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) )
67	13, 66	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ A. t e. T ( F ` t ) < m ) -> E. n e. NN A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) )
68		stoweidlem60.1	. . . . . . . 8 |- F/_ t F
69		stoweidlem60.8	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. Comp )
70		stoweidlem60.9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T =/= (/) )
71	68, 14, 24, 69, 25, 70, 26, 27	rfcnnnub 37420	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. m e. NN A. t e. T ( F ` t ) < m )
72	67, 71	r19.29a 2918	. . . . . 6 |- ( ph -> E. n e. NN A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) )
73		df-rex 2762	. . . . . 6 |- ( E. n e. NN A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) <-> E. n ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) )
74	72, 73	sylib 201	. . . . 5 |- ( ph -> E. n ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) )
75		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) ) -> ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) )
76	14, 19	nfan 2031	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t ( ph /\ n e. NN )
77		stoweidlem60.6	. . . . . . . . . . 11 |- D = ( j e. ( 0 ... n ) |-> { t e. T | ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) } )
78		stoweidlem60.7	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( j e. ( 0 ... n ) |-> { t e. T | ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <_ ( F ` t ) } )
79		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) } = { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) }
80		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... n ) |-> { y e. { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) } | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( y ` t ) ) } ) = ( j e. ( 0 ... n ) |-> { y e. { y e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) } | ( A. t e. ( D ` j ) ( y ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( y ` t ) ) } )
81	69	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> J e. Comp )
82		stoweidlem60.10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ C )
83	82	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A C_ C )
84		stoweidlem60.11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
85	84	3adant1r 1285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
86		stoweidlem60.12	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
87	86	3adant1r 1285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
88		stoweidlem60.13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
89	88	adantlr 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
90		stoweidlem60.14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
91	90	adantlr 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
92	27	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F e. C )
93	3	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E e. RR+ )
94		stoweidlem60.18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
95	94	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E < ( 1 / 3 ) )
96		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
97	68, 76, 24, 25, 26, 77, 78, 79, 80, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 92, 93, 95, 96	stoweidlem59 38032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E. x ( x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) )
98	97	adantrr 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) ) -> E. x ( x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) )
99		19.42v 1842	. . . . . . . . 9 |- ( E. x ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ ( x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) <-> ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ E. x ( x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) )
100	75, 98, 99	sylanbrc 677	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) ) -> E. x ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ ( x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) )
101		3anass 1011	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) <-> ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ ( x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) )
102	101	exbii 1726	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) <-> E. x ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ ( x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) )
103	100, 102	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) ) -> E. x ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) )
104	103	ex 441	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) -> E. x ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) )
105	104	eximdv 1772	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. n ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) -> E. n E. x ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) )
106	74, 105	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> E. n E. x ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) )
107		simpl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> ph )
108		simpr1l 1087	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> n e. NN )
109		simpr2 1037	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> x : ( 0 ... n ) --> A )
110		nfv 1769	. . . . . . . . . 10 |- F/ t x : ( 0 ... n ) --> A
111	14, 19, 110	nf3an 2033	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A )
112		simp2 1031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A ) -> n e. NN )
113		simp3 1032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A ) -> x : ( 0 ... n ) --> A )
114		simp1 1030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A ) -> ph )
115	114, 84	syl3an1 1325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
116	114, 86	syl3an1 1325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
117	88	3ad2antl1 1192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A ) /\ y e. RR ) -> ( t e. T |-> y ) e. A )
118	3	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A ) -> E e. RR+ )
119	118	rpred 11364	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A ) -> E e. RR )
120	82	sselda 3418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f e. C )
121	24, 25, 26, 120	fcnre 37409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
122	121	3ad2antl1 1192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
123	111, 112, 113, 115, 116, 117, 119, 122	stoweidlem17 37989	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ x : ( 0 ... n ) --> A ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) e. A )
124	107, 108, 109, 123	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) e. A )
125		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ j ph
126		nfv 1769	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) )
127		nfv 1769	. . . . . . . . . 10 |- F/ j x : ( 0 ... n ) --> A
128		nfra1 2785	. . . . . . . . . 10 |- F/ j A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) )
129	126, 127, 128	nf3an 2033	. . . . . . . . 9 |- F/ j ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) )
130	125, 129	nfan 2031	. . . . . . . 8 |- F/ j ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) )
131		nfra1 2785	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E )
132	19, 131	nfan 2031	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) )
133		nfcv 2612	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t ( 0 ... n )
134		nfra1 2785	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 )
135		nfra1 2785	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n )
136		nfra1 2785	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ t A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t )
137	134, 135, 136	nf3an 2033	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) )
138	133, 137	nfral 2789	. . . . . . . . . 10 |- F/ t A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) )
139	132, 110, 138	nf3an 2033	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) )
140	14, 139	nfan 2031	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) )
141		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( t e. T |-> { j e. ( 1 ... n ) | t e. ( D ` j ) } ) = ( t e. T |-> { j e. ( 1 ... n ) | t e. ( D ` j ) } )
142		uniexg 6607	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Comp -> U. J e. _V )
143	69, 142	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. J e. _V )
144	25, 143	syl5eqel 2553	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T e. _V )
145	144	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> T e. _V )
146	28	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> F : T --> RR )
147		stoweidlem60.16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. t e. T 0 <_ ( F ` t ) )
148	147	r19.21bi 2776	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> 0 <_ ( F ` t ) )
149	148	adantlr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( F ` t ) )
150		simpr1r 1088	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) )
151	150	r19.21bi 2776	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ t e. T ) -> ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) )
