Theorem stoweidlem58 37208

Description: This theorem proves Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here D is used to represent the set A of Lemma 2, because here the variable A is used for the subalgebra of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem58.1	|- F/_ t D
stoweidlem58.2	|- F/_ t U
stoweidlem58.3	|- F/ t ph
stoweidlem58.4	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem58.5	|- T = U. J
stoweidlem58.6	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem58.7	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem58.8	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem58.9	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem58.10	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem58.11	|- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
stoweidlem58.12	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem58.13	|- ( ph -> B e. ( Clsd ` J ) )
stoweidlem58.14	|- ( ph -> D e. ( Clsd ` J ) )
stoweidlem58.15	|- ( ph -> ( B i^i D ) = (/) )
stoweidlem58.16	|- U = ( T \ B )
stoweidlem58.17	|- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem58.18	|- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem58	|- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Distinct variable groups:   f, a, r, t, A, q   D, a, f, r   T, a, f, r, t   U, a, f, r   ph, a, f, r   f, g, r, t, A   f, E, g, r, t   x, f, g, t, A   B, f, g, r   f, J, g, r, t   g, q, D   T, g   U, g   ph, g   D, q   T, q   U, q   ph, q   t, K   x, B   x, D   x, E   x, T

Allowed substitution hints:   ph( x, t)   B( t, q, a)   C( x, t, f, g, r, q, a)   D( t)   U( x, t)   E( q, a)   J( x, q, a)   K( x, f, g, r, q, a)

Proof of Theorem stoweidlem58

Dummy variables e h w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem58.1	. . 3 |- F/_ t D
2		stoweidlem58.3	. . . 4 |- F/ t ph
3	1	nfeq1 2579	. . . 4 |- F/ t D = (/)
4	2, 3	nfan 1956	. . 3 |- F/ t ( ph /\ D = (/) )
5		eqid 2402	. . 3 |- ( t e. T |-> 1 ) = ( t e. T |-> 1 )
6		stoweidlem58.5	. . 3 |- T = U. J
7		stoweidlem58.11	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
8	7	adantlr 713	. . 3 |- ( ( ( ph /\ D = (/) ) /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
9		stoweidlem58.13	. . . 4 |- ( ph -> B e. ( Clsd ` J ) )
10	9	adantr 463	. . 3 |- ( ( ph /\ D = (/) ) -> B e. ( Clsd ` J ) )
11		stoweidlem58.17	. . . 4 |- ( ph -> E e. RR+ )
12	11	adantr 463	. . 3 |- ( ( ph /\ D = (/) ) -> E e. RR+ )
13		simpr 459	. . 3 |- ( ( ph /\ D = (/) ) -> D = (/) )
14	1, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 13	stoweidlem18 37168	. 2 |- ( ( ph /\ D = (/) ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )
15		stoweidlem58.2	. . 3 |- F/_ t U
16		nfcv 2564	. . . . 5 |- F/_ t (/)
17	1, 16	nfne 2735	. . . 4 |- F/ t D =/= (/)
18	2, 17	nfan 1956	. . 3 |- F/ t ( ph /\ D =/= (/) )
19		eqid 2402	. . 3 |- { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
20		eqid 2402	. . 3 |- { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) } = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
21		stoweidlem58.4	. . 3 |- K = ( topGen ` ran (,) )
22		stoweidlem58.6	. . 3 |- C = ( J Cn K )
23		stoweidlem58.16	. . 3 |- U = ( T \ B )
24		stoweidlem58.7	. . . 4 |- ( ph -> J e. Comp )
25	24	adantr 463	. . 3 |- ( ( ph /\ D =/= (/) ) -> J e. Comp )
26		stoweidlem58.8	. . . 4 |- ( ph -> A C_ C )
27	26	adantr 463	. . 3 |- ( ( ph /\ D =/= (/) ) -> A C_ C )
28		stoweidlem58.9	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
29	28	3adant1r 1223	. . 3 |- ( ( ( ph /\ D =/= (/) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
30		stoweidlem58.10	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
31	30	3adant1r 1223	. . 3 |- ( ( ( ph /\ D =/= (/) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
32	7	adantlr 713	. . 3 |- ( ( ( ph /\ D =/= (/) ) /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
33		stoweidlem58.12	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
34	33	adantlr 713	. . 3 |- ( ( ( ph /\ D =/= (/) ) /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
35	9	adantr 463	. . 3 |- ( ( ph /\ D =/= (/) ) -> B e. ( Clsd ` J ) )
36		stoweidlem58.14	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( Clsd ` J ) )
37	36	adantr 463	. . 3 |- ( ( ph /\ D =/= (/) ) -> D e. ( Clsd ` J ) )
38		stoweidlem58.15	. . . 4 |- ( ph -> ( B i^i D ) = (/) )
39	38	adantr 463	. . 3 |- ( ( ph /\ D =/= (/) ) -> ( B i^i D ) = (/) )
40		simpr 459	. . 3 |- ( ( ph /\ D =/= (/) ) -> D =/= (/) )
41	11	adantr 463	. . 3 |- ( ( ph /\ D =/= (/) ) -> E e. RR+ )
42		stoweidlem58.18	. . . 4 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
43	42	adantr 463	. . 3 |- ( ( ph /\ D =/= (/) ) -> E < ( 1 / 3 ) )
44	1, 15, 18, 19, 20, 21, 6, 22, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 43	stoweidlem57 37207	. 2 |- ( ( ph /\ D =/= (/) ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )
45	14, 44	pm2.61dane 2721	1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   F/wnf 1637   e. wcel 1842   F/_wnfc 2550   =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   {crab 2758   \ cdif 3411   i^i cin 3413   C_ wss 3414   (/)c0 3738   U.cuni 4191   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   ran crn 4824   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523   + caddc 9525   x. cmul 9527   < clt 9658   <_ cle 9659   - cmin 9841   / cdiv 10247   3c3 10627   RR+crp 11265   (,)cioo 11582   topGenctg 15052   Clsdccld 19809   Cn ccn 20018   Compccmp 20179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-mulf 9602

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-cmp 20180  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117

This theorem is referenced by:  stoweidlem59  37209