152	3	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> E e. RR+ )
153	94	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> E < ( 1 / 3 ) )
154		simpll 768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ph )
155		simplr2 1073	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> x : ( 0 ... n ) --> A )
156		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> j e. ( 0 ... n ) )
157		simp1 1030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ph )
158		ffvelrn 6035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x : ( 0 ... n ) --> A /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( x ` j ) e. A )
159	158	3adant1 1048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( x ` j ) e. A )
160	82	sselda 3418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x ` j ) e. A ) -> ( x ` j ) e. C )
161	24, 25, 26, 160	fcnre 37409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x ` j ) e. A ) -> ( x ` j ) : T --> RR )
162	157, 159, 161	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( x ` j ) : T --> RR )
163	154, 155, 156, 162	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> ( x ` j ) : T --> RR )
164		simp1r3 1128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. T ) -> A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) )
165		r19.26-3 2906	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) <-> ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) )
166	165	simp1bi 1045	. . . . . . . . . 10 |- ( A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) -> A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) )
167		simpl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) -> 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) )
168	167	ralimi 2796	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) -> A. t e. T 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) )
169	168	ralimi 2796	. . . . . . . . . 10 |- ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) -> A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) )
170	164, 166, 169	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. T ) -> A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) )
171		simp2 1031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. T ) -> j e. ( 0 ... n ) )
172		simp3 1032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. T ) -> t e. T )
173		rspa 2774	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> A. t e. T 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) )
174	173	r19.21bi 2776	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) )
175	170, 171, 172, 174	syl21anc 1291	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. T ) -> 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) )
176		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) -> ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 )
177	176	ralimi 2796	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) -> A. t e. T ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 )
178	177	ralimi 2796	. . . . . . . . . 10 |- ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) -> A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 )
179	164, 166, 178	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. T ) -> A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 )
180		rspa 2774	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> A. t e. T ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 )
181	180	r19.21bi 2776	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. T ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 /\ j e. ( 0 ... n ) ) /\ t e. T ) -> ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 )
182	179, 171, 172, 181	syl21anc 1291	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. T ) -> ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 )
183		simp1r3 1128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. ( D ` j ) ) -> A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) )
184	165	simp2bi 1046	. . . . . . . . . 10 |- ( A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) -> A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) )
185	183, 184	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. ( D ` j ) ) -> A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) )
186		simp2 1031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. ( D ` j ) ) -> j e. ( 0 ... n ) )
187		simp3 1032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. ( D ` j ) ) -> t e. ( D ` j ) )
188		rspa 2774	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) )
189	188	r19.21bi 2776	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) /\ t e. ( D ` j ) ) -> ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) )
190	185, 186, 187, 189	syl21anc 1291	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. ( D ` j ) ) -> ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) )
191		simp1r3 1128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) )
192	165	simp3bi 1047	. . . . . . . . . 10 |- ( A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) -> A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) )
193	191, 192	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) )
194		simp2 1031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> j e. ( 0 ... n ) )
195		simp3 1032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> t e. ( B ` j ) )
196		rspa 2774	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) -> A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) )
197	196	r19.21bi 2776	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. j e. ( 0 ... n ) A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) /\ j e. ( 0 ... n ) ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) )
198	193, 194, 195, 197	syl21anc 1291	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) /\ j e. ( 0 ... n ) /\ t e. ( B ` j ) ) -> ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) )
199	68, 130, 140, 77, 78, 141, 108, 145, 146, 149, 151, 152, 153, 163, 175, 182, 190, 198	stoweidlem34 38007	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) )
200		nfmpt1 4485	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) )
201	200	nfeq2 2627	. . . . . . . . 9 |- F/ t g = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) )
202		fveq1 5878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) -> ( g ` t ) = ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) )
203	202	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) -> ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) <-> ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) )
204	202	breq2d 4407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) -> ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) <-> ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) ) )
205	203, 204	anbi12d 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) -> ( ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) <-> ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) )
206	205	anbi2d 718	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) -> ( ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) <-> ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) ) )
207	206	rexbidv 2892	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) -> ( E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) <-> E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) ) )
208	201, 207	ralbid 2826	. . . . . . . 8 |- ( g = ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) -> ( A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) <-> A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) ) )
209	208	rspcev 3136	. . . . . . 7 |- ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) e. A /\ A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( ( t e. T |-> sum_ i e. ( 0 ... n ) ( E x. ( ( x ` i ) ` t ) ) ) ` t ) ) ) ) -> E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) )
210	124, 199, 209	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) ) -> E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) )
211	210	ex 441	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) -> E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) ) )
212	211	2eximdv 1774	. . . 4 |- ( ph -> ( E. n E. x ( ( n e. NN /\ A. t e. T ( F ` t ) < ( ( n - 1 ) x. E ) ) /\ x : ( 0 ... n ) --> A /\ A. j e. ( 0 ... n ) ( A. t e. T ( 0 <_ ( ( x ` j ) ` t ) /\ ( ( x ` j ) ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. ( D ` j ) ( ( x ` j ) ` t ) < ( E / n ) /\ A. t e. ( B ` j ) ( 1 - ( E / n ) ) < ( ( x ` j ) ` t ) ) ) -> E. n E. x E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) ) )
213	106, 212	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. n E. x E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) )
214		idd 24	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) -> E. x E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( F ` t ) /\ ( F ` t ) <_ ( ( j - ( 1 / 3 ) ) x. E ) ) /\ ( ( g ` t ) < ( ( j + ( 1 / 3 ) ) x. E ) /\ ( ( j - ( 4 / 3 ) ) x. E ) < ( g ` t ) ) ) ) )
215	214	exlimdv 1787	. . 3 |- ( ph -> ( E. n E. x E. g e. A A. t e. T E. j e. RR ( ( ( ( j - (